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1、第3讲数列的综合问题专题四数列、推理与证明热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一利用Sn，an的关系式求an1.数列an中，an与Sn的关系2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).例例1(2017运城模拟)正项数列an的前n项和为Sn，满足a 3an6Sn4.(1)求an的通项公式；解答解答思维
2、升华(2)设bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解答解解当n1时，a1S12，由Sn2n12，得Sn12n2(n2)，anSnSn12n12n2n (n2)，又a1也符合，an2n (nN*).(2)求数列bn的前n项和Tn.解答热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.例例2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(
3、1)求fn(2)；解答证明思维升华证明跟跟踪踪演演练练2(2016届浙江省宁波市期末)已知数列an满足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求证：bn是等比数列；证明证明a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*)an2(Sn1n)(n2)，两式相减，得an13an2(n2).经检验，当n1时上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比数列.(2)记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，两式相减，得2Tn332333
4、nn3n1证明热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.例例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在
5、使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式；解答(2)设An ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新.证明思维升华跟踪演练跟踪演练3一弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n2时，有A.Sn的最小值为100 B.Sn的最大值为400C.Sn500 D.Sn500答案解析真题押题精练真题体验1.(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an
6、12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1答案解析121212.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；解解设数列xn的公比为q.12所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.解答(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.12解答押题预测解答押押题题依依据据本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于0的常数.(1)试判断数列an是否为等比数列；押题依据解答押押题题依依据据本题综合考查数列知识，高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力.押题依据解答
