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1、会计学1复合复合(fh)函数求导法函数求导法第一页，共29页。复合函数的微分法则就无能为力了 . 为此还是要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法 .如 z=f(x2y2, xy) 是由z=f(u, v)及 u=x2y2, v=xy复 合而成的. 由于 f 没有具体给出, 在求 时, 一元 一、链式法则 定理: 如果函数(hnsh) u=(t) 及 v=(t) 都在点 t 处可导, 函数(hnsh)z=f(u, v)在对应点(u, v)处具有连续偏导数, 则复合函数(hnsh) z=f(t), (t) 在对应点 t 处可导, 且其导数可用下列公式计算 :证: 设自变量 t 获得(hud) 增
2、量t , 则 u=(t+t)(t), v=(t+t)(t); 第1页/共28页第二页，共29页。由于函数(hnsh)z=f(u, v)在对应点(u, v)处有连续偏导数, 则当u0, v0时, 10, 2 0. 有 当 t0时, u0, v0且 因此(ync) 上述定理(dngl) 的结论可推广到中间变量多于两个的情况 . 如第2页/共28页第三页，共29页。以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是 (b shi)一元函数而是多元函数的情况 : z=f(x, y), (x, y). 经常将函数, 中间变量, 自变量之间的关系用图表示 (biosh). 称为变量关系
3、图. 如果 u=(x, y)及 v=(x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数, 且函数 z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f(x, y), (x, y)在对应点(x, y)的两个(lin )偏导数存在, 且可用下列公式计算:以上导出的四个公式习惯称为 链式法则. 第3页/共28页第四页，共29页。这两个公式(gngsh) 的特征: (1) 函数(hnsh)z=f(x, y), (x, y)有两个自变量x和y, 故 法则中包含 两个公式; 变量(binling) 关系图为: (2) 由于在函数复合过程中有两个中间变量u和v, 故, 法则中每一个公式
4、都是两项之和 , 这两项分别含有 (3) 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似 , 即“函数对中间变量的偏导数乘以中间变量对自变量的偏导数 ”.多元复合函数的求导法则简言之即 : “分道相加, 连线相乘”. 第4页/共28页第五页，共29页。 类似地再推广, 设u=(x, y), v=(x, y)及w=(x, y)都在点(x, y)具有(jyu) 对x和y的偏导数, 函数z=f(u, v, w)在对应点(u, v, w)的偏导数连续, 则复合函数z=f(x, y), (x, y), (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算,特殊(tsh)地 z=f(u, x, y
5、), u=(x, y), 即z=f(x, y), x, y, 令 v = x, w = y. 则 11第5页/共28页第六页，共29页。区别(qbi)类似由于(yuy) v=x, w=y. 记则把z=f(u, x, y)中的u及y看作(kn zu)不变而对x的偏导数.把复合函数z=f(x, y), x, y中的y看作不变而对x的偏导数.两者的区别 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形 . 如 z = f (u1, u2, , um)ui = ui(x1, x2, , xn)( i = 1, 2, , m )第6页/共28页第七页，共29页。则 从以上推广中可以(ky)得出:
6、有多少自变量就有多少个公式 ; 所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数 .关于多元(du yun)复合函数求偏导问题 这是一项基本技能, 要求熟练掌握, 尤其是求二阶偏导数, 既是重点又是难点. 对求偏导公式不求强记, 而要切实做到彻底理解. 注意(zh y)以下几点将会有助于领会和理解公式 , 在解题时自如地运用公式 . 用图示法表示出函数的复合关系 ; 清楚函数对某个自变量的偏导数的结构 (项数及项的构成);第7页/共28页第八页，共29页。 求抽象函数的偏导数(do sh)时, 一定要设中间变量; 注意引用这些(zhxi) 公式的条件: 外层函数可微(偏导数连续)内层函数偏导数存在.
7、 fuv, fvu的合并(hbng) 问题视题设条件而定. 弄清 fu(u, v)和fv(u, v)的结构是求抽象的复合函数二阶偏导数的关键 , 即fu(u, v)和fv(u, v)仍是复合函数, 且复合结构与f(u, v)完全相同, 即fu(u, v)和fv(u, v)仍是以u, v为中间变量, 以x, y为自变量的复合函数. 因此求它们关于x, y 的偏导数时必须使用链式法则.第8页/共28页第九页，共29页。 在具体(jt)计算中最容易出错的地方是对 fu(u, v) 和fv(u, v)再求偏导数这一步. 原因就是不注意 fu(u, v)和fv(u, v)是与f(u, v)具有相同结构的
8、复合函数 . 特别是在使用符号 时, 会误认为其仅为u的函数, 而造成漏项.例1: 设 z = eu sin v, 而 u = xy, v = x + y, 求 解:第9页/共28页第十页，共29页。例2: 设 z = uv+sin t , 而 u = e t , v = cos t, 求 解: z= f(u, v, t)=uv+sin t , u=u(t)=e t , v=v(t)=cos t, 则zuvt 例3: 设z=f(u, v), u=u(x, y), v=v(x, y), x=x(s, t), y=y(s, t)均满足复合函数求偏导数的条件 , 计算(两重复合问题) 解: 复合函数
9、(hnsh) 的变量关系图 第10页/共28页第十一页，共29页。由链式法则: 故即同理可得: 即zuvxyst第11页/共28页第十二页，共29页。例4: 设 w=f( x+y+z, xyz )具有二阶连续(linx)偏导数, 求 解: 令 u= x+y+z, v= xyz, 记 同理有 则而第12页/共28页第十三页，共29页。于是(ysh) 二、全微分形式不变性 设函数 z = f(u, v) 具有(jyu) 连续偏导数, 则有全微分: 当 u=u(x, y), v=v(x, y)时, 有 全微分形式不变性的实质: 无论 z 是自变量 x, y 的函数(hnsh), 还是中间变量 u,
10、v 的函数(hnsh), 它的全微分形式是一样的.第13页/共28页第十四页，共29页。事实上, 利用全微分形式不变性, 在逐步作微分运算的过程中 , 不论变量(binling) 间的关系如何错综复杂, 都可以不加辨认和区分, 而一律作为自变量(binling) 来处理, 且作微分运算的结果对自变量 (binling) 的微分dx, dy, dz, 来说是线性的. 从而为解题带来很多方便 , 而且也不易出错.第14页/共28页第十五页，共29页。 例5: 设u=f(x, y, z), y=(x, t), t =(x, z), 各函数满足求偏导的条件 , 求解一: 复合函数(hnsh) 变量间的
11、关系图: 则而所以(suy) 解二: 这里变量(binling) 间的关系比较乱, 用全微分来解. 由全微分形式的不变性: 第15页/共28页第十六页，共29页。注意(zh y)到 x, z 是独立自变量, 故 由全微分(wi fn)的必要条件定理得: 注: 解法二在实际计算中显得十分灵便(ln bin)且不易出错. 第16页/共28页第十七页，共29页。 1、链式法则: 分三种(sn zhn)情况, 特别要注意课中所讲的特殊情况 ;2、全微分形式不变性: 理解(lji) 其实质. 三、小 结 第17页/共28页第十八页，共29页。思考题解答(jid) 不相同(xin tn). 等式左端的 z
12、 是作为(zuwi) 一个自变量 x 的函数, 而等式右端最后一项的 f 是作为(zuwi)u, v, x的三元函数. 写出来为: 设 z =f(u, v, x), u=(x), v=(x), 则 思考题 试问 与 是否相同? 为什么? 第18页/共28页第十九页，共29页。第四节 复合(fh)函数求导法则第19页/共28页第二十页，共29页。一、中间(zhngjin)变量均为一元函数以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 定理定理(dngl)1(dngl)1：如果函数：如果函数u u(t)(t)及及v v(t)(t)都在点都在点t t可导可导 函数函数z zf(uf(u v) v)在对应点
13、在对应点(u, v)(u, v)具有连续偏导数具有连续偏导数 则复合函数则复合函数z zf f(t)(t) (t)(t)在点在点t t可导可导 且有且有 定理定理(dngl)1(dngl)1的推广的推广 设zf(u, v, w), uu(t), vv(t), ww(t), 则 第20页/共28页第二十一页，共29页。二、中间变量均为多元(du yun)函数 定理2： 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数(do sh) 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数(do sh) 则复合函数zf(x y) (x y)在点(x y)的两个偏导数(do sh)存
14、在 且有 ， . 定理定理(dngl)2(dngl)2的推广的推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则 , .第21页/共28页第二十二页，共29页。 设zf(u v) u(x y) v(x y) 则 设zf(u v) u(t) v(t) 则 讨论讨论(toln)(toln) 三、中间变量(binling)既有一元函数，又有多元函数第22页/共28页第二十三页，共29页。特殊(tsh)地其中(qzhng)两者的区别(qbi)区别类似第23页/共28页第二十四页，共29页。例3 ：设 而 ，求 和 。 的结构是求抽象抽象的复合函数的二阶偏导数二阶偏导数的关键。 弄
15、清 仍是复合函数且复合结构与原来的仍是复合函数且复合结构与原来的f f ( (u u, , v v) )完全相同。完全相同。即仍是以u, v为中间变量，以x, y为自变量的复合(fh)函数(其有一阶连续偏导数),求例4第24页/共28页第二十五页，共29页。四、全微分形式不变性四、全微分形式不变性全微分形式不变性的实质： 无论 是自变量 的函数还是中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的 .例3 ：设 而 ，求 和 。（用全微分形式不变性来做）第25页/共28页第二十六页，共29页。五、小结(xioji)1、链式法则（分三种(sn zhn)情况）（特别(tbi) 要注意所讲的第三种情况）2、全
16、微分形式不变性（理解其实质）课下练习：课下练习：设各函数满足求导条件，求第26页/共28页第二十七页，共29页。思考题1、设，而，则，试问与是否相同？为什么？4、设具有二阶导数,求 第27页/共28页第二十八页，共29页。内容(nirng)总结会计学。上述定理的结论可推广到中间变量(binling)多于两个的情况. 如。从以上推广中可以得出: 有多少自变量(binling)就有多少个公式。所有公式中两两乘积的项数等于中间变量(binling)的个数.。 清楚函数对某个自变量(binling)的偏导数的结构(项数及项的构成)。 求抽象函数的偏导数时, 一定要设中间变量(binling)。解二: 这里变量(binling)间的关系比较乱, 用全微分来解.。仍是复合函数且复合结构与原来的。具有二阶导数,求第二十九页，共29页。
