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1、(1)复指数函数作为线性时不变系统的特征函数(2)连续时间周期信号的傅里叶级数表示(3)计算傅里叶系数(4)CTFS的性质第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示3.1连续时间周期信号的傅里叶级数表示(CTFS)基信号的特性a.我们可以用这些基来构建一类信号;b.线性时不变系统对这些基信号的响应是非常简单的;以往的焦点：单位抽样信号和冲击现在的焦点：线性时不变系统的特征函数特征函数和它的特性这里关注连续时间系统，但对离散时间系统也同样适用特征值特征函数输入特征函数 输出是带有增益的同一函数由线性时不变系统的叠加特性线性时不变系统现在确定线性时不变系统的响应即是确定 复指数可
2、作为任何线性时不变系统的特征函数特征值特征函数特征值特征函数离散时间系统：什么样的信号可以表示为复指数的和？这里关注限定的复指数连续时间系统：例如：离散时间系统：例如：幅值1连续与离散周期信号的傅里叶级数与傅里叶变换连续周期信号的傅里叶级数表示这里最小的T是根本周期是根本频率以T为周期的周期函数以T为周期的周期函数 是傅里叶级数的系数k=0 直流k=1 一次谐波k=2 二次谐波问题1：我们怎样得到傅里叶系数？首先，简单周期信号由几个正弦项组成例如：公式欧拉定理无直流分量对于实周期信号，傅里叶级数还有其他两种常用的形式或者由于 的特征函数性质，我们通常使用复指数形式这样做的结果是，我们需要包括正
3、负两个频率项注意现在对问题一给出完整答案假设（给出 如何找出 ）1）乘以 2）在一个周期内积分1）乘以 2）在一个周期内积分这里 表示积分任意长度为T一个周期的积分区间然后注意到：连续时间周期信号的Fourier级数其中例如：周期性方波当k=0当k0周期性方波当k=0当k0于是连续时间傅里叶级数对 直接记住， 将来跳过此运算过程另一个例子重要！：周期脉冲序列 采样公式， 对于采样很重要 对于所有k均成立！ 所有的成分均含有： (1)相同的振幅； (2)相同的相位。连续时间傅里叶级数的几个性质线性共轭对称性 x(t)是实数 或者说时移性 引入一个线性相移例子：移动半个周期注意:帕塞瓦尔定理 无论
4、在时间域还是频率域能量也具有相同的关系乘积性质 无论x(t),y(t)均以T为周期证明：周期卷积x(t),y(t)均以T为周期 并不十分有意义例如：假设x(t),y(t)均为正数，那么周期卷积周期卷积：可以在任意一个周期上求积分如-T/2T/2当周期卷积实质1Z(t)是以T为周期的对于LTI系统在卷积中，把y(t)当做输入， 当做h(t)。2我们可以选任意周期做积分：3时间域 周期卷积 频率域乘法！xn以N为根本周期，基频仅仅以N为周期的 会出现在FS中仅有这种形式的N个离散信号因此我们仅能够使用3.2离散时间周期信号的傅里叶级数表示(DTFS)离散时间傅里叶级数表示 对于任意N，连续的k值的
5、和 这是有限级数 傅里叶级数系数 问题：1什么样的离散时间周期信号有如此表示方式？2我们怎样找到 ？ 答复以下问题#1 任何一个离散时间周期信号都有一个傅里叶级数表示。. . N个方程为了求N个未知数：一个更直接的方法来求解有限几何级数因此，由两边均乘以 然后离散时间傅里叶级数对把 看作是在所有整数K上被定义是方便的，因此：1 离散时间傅里叶系数的特殊性质；2在综合方程中我们仅仅使用N个连续的 值xn是周期的，无论时间域还是频率域它均被N个数指定。例#1：一对正弦曲线求和以N=16为周期例#2：离散时间方波例#2：离散时间方波离散时间傅里叶级数的收敛问题： 不是一个问题，因为所有的级数都是一个
6、有限的和。离散时间傅里叶级数的性质：很多，与连续时间傅里叶级数一样。例如：习题:例3.3,例3.4,例3.5,例3.6,例3.7,例3.8,例3.9;例3.10,例3.11,例3.12,例3.13,例3.14再讲周期序列的傅立叶级数DFS-Discrete Fourier Series周期序列的另一种写法周期序列的另一种写法: :一个周期为N的周期序列，对于所有n满足式中N为正整数。定义n=0到N-1的周期区间为的主值区间主值区间，而主值区间内的N个样本值组成的有限长序列称为的主值序列主值序列，即这一过程称为取主值序列。对于一个有限长序列如将其以N为周期进行周期性延拓，得到周期序列 。 正变换
7、正变换(分析式分析式)：反变换综合式：反变换综合式：DFS的另一种写法的另一种写法:.离散傅立叶级数的性质离散傅立叶级数的性质假定和是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为、线性、线性式中为任意常数，可见由两个离散周期序列和线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。 、移位特性、移位特性时域移位 频域移位 如果N,那么证明： 、时域卷积特性、时域卷积特性两个周期都为两个周期都为N N的周期序列和，它们卷积的周期序列和，它们卷积的结果也是周期为的结果也是周期为N N的周期序列，即的周期序列，即 m m的取值由的取值由0 0N-1N-1，因此称为周期卷积。，因此称为周期卷
8、积。05n000000555555mmmmmm111234图图 两个周期序列两个周期序列(N=6)的周期卷积过程的周期卷积过程周期卷积与DFS的关系如下：设 假设 那么有 这就是时域卷积定理。证明：、频域卷积特性、频域卷积特性 对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。期卷积。假设假设 那么那么内容延伸内容延伸离散傅立叶变换离散傅立叶变换设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是周期为N的周期序列的一个主周期，即而将看作是x(n)以N为周期进行周期延拓的结果，表为同理 ，那么周期序列 在一个周期内的DFS，叫做有限长序列x(n)的离散傅立叶变换正变换分析式反变换综合式离散傅立叶变换离散傅立叶变换 DFT即：正变换分析式反变换综合式注：有限长序列的离散傅立叶变换DFT，本质上是该序列周期延拓后的DFS。隐含周期性假设不可忽略！注：
