《线性代数课件：4-4 线性方程组解的结构问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件：4-4 线性方程组解的结构问题（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4 4.4 线性方程组解的结构问题线性方程组解的结构问题一、齐次线性方程组解的结构问题一、齐次线性方程组解的结构问题二、非齐次线性方程组解的结构问题二、非齐次线性方程组解的结构问题本节将用向量的理论来阐述线性方程本节将用向量的理论来阐述线性方程组解的结构。什么是线性方程组解的结构组解的结构。什么是线性方程组解的结构呢？其实所谓方程组解的结构就是指方程呢？其实所谓方程组解的结构就是指方程组解与解之间的关系，回忆方程组解的情组解与解之间的关系，回忆方程组解的情况无非三种，即唯一解、无穷多解和无解。况无非三种，即唯一解、无穷多解和无解。显然我们研究的方程组解的结构只是指在显然我们研究的方程组解的
2、结构只是指在方程组有无穷多解时，解与解之间的关系。方程组有无穷多解时，解与解之间的关系。 若系数矩阵若系数矩阵A A为为矩阵，则一个矩阵，则一个n n元列向量元列向量称为称为的一个解向量的一个解向量当当时，时，有无穷多个解。有无穷多个解。我们的想法是能否从我们的想法是能否从的无穷多个解里面找出有限的若干个，的无穷多个解里面找出有限的若干个，的解具有的一些性质的解具有的一些性质用这若干个解的某个线性组合来表示所有的其它解。为此，我们先用这若干个解的某个线性组合来表示所有的其它解。为此，我们先来看来看若若是是的两个解，则的两个解，则也是也是的解，其中的解，其中为任意常数。为任意常数。齐次线性方程组
3、解的结构问题齐次线性方程组解的结构问题命题命题是是的解，所以的解，所以从而从而故故也是也是的解。的解。来说，有限个解的线性组合仍然还是来说，有限个解的线性组合仍然还是的解。即若的解。即若均为均为的解，则的解，则也是也是的解。的解。其实对于其实对于设设均为均为的解。如果的解。如果线性无关；线性无关；的任意一个解向量都能经的任意一个解向量都能经线性表示，则称线性表示，则称为为的一个的一个基础解系基础解系。的一个基础解系实际上是的一个基础解系实际上是所有解向量的一个所有解向量的一个（1 1）（2 2）显然，显然，极大线性无关组。极大线性无关组。只是针对齐次只是针对齐次线性方程组才线性方程组才有的一个
4、概念有的一个概念定义定义证证 因因 先来介绍如何求齐次线性方程组的基础解系，然后介绍如何通过先来介绍如何求齐次线性方程组的基础解系，然后介绍如何通过基础解系来描述方程组解的结构。基础解系来描述方程组解的结构。设设满足满足且且由方程组求解的知识可知由方程组求解的知识可知的解可以表达为：的解可以表达为：其中其中为任意常数。为任意常数。将此式改写为向量形式将此式改写为向量形式分分别别记记为为分别记该式右端的分别记该式右端的n-rn-r个个n n元元向量为向量为，容易知道，容易知道均为均为则齐次线性方程组则齐次线性方程组的通解可表为的通解可表为其中其中为任意常数。为任意常数。上式说明上式说明的任意一个
5、解都可以经的任意一个解都可以经其实这组解向量就是其实这组解向量就是的一个基础解系，为此我们只要说明的一个基础解系，为此我们只要说明线性无关即可，明显有线性无关即可，明显有线性表示，线性表示，的解向量，的解向量，为什么呢？一起来看为什么呢？一起来看下面的矩阵下面的矩阵所以所以线性无关，因此它就是齐次线性方程组线性无关，因此它就是齐次线性方程组的一个基础解系，的一个基础解系，称为用基础解系来表示称为用基础解系来表示的通解。的通解。注意到向量组的极大线性无关组可以不唯一，但每注意到向量组的极大线性无关组可以不唯一，但每个极大线性无关组所含向量个数是相同的，这就是说个极大线性无关组所含向量个数是相同的
6、，这就是说但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，均为均为n-rn-r个个的基础解系可以不唯一，的基础解系可以不唯一，其中其中n n方程组方程组AXAXO O的未知量个数（也就是系数矩阵的未知量个数（也就是系数矩阵A A的的列数），列数）， r r是系数矩阵是系数矩阵A A的秩的秩. .很明显地，基础解系含有地向量个数就是我们齐次线性方程组通解很明显地，基础解系含有地向量个数就是我们齐次线性方程组通解中的自由未知量的个数，而且由于基础解系是所有解向量的极大线中的自由未知量的个数，而且由于基础解系是所有解向量的极大线性无关组，因此任意性无关组，因此任意n-
7、rn-r个线性无关的解向量都可作为一个基础解系个线性无关的解向量都可作为一个基础解系. .综合上面所述：综合上面所述：设设A A为数域为数域P P上上矩阵，且矩阵，且则齐次线性方程组则齐次线性方程组的通解可用一个基础解系的通解可用一个基础解系来表达，表达式即为来表达，表达式即为基础解系可以不唯一，但每个基础解系基础解系可以不唯一，但每个基础解系（未知量个数系数矩阵的秩），（未知量个数系数矩阵的秩），个线性无关的解向量都可作为一个基础解系。个线性无关的解向量都可作为一个基础解系。所含向量个数是唯一确定的：所含向量个数是唯一确定的：且任意且任意例例 解齐次线性方程组解齐次线性方程组且将其通解用基础
8、解系表示。且将其通解用基础解系表示。命题命题解解 该方程组的系数矩阵经初等行变换后可化为该方程组的系数矩阵经初等行变换后可化为通解为通解为其中其中为任意常数。为任意常数。其中其中为任意常数。为任意常数。通解为通解为其中其中这个解法与前面求齐次线性方程组的通解来比较，只不过把解的这个解法与前面求齐次线性方程组的通解来比较，只不过把解的表达方式改进一下，写成向量形式罢了。表达方式改进一下，写成向量形式罢了。写成向量形式为写成向量形式为故一个基础解系为故一个基础解系为为任意常数。为任意常数。例求齐次方程组的一个基础解系及通解.同解方程组为 我们已经阐明了齐次线性方程组解的结构：借助基础解系（有我们已
9、经阐明了齐次线性方程组解的结构：借助基础解系（有限个解向量）的线性组合来表示方程组的全部解（无穷多个）。限个解向量）的线性组合来表示方程组的全部解（无穷多个）。那么对于非齐次线性方程组是不是也有基础解系可以进行类似的那么对于非齐次线性方程组是不是也有基础解系可以进行类似的表述非齐次线性方程组解的结构问题呢？表述非齐次线性方程组解的结构问题呢？ 这里说明一点，对于非齐次线性方程组来说，它自己的解向量这里说明一点，对于非齐次线性方程组来说，它自己的解向量的线性组合不一定是原来方程组的解，因此非齐次线性方程组没的线性组合不一定是原来方程组的解，因此非齐次线性方程组没有基础解系。但是我们可以通过研究非
10、齐次线性方程组和齐次线有基础解系。但是我们可以通过研究非齐次线性方程组和齐次线性方程组的关系来刻画非齐次线性方程组解的结构问题。性方程组的关系来刻画非齐次线性方程组解的结构问题。设非齐次线性方程组为设非齐次线性方程组为，其中，其中A A为为矩阵，且矩阵，且称称为为对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组，或称为，或称为的的导出组导出组. .和和的解之间存在着密切的联系，容易验证有的解之间存在着密切的联系，容易验证有（1 1）若）若均为均为的解，则的解，则为为（2 2）若）若为为的解，的解，为为的解，则的解，则为为的解。的解。的解的解. .非齐次线性方程组解的结构问题非齐次线性方程组解的结构问题
11、命题命题 由于非齐次线性方程组和它的导出组的解之间有这样的关系，由于非齐次线性方程组和它的导出组的解之间有这样的关系，因此我们可以通过导出组的基础解系来得到非齐次线性方程组的因此我们可以通过导出组的基础解系来得到非齐次线性方程组的解的构造。解的构造。设设 是是的一个取定的解（一般称为的一个取定的解（一般称为特解特解），）， 是是的通解，则的通解，则的通解为：的通解为：首先明显有首先明显有是是的解，我们只需要证的解，我们只需要证的解均形如的解均形如即可即可.设设 为为的任意一个解，则的任意一个解，则可表示为可表示为而而是是的解，这表明的解，这表明包含了包含了的所有的解。的所有的解。进一步，若进一
12、步，若有一个基础解系为有一个基础解系为，则，则的通解可表示为的通解可表示为故故的通解可表示为的通解可表示为其中其中是是的一个特解，的一个特解，为任意常数。为任意常数。定理定理证证 例例 解线性方程组解线性方程组且将其通解用其对应的齐次线性方程组且将其通解用其对应的齐次线性方程组(导出组导出组)的基础解系来表示。的基础解系来表示。解解 增广矩阵通过初等行变换可化为增广矩阵通过初等行变换可化为通解为通解为其中其中为任意常数。为任意常数。 写成向量形式为写成向量形式为其中其中为任意常数。为任意常数。记记 则方程组的通解可表示为则方程组的通解可表示为其中其中为任意常数。为任意常数。就是一个特解，就是一
13、个特解，就是导出组的一个基础解系。就是导出组的一个基础解系。此处此处例求线性方程组的通解.解将方程组的增广矩阵化为行最简形矩阵原方程组的同解方程组为对应的导出组的同解方程组为例例 设设A A，B B分别为分别为（1 1）B B的列向量是齐次线性方程组的列向量是齐次线性方程组AXAXO O的解向量的解向量. .（3 3）若秩）若秩(A)(A)n n，则，则B BO.O.则则A A的列向量组线性相关的列向量组线性相关. .矩阵，若矩阵，若ABABO O，求证，求证: :证证 （1 1）将矩阵）将矩阵B B按列向量分块，即按列向量分块，即则有则有从而有从而有这表明这表明均适合方程均适合方程AXAXO
14、 O，即，即B B的列向量是的列向量是AXAXO O的解向量的解向量. .（2 2）AXAXO O的基础解系含有的向量个数为的基础解系含有的向量个数为n n秩秩(A)(A)，也就是，也就是AXAXO O所有解向量的极大线性无关组所含向量个数为所有解向量的极大线性无关组所含向量个数为n n秩秩(A)(A)。由上面小。由上面小题知，题知，B B的列向量全体是的列向量全体是AXAXO O的解向量的一部分，因而的解向量的一部分，因而B B的列向量的列向量的极大线性无关组所含向量的个数不大于的极大线性无关组所含向量的个数不大于n n秩秩(A),(A),即即从而有秩从而有秩(A)(A)秩秩(B)(B)（2
15、 2）秩（）秩（A A）秩（）秩（B B）（4 4）若）若(3)(3)证法一证法一 因秩因秩(A)(A)n n知，知，AXAXO O只有零解，而（只有零解，而（1 1）表明）表明B B的列的列向量均是向量均是AXAXO O的解向量，从而的解向量，从而B B的列向量均为零向量，即得的列向量均为零向量，即得B BO.O.证法二证法二 由（由（2 2）知，）知，得得故故B BO.O.（4 4）证法一）证法一 因因由（由（1 1）知，齐次线性方程组）知，齐次线性方程组AXAXO O有非零解。有非零解。证法二证法二 （反证法）若（反证法）若A A的列向量线性无关，则秩的列向量线性无关，则秩(A)=n(A
16、)=n，由，由(3)(3)可得可得B BO O，此为矛盾，故，此为矛盾，故A A的列向量线性相关。的列向量线性相关。例例 设设A A是是矩阵，且秩矩阵，且秩(A)=2.(A)=2.已知已知是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AXAXb b的两个相异的解，请用的两个相异的解，请用AXAXO O的基础解系来表示的基础解系来表示AXAXb b的全部解。的全部解。解解 因秩因秩(A)=2,(A)=2,且且AX=OAX=O的未知量个数为的未知量个数为3,3,所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组AX=OAX=O是是AXAXb b的两个相异的解，的两个相异的解，是是AXAXO O的解，所以的解，所以基础解系
17、，从而基础解系，从而AXAXb b的全部解可表示为的全部解可表示为 t t为任意常数。为任意常数。的基础解系由一个非零向量组成。因的基础解系由一个非零向量组成。因所以他们的差值所以他们的差值是是AX=OAX=O的一个的一个故秩故秩(A)n,(A)n,此即此即A A的列秩的列秩nn，从而，从而A A的的n n个列向量必线性相关。个列向量必线性相关。注意：注意：非齐次线性方程组的通解是由一个特解和导出组的通非齐次线性方程组的通解是由一个特解和导出组的通解组成的，所以我们解答的目标就在于找出这两个东西。解组成的，所以我们解答的目标就在于找出这两个东西。另外，说另外，说AXAXb b的全部解可表示为的
18、全部解可表示为t t为任意常数，或者说可表为为任意常数，或者说可表为k k为任意常数都是对的。这也表明非齐为任意常数都是对的。这也表明非齐次线性方程组的通解表示形式可有多种，次线性方程组的通解表示形式可有多种，但这些不同表示形式所表示的解集合是相但这些不同表示形式所表示的解集合是相同的。同的。作业：（注：每周一早上8点交作业）P1282（3）（5）3第1和第4题做在课本上4.5 4.5 本章的概要与小节本章的概要与小节一、向量及相关结论一、向量及相关结论二、贯穿前四章的线索二、贯穿前四章的线索三、综合练习三、综合练习(1(1) )能（否）经能（否）经线性表示线性表示非齐次线性方程组非齐次线性方
19、程组有（没有）解有（没有）解是（否）相等。是（否）相等。 (2(2) )线性无关线性无关齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解(3)(3)线性相关线性相关齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解(4)(4)是（否）线性相关是（否）线性相关行列式行列式是（否）为零。是（否）为零。一、向量及相关结论一、向量及相关结论(5)(5)计算向量组计算向量组的极大线性无关组可通过对矩阵的极大线性无关组可通过对矩阵施行初等行变换化阶梯形矩阵而推断出来。施行初等行变换化阶梯形矩阵而推断出来。2 2 以向量的观点看，以向量的观点看，矩阵矩阵A A可看成由可看成由n n个列向量组成，即个列向量组成，即则线
20、性方程组则线性方程组AXAXb b有解有解b b能经能经线性表示。线性表示。于是齐次线性方程组于是齐次线性方程组AX=OAX=O有非零解有非零解存在不全为零的数存在不全为零的数使使线性相关线性相关的秩小于向量个数的秩小于向量个数n n秩秩(A)=rn.(A)=rn. 此时此时AXAXO O的所有解向量的极大线性无关组由的所有解向量的极大线性无关组由n nr r个线性无关的个线性无关的解向量解向量组成。于是组成。于是AXAXO O的通解可表示为的通解可表示为其中其中为任意常数。为任意常数。 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的通解可表示为的通解可表示为其中其中 是是的一个特解，的一个特解，为任意常
21、数。为任意常数。 从向量的观点来看数域从向量的观点来看数域P P上矩阵上矩阵的列向量的列向量是是m m元向量，行向量元向量，行向量是是n n元向量，且有元向量，且有的秩秩的秩秩(A)(A)从而对矩阵从而对矩阵A A的秩可有新的认识：矩阵的秩是它的行（列）向量组的秩可有新的认识：矩阵的秩是它的行（列）向量组的极大线性无关组所含向量的个数。的极大线性无关组所含向量的个数。的秩。的秩。据此据此A A为行（列）满秩的矩阵为行（列）满秩的矩阵A A的行（列）向量组线性无关。的行（列）向量组线性无关。 我们一方面可用向量的观点来剖析齐次线性方程组的解和矩我们一方面可用向量的观点来剖析齐次线性方程组的解和矩
22、阵的秩。另一方面向量间的线性关系又是用线性方程组的理论来解阵的秩。另一方面向量间的线性关系又是用线性方程组的理论来解决的。把这两个融会贯通起来就可以找到一条贯穿前四章的线索。决的。把这两个融会贯通起来就可以找到一条贯穿前四章的线索。这里提供一组问题来帮助大家领悟这一线索。这里提供一组问题来帮助大家领悟这一线索。二、贯穿前四章的线索二、贯穿前四章的线索（1 1）计算行列式）计算行列式（2 2）求矩阵）求矩阵的秩的秩. .（3 3）讨论方程组）讨论方程组a a取何值时只有零解？取何值时只有零解？a a取何值时有非零解？且用通解表示非零解。取何值时有非零解？且用通解表示非零解。三个问题三个问题区别在
23、哪？区别在哪？（4 4）已知）已知4 4元向量元向量问问a a取何值时取何值时线性无关？线性无关？a a取何值时取何值时线性相关？当线性相关？当线性相关时，线性相关时，能否经能否经线性表出？线性表出？能否经能否经线性表出线性表出?能线性表出的能线性表出的,请写出表达式。请写出表达式。（5 5）如（如（4 4）题所设，讨论）题所设，讨论的秩，且写出的秩，且写出一个极大线性无关组。一个极大线性无关组。(4)(4)、(5)(5)和前面三个小题和前面三个小题联系在哪？区别在哪？他们联系在哪？区别在哪？他们共同的内在线索是什么呢？共同的内在线索是什么呢？这一组题的内容涵盖第一章到第四章，而其核心这一组题
24、的内容涵盖第一章到第四章，而其核心是第（是第（2 2）题，第）题，第(3)(3)、(4)(4)、(5)(5)题看起来分别是线性题看起来分别是线性方程组和向量中的不同类型的问题，但最终均可归结方程组和向量中的不同类型的问题，但最终均可归结为第（为第（2 2）题。实际上，这里所说的贯穿前四章的线索）题。实际上，这里所说的贯穿前四章的线索是：高斯消去法的思想，通俗来讲就是通过行列式恒是：高斯消去法的思想，通俗来讲就是通过行列式恒等变换、矩阵的初等行变换把行列式化为上三角形和等变换、矩阵的初等行变换把行列式化为上三角形和把矩阵化为阶梯形矩阵的思想。这是我们线性代数的把矩阵化为阶梯形矩阵的思想。这是我们
25、线性代数的基本方法也是基本思想，请大家务必掌握。基本方法也是基本思想，请大家务必掌握。1 1、向量组线性无关，证明：、向量组线性无关，证明：线性无关线性无关. .中线性相关的是（中线性相关的是（ ）A A、, , ,2 2、已知向量组、已知向量组线性无关，则下列向量组线性无关，则下列向量组B B、, , ,C C、, , ,D D、, , ,三、综合练习三、综合练习（自己证）（自己证）例例3 3向量组向量组 设设证明证明线性无关线性无关. .设（1）则把（1）式代入可得：经整理可得：因为向量组线性无关，所以解得：线性无关线性无关. .故向量组当为何值时，线性无关当为何值时，线性无关当为何值时，线性相关当为何值时，线性相关当线性相关时，将用线性表示当线性相关时，将用线性表示. .例例4 4 设向量组设向量组解：解：所以，所以，当时，线性无关当时，线性无关当时，线性相关当时，线性相关当线性相关时，把当线性相关时，把则则求向量组求向量组的列向量组的秩及一个极大线性无关组，的列向量组的秩及一个极大线性无关组，例例5 5 设矩阵设矩阵并将其余向量用该极大线性无关组线性表示并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. .所以所以的列向量组的秩为的列向量组的秩为. .故极大线性无关组所含向量的个数为个故极大线性无关组所含向量的个数为个.解解显然极大线性无关组为显然极大线性无关组为所以可得所以可得
