概率论与数理统计：CH7 第七章 参数估计

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 参数的点估计参数的点估计点估计概念点估计概念求估计量的方法求估计量的方法课堂练习课堂练习小结小结2参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法:X1,X2,Xn 设有一个统计总体设有一个统计总体 , 总体的分布函数为总体的分布函数为现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本F( x, ) ，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( 可以是向量可以是向量) . 要依据该样本对参数要依据该样本对参数 作出估计作出估计, 或估计或估计的某个已知函数的某个已知函数 .这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计. 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信参数估计问题

2、是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计参数估计3参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计4（假定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ） 设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69这是这是区间估计区间估计.估计估计在区间在区间 1.57, 1.84 内，内，例如我们要估计某队男生的平均身高例如我们要估计某队男生的平均身高. 现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务的样本，我们的任务是要根据选出的样本（是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值个数）求出总体均值 的的

3、估计估计. 而全部信息就由这而全部信息就由这5个数组成个数组成 . 估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.5一、点估计概念一、点估计概念随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿 , ,得得100个体重数据个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, 呢呢 ? ?据此据此, ,我们应如何估计我们应如何估计和和而全部信息就由这而全部信息就由这100个数组成个数组成 .例例1 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重 , ,未知未知6 为估计为估计 :我们需要构造出适当的样本的函数我们需要构造出适当的样本的函数 T(X1,X2,Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来每当

4、有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为作为 的估计值的估计值 .T(X1,X2,Xn) 称为参数称为参数的的点估计量，点估计量，把样本值代入把样本值代入T(X1,X2,Xn) 中，中，估计值估计值 .得到得到 的一个的一个点点7由大数定律由大数定律, , 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计的一个估计. .样本体重的平均值样本体重的平均值我们知道我们知道, ,若若 , ,则则 .用样本体重的均值用样本体重的均值 估计估计 . . 类似地，用样本体重的方差类似地，用样本体重的方差 估计估计 . .8使用什么样的统计量去估计使用什么样

5、的统计量去估计 ？可以用样本均值可以用样本均值;也可以用样本中位数也可以用样本中位数;还可以用别的统计量还可以用别的统计量 .问题是问题是: 9二、寻求估计量的方法二、寻求估计量的方法1. 矩估计法矩估计法2. 最大似然法最大似然法3. 最小二乘法最小二乘法4. 贝叶斯方法贝叶斯方法 这里我们主要介绍前面两种方法这里我们主要介绍前面两种方法 .101. 矩估计法矩估计法 矩估计法是英国统计学家矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊皮尔逊最早提出来的最早提出来的 .由辛钦大数定理由辛钦大数定理 ,若总体若总体 的数学期望的数学期望 有限有限, 则有则有其中其中 为连续函数为连续函数 .11 这表明这表

6、明 , 当样本容量很大时当样本容量很大时 , 在统计上在统计上 , 可以用可以用 用样本矩去估计总体矩用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法这一事实导出矩估计法.定义定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数连续函数, 这种参数点估计法称为这种参数点估计法称为矩估计法矩估计法 . 理论依据理论依据: 大数定律大数定律矩估计法的具体做法如下：矩估计法的具体做法如下：那么它的前那么它的前k阶矩阶矩 , 一般都是这一般都是这 k 个参数个参数 设总体的分布函数

7、中含有设总体的分布函数中含有k个未知参数个未知参数 , 12i=1,2, ,k从这从这 k 个方程中解出个方程中解出j=1,2,kj=1,2,k那么用诸那么用诸 的估计量的估计量 Ai 分别代替上式中的诸分别代替上式中的诸 , 即可得诸即可得诸 的的矩估计量矩估计量 ：矩估计量的观察值称为矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计值 .的函数的函数,记为：记为：13 例例2 设总体设总体 X 在在 a , b 上服从均匀分布上服从均匀分布 , a , b 未知未知 . 是来自是来自 X 的样本的样本 , 试求试求 a , b 的矩估计量的矩估计量 .解解 14即即 解得解得于是于是 a , b 的矩估

8、计量为的矩估计量为 样本矩样本矩总体矩总体矩15解解 例例3 设总体设总体 X 的均值的均值 和方差和方差 都存都存在在 , 未知未知 . 是来自是来自 X 的样本的样本 , 试试求求 的矩估计量的矩估计量 .16解得解得于是于是 的矩估计量为的矩估计量为 样本矩样本矩总体矩总体矩17解解: 由矩法由矩法,样本矩样本矩总体矩总体矩从中解得从中解得的矩估计的矩估计.即为即为数学期望数学期望是一阶是一阶原点矩原点矩 例例3 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为是未知参数是未知参数,其中其中X1,X2,Xn是取自是取自X的样本的样本,求参求参 的矩估计的矩估计.18 矩法的优点矩法的优点是简单易行

9、是简单易行,并不需要事先知道总体并不需要事先知道总体是什么分布是什么分布 . 缺缺点点是是，当当总总体体类类型型已已知知时时，没没有有充充分分利利用用分分布提供的信息布提供的信息 . 一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 .19 2. 最大似然法最大似然法 它它是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的的一一种种参参数数估估计方法计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821

10、年提出的年提出的 . GaussFisher 然而然而,这个方法常这个方法常归功于英国统计学家归功于英国统计学家费歇费歇 . 费歇费歇在在1922年重新发现了这年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法一方法，并首先研究了这种方法的一些性质的一些性质 .2020最大似然估计法的思想最大似然估计法的思想 最大似然估计法，是建立在最大似然原理最大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的可能出现。因此，一个试验

11、如有若干个可能的结果结果A,B,C, , 若在一次试验中，结果若在一次试验中，结果A出现，出现，则一般认为则一般认为A出现的概率最大。出现的概率最大。21 最大似然估计定义：最大似然估计定义： 当给定样本当给定样本X1,X2,Xn时，定义时，定义似然函数似然函数为：为： 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本，样本的一个样本，样本 的联合密度的联合密度(连续型）或联合分布律连续型）或联合分布律 (离散型离散型)为为 f (x1,x2, ,xn ; ) .f (x1, x2 , xn; )这里这里 x1, x2 , xn 是样本的观察值是样本的观察值 .22 似然函数：似然函数：f

12、 (x1, x2 , xn; ) 最大似然估计法最大似然估计法就是用使就是用使 达到最大值的达到最大值的 去估计去估计 . 即即 称称 为为 的的最大似然估计值最大似然估计值 .而相应的而相应的统计量统计量称为称为 的的最大似然估计量最大似然估计量 . 看作参数看作参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多大可将以多大可能产生样本值能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种度量的一种度量 .23求最大似然估计量的一般步骤为：求最大似然估计量的一般步骤为： （1）求似然函数求似然函数（2）一般地，求出一般地，求出 及似然方程及似然方程 （3）解似然方程得到最大似然估解似然方程得到最大似然估

13、计值 （4）最后得到最大似然估最后得到最大似然估计量量 24解解似然函数似然函数例例52526解解X 的的似然函数为似然函数为例例6272829解解例例7303132解解例例33这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.34最大似然估计的不变性最大似然估计的不变性:U.35三、三、课堂练习课堂练习 例例1 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 是未知参数是未知参数 ,X1 , X2 , , Xn 是取自是取自 X 的样本的样本,求参数求参数 的矩估计的矩估计.36解解 样本矩样本矩总体矩总体矩解得解得的矩估计量为的矩估计量为故故37解解 由密度函数知由密度函数知例例

14、2 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体 X 的一个样本的一个样本其中其中 0 , 求求 的矩估计的矩估计.具有均值为具有均值为 的指数分布的指数分布即即E(X- ) = D(X- )= E(X)= D(X)=故故38解得解得也就是也就是 E(X)= D(X)=的矩估计量为的矩估计量为于是于是39解解 似然函数似然函数为为对数似然函数为对数似然函数为例例3 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本 求求 的的最大似然估计值最大似然估计值.其中其中 0,40求导并令其为求导并令其为0=0从中解得从中解得即为即为 的的最大似然估计值最大似然估计值 .对数似然函数为对数似然

15、函数为41 这一讲，我们介绍了参数点估计这一讲，我们介绍了参数点估计, 给出了寻求给出了寻求估计量最常用的矩法和极大似然法估计量最常用的矩法和极大似然法 . 参数点估计是用一个确定的值去估计未知的参数点估计是用一个确定的值去估计未知的参数参数 . 看来似乎精确看来似乎精确 ，实际上把握不大，实际上把握不大 . 四、小结四、小结42第二节第二节 估计量的评选标准估计量的评选标准无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性小结小结 布置作业布置作业43这就需要讨论以下问题这就需要讨论以下问题: :问题的提出问题的提出 从前面可以看到从前面可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不同的用不同的估计方法

16、求出的估计量可能不相同估计方法求出的估计量可能不相同, 而且而且, 很明显很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?44 常用的几条标准是：常用的几条标准是：1无偏性无偏性2有效性有效性3相合性相合性这里我们重点介绍前面两个标准这里我们重点介绍前面两个标准 .45无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.一、无偏性一、无偏性46证证例例147特别的特别的:不论总体不论总体 X 服从什么分布服

17、从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,48证证例例249(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).50 例例3 设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布 , 其其概概率密度率密度为为为未知为未知,X1,X2,Xn是取自总体的一个样本是取自总体的一个样本 ,试证试证 和和 都是参数都是参数 的的无偏无偏估计量估计量 .51证证所以所以 是参数是参数 的的无偏估计量无偏估计量 . 而而具有概率密度具有概率密度故知故知即即 也是参数也是参数 的的无偏估计量无偏估计量 .52 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了这就引进了有有效性效性这

18、一概念这一概念 .的大小来决定二者谁更优的大小来决定二者谁更优 .和和一个参数往往有不止一个无偏估计一个参数往往有不止一个无偏估计, 若若和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量， 我们可以比较我们可以比较由于由于53二、有效性二、有效性D( ) D( )则称则称 较较 有效有效 .都是参数都是参数 的无偏估计量，若对的无偏估计量，若对任意任意 ，设设和和且至少对于且至少对于某个某个 上式中的不等号成立，上式中的不等号成立，54证明证明例例4 (续例续例3)55例如例如三、相合性三、相合性56第三节第三节 区间估计区间估计置信区间定义置信区间定义置信区间的求法置信区间的求法57 引言引

19、言引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算它是用样本算得的一个值去估计未知参数得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷弥补了点估计的这个缺陷 .58一、一、 置信区间定义置信区间定义满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度的置信水平（

20、置信度 )为为 的的置信区间置信区间.和和 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 若由样本若由样本59这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见， 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量). 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 内内 .60可靠度与精度是一对矛盾，一般是可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高在保证可靠度的条件下尽可能提高精度精度.1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率

21、 要尽可能大要尽可能大 .即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则.61关于定义的说明关于定义的说明62若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n)按按伯努利大数定理伯努利大数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中,63例如例如64在求置信区间时，要查表求分位点在求置信区间时，要查表求分位点.二、置信区间的求法二、置信区间的求法 设设 , 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足的点的点 为为X的概率

22、分布的上的概率分布的上 分位点分位点. 定义定义65若若 X 为连续型随机变量为连续型随机变量 , 则有则有所求所求置信区间为置信区间为所求所求置信区间为置信区间为由此可见，置由此可见，置信水平为信水平为 的置信区间是的置信区间是不唯一的。不唯一的。66 N(0, 1)求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， 明确问题明确问题,是求什么是求什么参数的置信区间参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计.选选 的点估计为的点估计为 , ,解解 寻找一个待估参数和寻找一个

23、待估参数和统计量的函数统计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.67对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得对于给定的置信水平对于给定的置信水平, 根据根据U的分布，确定一的分布，确定一个区间个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为置信水平取值于该区间的概率为置信水平.使使为什么为什么这样取？这样取？6869这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成其置信区间的长度为其置信区间的长度为70 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下的一般

24、步骤如下:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少?2. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量 T 的函数的函数 U(T, ),且其分布为已知且其分布为已知.T(X1,X2,Xn)71 4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据U(T, )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b，使得，使得 P(a U(T, )b) = 5. 对对“aU(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下形式得到如下形式即即于是于是 就是就是 的的100( )的置信

25、区间的置信区间. 72 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数U(T, ), 且且U(T, )的分布为已知的分布为已知, 不依赖于任何未知参数不依赖于任何未知参数 .而这与总体分布有关，所以，而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要否已知，是怎样的类型，至关重要.73 需要指出的是需要指出的是，给定样本，给定置信水平，给定样本，给定置信水平 ，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的. .对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信

26、区间. . 1.在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时时求得的置信区间的长度为最短求得的置信区间的长度为最短. 2.即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布，分布，F分布分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间置信区间.74第四节第四节 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计单个总体单个总体 的情况的情况两个总体两个总体 的情况的情况75一、单个总体一、单个总体 的情况的情况并设并设 为来自总体的为来自总体的 样本样本 ,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和

27、样本方差 .均值均值 的置信区间的置信区间为已知为已知可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为或或76为未知为未知可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数由由或或77 例例1 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体试求

28、总体均值均值 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解 这里这里78于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为即即79方差方差 的置信区间的置信区间由由可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为80由由可得到标准差可得到标准差 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为注意注意: 在密度函数不对称时在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图).81 例例2 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称称得重量得重量(以克计以克计)

29、如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体试求总体方差方差 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解 这里这里82于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为即即的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为即即83 以下讨论两个整体总体均值差和方差比的估以下讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题计问题.二、两个总体二、两个总体 的情况的情况84推导过程如下推导过程如下:1.

30、为已知为已知8586为未知为未知87 例例3 为比较为比较 I , 两种型号步枪子弹的枪口两种型号步枪子弹的枪口速度速度 ,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹 10 发发 ,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发 ,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等 .求两总体均值差求两总体均值差 的的置信水平为置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.88解解 依题意依题意 , 可认为分别来自

31、两总体的样本是可认为分别来自两总体的样本是相互独立的相互独立的.又因为由假设两总体的又因为由假设两总体的方差相等方差相等 ,但但数数值未知值未知 ,故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为的置信区间的置信区间为为其中其中89这里这里 故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为0.95 的置的置信区间信区间为为即即 (3.07, 4.93) .90推导过程如下推导过程如下:2.91根据根据F分布的定义分布的定义, 知知9293 例例4 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内生产的钢管的内径径 , 随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管1

32、8只只 , 测得样本测得样本方差方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只 ,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互设两样本相互独立独立 , 且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径分别服从正态分布分别服从正态分布 这里这里 (i =1,2) 均未知均未知 .试求方差比试求方差比 的的置信水平为置信水平为 0.90 的置信区间的置信区间.94这里这里即即 (0.45 , 2.79) .解解 故两总体方差比故两总体方差比 的的置信水平为置信水平为0.90 的置的置信区间信区间为为95单侧置信区间单侧置信区间96在上述讨论中在上述讨论中,

33、对于未知参数对于未知参数q q, 我们给出两个我们给出两个统计量统计量q q,qq, 得到得到q q的双侧置信区间的双侧置信区间(q q,qq). 但在但在一些实际问题中一些实际问题中, 例如例如, 对于设备对于设备, 元件的寿命元件的寿命来说来说, 平均寿命长是我们所希望的平均寿命长是我们所希望的, 我们关心的我们关心的是平均寿命是平均寿命q q的的下限下限, 与此相反与此相反, 在考虑化学在考虑化学药品中杂质含量的均值药品中杂质含量的均值m m时时, 我们常关心参数我们常关心参数m m的的上限上限. 这就引出了单侧置信区间的概念这就引出了单侧置信区间的概念.97对于给定值对于给定值a a(

34、0a aq q 1- -a a,(7.1)称随机区间称随机区间(q q, )是是q q的置信水平为的置信水平为1- -a a的的单侧置信区单侧置信区间间, q q 称为称为q q的置信水平为的置信水平为1- -a a的的单侧置信下限单侧置信下限.98又若统计量又若统计量q q =qq(X1,X2,.,Xn), 对于任意对于任意q q 满足满足 Pq q q q 1- -a a,(7.2)称随机区间称随机区间(- - ,q q )是是q q 的置信水平为的置信水平为1- -a a的的单单侧置信区间侧置信区间, q q 称为称为q q 的置信水平为的置信水平为1- -a a的的单单侧置信上限侧置信

35、上限.99例如对于正态总体例如对于正态总体X, 若均值若均值m m, 方差方差s s2均为未知均为未知, 设设X1,X2,.,Xn是一个样本是一个样本, 由由100于是得到于是得到m m的一个置信水平为的一个置信水平为1- -a a的单侧置信区间的单侧置信区间m m的置信水平为的置信水平为1- -a a的单侧置信下限为的单侧置信下限为101又由102于是得于是得s s2的一个置信水平为的一个置信水平为1- -a a的单侧置信区间的单侧置信区间s s2的置信水平为的置信水平为1- -a a的单侧置信上限为的单侧置信上限为103例例 从一批灯泡中随机地取从一批灯泡中随机地取5只做寿命试验只做寿命试验, 测得寿测得寿命命(以小时计以小时计)为为1050, 1100, 1120, 1250, 1280设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命平均值的置求灯泡寿命平均值的置信水平为信水平为0.95的置信下限的置信下限.解解 1- -a a=0.95, n=5, ta a(n- -1)=t0.05(4)=2.1318, x=1160, s2=9950. 由由(7.4)式得所求单侧置信式得所求单侧置信下限为下限为104105作业 第七章习题第173页第1,2,12题第16,22,23题105