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1、回顾：叠加原理回顾：叠加原理几率振幅。几率振幅。 量子力学-薛定谔方程常数相位常数相位绝对绝对常数常数相位没有意义相位没有意义相对相对常数常数相位才是有意义的相位才是有意义的依赖于依赖于能够在测量结果中反映能够在测量结果中反映量子力学-薛定谔方程变化的相位是有意义的（能够在测变化的相位是有意义的（能够在测量中反映出来）量中反映出来） 量子力学-薛定谔方程波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！量子力学-薛定谔方程 2.2 2.2 薛定谔方程薛定谔方程1.薛定谔方程薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满足量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。的偏微分方程。这个基本定律在本质
2、这个基本定律在本质上是一个假说。上是一个假说。 量子力学-薛定谔方程 德布罗意物质波概念德布罗意物质波概念推广推广量子力学-薛定谔方程薛定谔方程的薛定谔方程的“建立建立”寻找寻找de Brogliede Broglie波满足的方波满足的方程，并加以推广程，并加以推广这不是严格推导（薛定谔方程不这不是严格推导（薛定谔方程不能由旧理论严格导出）能由旧理论严格导出）量子力学-薛定谔方程由由de Broglie波波 寻找寻找de Brogliede Broglie波满足的方程波满足的方程所以又因有有量子力学-薛定谔方程再推广到含有势能再推广到含有势能U的情况的情况两边作用于波函数量子力学-薛定谔方程记
3、住便于记忆的形式量子力学-薛定谔方程量子力学-薛定谔方程单粒子情况单粒子情况t=0t=T原则上，可以由薛定谔方程给出所有可能的原则上，可以由薛定谔方程给出所有可能的状态，状态，U U（r r）决定态的演化规律。）决定态的演化规律。初始状态（依赖于实验制备）决定任意初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T T 时时刻的状态，即刻的状态，即“态的演化过程态的演化过程”是确定的是确定的（但位置（但位置x x有不确定性，几率分布由波函数给有不确定性，几率分布由波函数给出）出）。x量子力学-薛定谔方程多粒子（N个粒子）情况非定域性：非定域性：整个体系的整个体系的状态状态用用3N个个空间坐标空间坐标和和一个
4、时间坐一个时间坐标描述。标描述。量子力学-薛定谔方程2. 2. 几率守恒定律与几率流密度几率守恒定律与几率流密度由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定律，从而引入律，从而引入几率流密度概念。几率流密度概念。 几率密度几率密度根据薛定谔方程量子力学-薛定谔方程几率流密度的推导（单粒子）几率流密度的推导（单粒子）几率密度的时间演化：几率密度的时间演化：薛定谔方程薛定谔方程量子力学-薛定谔方程定义流密度定义流密度记记则则这是薛定谔方程造成的结果，这是薛定谔方程造成的结果，代表一种代表一种守恒定律守恒定律 。由于。由于w是几率密度，所以是几率密度，所以J可可以理解为几
5、率流密度。以理解为几率流密度。量子力学-薛定谔方程理解（推导积分形式）理解（推导积分形式）对任何体积对任何体积V V，对上式积分，对上式积分等式右方用等式右方用GaussGauss定定理，得理，得VSV内部几率变化内部几率变化由边界流入或流出的量。由边界流入或流出的量。量子力学-薛定谔方程薛定谔方程能够满足全空间几率守恒薛定谔方程能够满足全空间几率守恒代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数守恒。守恒。相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也不成立；实际上相对论情况不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消有粒子产生和消灭，粒
6、子数一般不守恒！灭，粒子数一般不守恒！，量子力学-薛定谔方程电流密度电流密度几率流密度电流密度电流密度可以应用于原子内部电子运动的电流的计算可以应用于原子内部电子运动的电流的计算可以应用于超导体等量子系统电流的计算可以应用于超导体等量子系统电流的计算量子力学-薛定谔方程几率流密度表达式的另一种形式几率流密度表达式的另一种形式c.c.代表前面一项的复共轭。量子力学-薛定谔方程例题对平面波情况对平面波情况 求几率流密度求几率流密度量子力学-薛定谔方程3.3.薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解定态薛定定态薛定谔方程谔方程方程求解方程求解-分离变量法：分离变量法：设设代入薛定谔方程代入薛定谔方程先寻找特
7、解先寻找特解（一系列基（一系列基本函数），本函数），再叠加生成再叠加生成通解通解两边同时除以两边同时除以量子力学-薛定谔方程左边（左边（t t）= =右边（右边（r r）任意任意t t，r r均成立，而左边与均成立，而左边与r r无关，所以右边与无关，所以右边与r r也应该也应该无关，右边与无关，右边与t t无关，所以左边也应该与无关，所以左边也应该与t t无关。所以两无关。所以两边都等于一个与边都等于一个与t t，r r都无关的常数都无关的常数E E量子力学-薛定谔方程时间部分时间部分量子力学-薛定谔方程空间部分（定态薛定谔方程）空间部分（定态薛定谔方程）定态薛定谔方程定态薛定谔方程量子力学
8、-薛定谔方程定态概念定态概念完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）乘以时间因子）对比对比de Broglie波，我们发现常数波，我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量的物理意义正是粒子的能量。定态就是能量定态就是能量E确定的状态。确定的状态。量子力学-薛定谔方程定态下可观测量（如空间按几率密度、几率定态下可观测量（如空间按几率密度、几率流密度、动量几率密度等）都是稳定的（不流密度、动量几率密度等）都是稳定的（不随随t变化）变化）与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没有有“轨道运动轨道运动”假设假设量子力学-
9、薛定谔方程定态薛定谔方程就是能量本征方程定态薛定谔方程就是能量本征方程量子力学-薛定谔方程思考题思考题两个不同的定态叠加生成的态是否两个不同的定态叠加生成的态是否是定态？是定态？提提示示：量子力学-薛定谔方程4. 4. 波函数应满足的条件波函数应满足的条件从波函数的几率解释以及波函数满足二阶从波函数的几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求，一般地说，波函数应微分方程这一要求，一般地说，波函数应该满足以下三个条件：该满足以下三个条件： (1) (1)单值性；单值性； (2) (2)有限性；有限性； (3) (3)连续性。连续性。连续性通常意味着连续性通常意味着 和和 都连续，都连续，但在势能
10、有无穷大跳跃的地方，但在势能有无穷大跳跃的地方， 允许不连续。允许不连续。量子力学-薛定谔方程作业作业作业：作业：p.52, #2.2p.52, #2.2，注意：在球坐标中，注意：在球坐标中, ,量子力学-薛定谔方程2.3 2.3 一维运动问题的一般分析一维运动问题的一般分析1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质一维定态薛定谔方程的解的一般性质 一维定态薛定谔方程是一维定态薛定谔方程是二阶常微分方程，容易求解二阶常微分方程，容易求解它的解有如下的规律它的解有如下的规律量子力学-薛定谔方程WronskianWronskian定理定理若若 都是方程的解都是方程的解( (能量相同能量相同) )，则，
11、则( ( c c 是与是与 x x 无关的常数无关的常数) )， 称为称为WronskianWronskian定理。定理。量子力学-薛定谔方程WronskianWronskian定理的证明定理的证明证明：定态方程的两个解满足证明：定态方程的两个解满足量子力学-薛定谔方程另外两个定理另外两个定理共轭定理：若共轭定理：若 是定态行薛定谔程是定态行薛定谔程的解，则的解，则 也是该方程的解也是该方程的解( (且且能量相同能量相同) )。 反射定理：对反射定理：对 ( (原点对称的原点对称的势势) )，那么若，那么若 是该方程的解，则是该方程的解，则 也是该方程的解也是该方程的解( (且能量相同且能量相
12、同) )。（由定态薛定谔方程可以直接证明，请自（由定态薛定谔方程可以直接证明，请自己完成）己完成）量子力学-薛定谔方程2. 一维定态的分类：束缚态与非一维定态的分类：束缚态与非束缚态束缚态若若 则则束缚态束缚态相反的情况是非束缚态（或称为散射相反的情况是非束缚态（或称为散射态）态）量子力学-薛定谔方程例子例子束缚态：原子中的束缚态：原子中的“束缚束缚”电子电子 人工量子微结构人工量子微结构束缚态几率分布被限制在有限的空间束缚态几率分布被限制在有限的空间范围内。范围内。非束缚态：如自由电子；电离态原子非束缚态：如自由电子；电离态原子量子力学-薛定谔方程3. 3. 一维束缚态的一般性质一维束缚态的
13、一般性质先引入一个概念简并与非简并先引入一个概念简并与非简并如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在（函数存在（即只有一个状态即只有一个状态），则称该能级是非），则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。数的个数称为它的简并度。线性独立的定义：对常数线性独立的定义：对常数c1，c2量子力学-薛定谔方程一维束缚态不简并定理一维束缚态不简并定理定理：一维束缚态必是非简并态（定理：一维束缚态必是非简并态（ 可以由Wronskian定理证明）。）。En量子力学-薛定谔方程
14、不简并定理不简并定理的证明的证明证明（证明（反证法反证法）：利用）：利用WronskianWronskian定定理与束缚态性质，推导如下：理与束缚态性质，推导如下： 假设简并假设简并，则方程有两个线性，则方程有两个线性独立的解，但是由独立的解，但是由量子力学-薛定谔方程两个函数不是线性独立的（对应同一个状态），两个函数不是线性独立的（对应同一个状态），因此因此不简并不简并。与题设矛盾，故定理得证。与题设矛盾，故定理得证。*更严格的证明应该考虑波函数有节点（为零的点）的情况，这时更严格的证明应该考虑波函数有节点（为零的点）的情况，这时需要分段考虑每个节点之间的区域，再利用波函数连续性条件证需要分
15、段考虑每个节点之间的区域，再利用波函数连续性条件证明以上常数明以上常数C对每一段是同一个常数（可参考曾谨言量子力学卷对每一段是同一个常数（可参考曾谨言量子力学卷1，83页）页）量子力学-薛定谔方程对定理的补充说明对定理的补充说明（1 1）此定理仅对一维情况成立此定理仅对一维情况成立；二维、三维；二维、三维束缚态的能量仍然可能简并（如氢原子、束缚态的能量仍然可能简并（如氢原子、二维、三维谐振子等）；二维、三维谐振子等）；（2 2）非束缚态的能量一般是简并的。）非束缚态的能量一般是简并的。量子力学-薛定谔方程非束缚态的例子非束缚态的例子例如：一维自由粒子例如：一维自由粒子能量能量是是2 2度简并的
16、：度简并的： 即即同一个能量同一个能量E E，有两个线性独立的波函数，有两个线性独立的波函数，可以取为：可以取为：量子力学-薛定谔方程两个推论两个推论推论推论1 1：一维束缚态波函数的相位必是常数。：一维束缚态波函数的相位必是常数。 即即 因此波函数可以取为实函数因此波函数可以取为实函数量子力学-薛定谔方程宇称宇称宇称是态的重要的量子力学性质，它具有宇称是态的重要的量子力学性质，它具有“纯量子力学纯量子力学”的特征，在经典力学中没的特征，在经典力学中没有对应物。有对应物。量子力学-薛定谔方程推论推论2(2(宇称定理宇称定理) )：如果：如果 则一维束缚态波函数必有确定的宇称。则一维束缚态波函数
17、必有确定的宇称。量子力学-薛定谔方程束缚态能量离散性束缚态能量离散性定理：束缚态定理：束缚态( (不只是一维不只是一维) ) 的能级是不连的能级是不连续的续的（仅当能量取某些离散的数值时，方程才有（仅当能量取某些离散的数值时，方程才有符合单值、有限、连续条件的解）。这就是通常符合单值、有限、连续条件的解）。这就是通常意义的意义的“量子化量子化”。以后将用例子说明可以由波动理论自然地以后将用例子说明可以由波动理论自然地导出能量的不连续性。导出能量的不连续性。E量子力学-薛定谔方程作业作业作业作业( (补充题补充题2.2)2.2)：证明本节中的：证明本节中的推论推论1 1和和推论推论2 2。量子力
18、学-薛定谔方程量子力学中的离散与连续量子力学中的离散与连续能量有时是量子化（离散化）的（详见后能量有时是量子化（离散化）的（详见后面的束缚态求解过程），有时则是连续的面的束缚态求解过程），有时则是连续的（如自由粒子平面波解对应的状态）（如自由粒子平面波解对应的状态）空间坐标和动量总是连续谱。空间坐标和动量总是连续谱。一些力学量（如角动量和自旋）总是量子一些力学量（如角动量和自旋）总是量子化（离散化）的。化（离散化）的。时间被当作连续的参量。时间被当作连续的参量。量子力学-薛定谔方程下次课内容2.4 2.4 一维无限深势阱、有限深势阱一维无限深势阱、有限深势阱 2.5 2.5 线性谐振子线性谐振子量子力学-薛定谔方程
