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1、第五节本节内容本节内容:一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数的求导公式 第八章 问题：问题：1.1.方程（组）满足何条件才能确定隐函数；方程（组）满足何条件才能确定隐函数； 前面讨论了前面讨论了如果如果一个二元方程确定了一个隐函一个二元方程确定了一个隐函数，可以不对这个隐函数显式化而直接求其导数的数，可以不对这个隐函数显式化而直接求其导数的问题问题 2. 2. 方程（组）确定的隐函数如何求导（偏导）方程（组）确定的隐函数如何求导（偏导）. .一、一个方程时的情形一、一个方程时的情形一个二元方程一个二元方程任何一个二元方程在任何条件下都可以确定一个任何一个二
2、元方程在任何条件下都可以确定一个隐函数吗？考虑方程隐函数吗？考虑方程 在点（在点（1,0）附）附近的情况，在点（近的情况，在点（0,1）附近呢？）附近呢？讨论：讨论：函数是函数是x和和y是两个变量，是两个变量，D是一个给定的数集，是一个给定的数集，若对于若对于 ，变量，变量y按照确定的法则总有唯一确按照确定的法则总有唯一确定的数值和它对应，则称定的数值和它对应，则称y是是x的函数的函数.答：答：方程方程 在点在点（1,0）附近，附近，对于任意的对于任意的x ，都有，都有y的两个值的两个值 与之对应，因此，在点与之对应，因此，在点（1,0）附近该方程不能确定一个函附近该方程不能确定一个函数数 事
3、实上，对任意一个给定的方程，要由它确定一个事实上，对任意一个给定的方程，要由它确定一个隐函数是需要一些条件的，为此有隐函数存在定理隐函数是需要一些条件的，为此有隐函数存在定理.但在点但在点(0,1)附近就不同了，在这点附近，对于任意的附近就不同了，在这点附近，对于任意的x 都有都有y的唯一的一个值的唯一的一个值 与之对应与之对应因此，在因此，在点点（0,1）附近该方程能确定一个函数附近该方程能确定一个函数 定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 ,并有连续(隐函数求导公式)的某邻域内某邻域内可唯一确定一个满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数由定理的条件与结论来看，由定理的条件与
4、结论来看，条件中条件中 的意义的意义何在？何在？在点的某一邻域内具有连续偏导数；满足由于由于 及及 连续，因此存在连续，因此存在 的的一个邻域，在这个邻域内一个邻域，在这个邻域内 ，这个结论是由这个结论是由哪个条件保证哪个条件保证的呢？的呢？关于隐函数存在性的证明省略，我们仅在隐函数存在的关于隐函数存在性的证明省略，我们仅在隐函数存在的前提下，借助多元复合函数求导的链式法则来说明前提下，借助多元复合函数求导的链式法则来说明的正确性的正确性 将由方程将由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 代入该代入该方程中，得方程中，得将方程的两端分别对将方程的两端分别对x求导，左端利用链式法则得求导，左端利用
5、链式法则得于是得于是得看到定理条件中看到定理条件中偏导数连续的意偏导数连续的意义了吗？义了吗？若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用复合函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 若函数 的某邻域
6、内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 增加方程中变量的个数增加方程中变量的个数2三元或三元以上的方程三元或三元以上的方程两边对 x 求偏导同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法1 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设例例2. 设解法解法2 利用复合函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数
7、组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组确定的隐函数情形二、方程组确定的隐函数情形定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式同样可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设故有例例4. 设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导, 得有一阶导数或偏导数, 求(99 考研)解法解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
