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1、竞赛课件3平衡问题探骊Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 稳定平衡稳定平衡O稍微偏离原平衡位稍微偏离原平衡位置后能回到原位置置后能回到原位置 不稳定平衡不稳定平衡稍微偏离原平衡位置稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置后不能回到原位置 随机平衡随机平衡能在随机位置保持平衡能在随机位置保持平衡O对由重力与支持力作用下的平衡对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置偏离原平衡位置 或从能量
2、角度考察受扰动后物体重心位置的高度变或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡； 为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节低细节”的描述，的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段故常需运用合理的近似这一数学处理手段 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对
3、扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种平衡态属于哪一种依问题的具体情况，择简而从依问题的具体情况，择简而从 如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为径分别为a、b且长轴的长度为且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平，蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，碗的半径立，碗的半径r需满足的条件需满足的条件 专题专题3-问题问题1考察质心位置的高度变化考察质心位置的高度变化蛋圆在水平面
4、处稳定平衡蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足应满足BAbaClR低细节低细节描述描述蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足微扰情况下微扰情况下、为小量，为小量，整理得整理得碗的半径碗的半径续解续解MNO-CAB蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足续解续解续解续解考察质心位置侧移量考察质心位置侧移量蛋处于稳定平衡的条件是蛋处于稳定平衡的条件是: :重力对扰动后新支重力对扰动后新支点点N的力矩可使蛋返回原位，即满足的力矩可使蛋返回原位，即满足低细节低细节描述描述碗的半径碗的半径 如图如图所示所示，杆长，杆长l=a+b,质心在质心在C点点,杆的杆的A、B
5、两两端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位试问在图示位置时置时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之之. 专题专题3-问题问题2先研究三力杆平衡时的几何位置特点先研究三力杆平衡时的几何位置特点:ABab0CO在在BOC中由正弦定理中由正弦定理:证明证明FAFBG考察质心位置的高度变化考察质心位置的高度变化ABCy扰动后当杆处于与右斜面成夹角扰动后当杆处于与右斜面成夹角方位方位时时已有已有结论结论质心质心C的高度有最大值的高度有最大值受扰动后杆质心降低受扰动后杆质
6、心降低,属属不稳定平衡不稳定平衡续解续解考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量0ABCO原平衡位置时杆的瞬时转动中心为原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O如示扰动后杆的瞬时转动中心为如示扰动后杆的瞬时转动中心为O此时此时, ,重力对重力对O的力矩为的力矩为0 0此时此时, ,重力对重力对 的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置!不稳定平衡不稳定平衡ab 如图所示，课桌面与水平面夹角成如图所示，课桌面与水平面夹角成，在桌面，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑
7、动试求：动试求：在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数铅笔的铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？ 专题专题3-问题问题3考虑不滑动考虑不滑动铅笔在斜面上恰不滑动铅笔在斜面上恰不滑动,有有摩擦角恰为斜面倾角摩擦角恰为斜面倾角若满足若满足笔不会因滑动而破坏平衡笔不会因滑动而破坏平衡!考虑不滚动考虑不滚动低细节低细节描述描述笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面!应满足应满足放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角笔不会因滚动而破坏平衡
8、笔不会因滚动而破坏平衡!B1BOACa过笔质心的横截面过笔质心的横截面临界状态下临界状态下续解续解重力作用线重力作用线127 飞檐问题飞檐问题：如图所示，建造屋顶边缘时，用长：如图所示，建造屋顶边缘时，用长度为度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，如果，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的几层砖最多可使屋檐几层砖最多可使屋檐“飞飞”出多长？出多长？ 专题专题3-问题问题4 GL若共堆若共堆n层、每块伸出层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒的砖而恰未翻倒C全全n
9、G123n最上最上1 1层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出最上最上2 2层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2G3G最上最上3 3层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出GG以此类推，以此类推，7层砖的最大伸出层砖的最大伸出 如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的AOBBBOCBODBO不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定
10、平衡 图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？ 随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡给两小球线绳系统一扰动给两小球线绳系统一扰动, ,从受力角度考从受力角度考察受扰动后察受扰动后, ,两小球重力沿绳方向力的合两小球重力沿绳方向力的合力指向力指向, ,从而判断平衡种类从而判断平衡种类! !llmLm 如图所示装置，它是由一个长如图所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末的细
11、木杆，以及在木杆的末端装有质量同为端装有质量同为m的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为杆与木钉间夹角为，此装置放在硬质木柱上，则，此装置放在硬质木柱上，则l、L、间应当满间应当满足足_关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以只能以O点为支点摆动而不致倾倒点为支点摆动而不致倾倒 为满足题意即系统为满足题意即系统处于稳定平衡处于稳定平衡, ,给系统一扰动给系统一扰动, , 两小球重力对两小球重力对O O的力的力矩应能使系统矩应能使系统回到原位回到原位! !原平衡位置时原平衡位置时受一微扰后
12、受一微扰后O2mg不能回到原位不能回到原位原平衡位置时原平衡位置时2mg受一微扰后受一微扰后能回到原位能回到原位 如图所示如图所示,长度为长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式式(x) （杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内） 为满足题意即杆为满足题意即杆处于随遇平衡处于随遇平衡, ,应应使杆的重心使杆的重心始终在始
13、终在x轴轴! !OyxC(0,)(x,y)表面的横截线满足表面的横截线满足该表面为椭球面的一部分该表面为椭球面的一部分 如图所示如图所示,两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的小环能沿着的小环能沿着一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度度在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两边在其两边设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时， 直杆与轻环两边的直杆与轻环两边的绳夹角为绳夹角为 试证：试证： m2m1同一光滑绳上张力同一光滑绳上张
14、力处处相同处处相同设为设为FT, ,m1gFT两小环平衡两小环平衡, ,分析受力如图分析受力如图: :m2gFT由力矢量三角形由力矢量三角形: : 一根质量为一根质量为m的均匀杆，长为的均匀杆，长为L，处于竖直的位，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才为何值时才能使杆处于稳定平衡？能使杆处于稳定平衡？ 为使杆为使杆处于稳定平衡处于稳定平衡, ,给杆一扰给杆一扰动动, ,弹簧拉力对弹簧拉力对O O的力矩应的
15、力矩应大于大于杆重杆重力矩力矩! !mgFT即即其中其中得得FT 如图所示如图所示,一块厚一块厚d的木板位于半径为的木板位于半径为R的圆柱上，的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为试试求板可以处于稳定平衡状态的条件求板可以处于稳定平衡状态的条件 RC令板从原平衡位置偏转一小角度令板从原平衡位置偏转一小角度板板处于稳定平衡处于稳定平衡条件是条件是重心升高重心升高! !以圆柱轴为参照以圆柱轴为参照, ,原板重心高度原板重心高度扰动后重心高度扰动后重心高度应有应有考虑到考虑到且且 如图所示如图所示,用均匀材料制成的浮子，具有两个
16、半径均为用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，质量为，质量为m1沿浮子对称轴向沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长lh，质量为，质量为m2当将浮子辐条向上当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？ 先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：Cm1gm2g浮子偏转小角度浮子偏转小角度低细节低细节描述描述浮子为浮子为不稳定
17、平衡不稳定平衡! !浮子为浮子为随遇平衡随遇平衡! !浮子为浮子为稳定平衡稳定平衡! !至题至题9CC续解续解CCCOOKDhRKDCKO 如图所示如图所示,儿童玩具不倒翁高儿童玩具不倒翁高h21cm，质量，质量m300g，相，相对轴对轴KD对称分布不倒翁的下部是半径对称分布不倒翁的下部是半径Rcm的球面，如果不倒翁放在与水平的球面，如果不倒翁放在与水平面成角面成角30的粗糙面上，当它的轴的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角与竖直方向倾角45，则处于稳定平衡，则处于稳定平衡状态为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶状态为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶加多少塑泥？加多
18、少塑泥？ C先求原重心位置：先求原重心位置：在三角形在三角形OCDOCD中运用正弦定理：中运用正弦定理：在水平面上：在水平面上：O DKC不倒翁不倒翁失去稳定平衡失去稳定平衡条件是条件是重心高于重心高于O! !m 有一长为有一长为0.2 m、截面积为、截面积为2 cm2的均匀细棒，密的均匀细棒，密度为度为5102 kg/m3 在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，若细棒露出水面部分的长为若细棒露出水面部分的长为0.02 m，则小铁片质量为多少？，则小铁片质量为多少？ 不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上不拿
19、去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端面与水面齐平？端面与水面齐平？ 要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?分析此时受力：分析此时受力：CM此时态势为：此时态势为：C1低细节低细节描述描述系统为系统为稳定平衡稳定平衡条件是条件是浮心高于合重心浮心高于合重心! !C总至题至题11C总C总C总不稳定平衡不稳定平衡随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡续解续解ab 两个相同长方体处于图示位置问当两个相同长方体处于图示位置问当角为多少角为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为，长方
20、体长，长方体长b宽宽a长方体间无摩擦长方体间无摩擦 分析受力：分析受力：G系统系统可能平衡可能平衡条件是条件是在此条件下在此条件下, ,对右物块由力矩平衡对右物块由力矩平衡G在此条件下在此条件下, ,对左物块由力矩平衡对左物块由力矩平衡 在互相垂直的斜面上放置一匀质杆在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接，设各接触面的摩擦角均为触面的摩擦角均为（tg）,求平衡时杆求平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范的范围已知斜面围已知斜面BO与水平面交角为与水平面交角为 ABO三力杆平衡时的几何位置特点三力杆平衡时的几何位置特点: :不稳定平衡不稳定平衡杆两端约束力与重力三力汇交杆两端约束力与重力三
21、力汇交当当=时时GABOfA=0 fB=0续解续解结论结论:平衡时杆平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范围为的范围为 当当时时GOABG-fA=f m fA=f m fA=f m fB f mfB=f m fA f m杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角续解续解当当时时GOGABfA=f m fA=f m fA=f m fB f mfB=f m fA f m杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角返回返回- 4个半径均为个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的半的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内该球形碗内该4球球心恰在同一个水平面上，现将相同的第球球心恰在同一个水平
22、面上，现将相同的第5个球放个球放在前述在前述4球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？ 几何描述几何描述上球对下各球压力由对称性得上球对下各球压力由对称性得 C AE各球三力构成闭合三角形各球三力构成闭合三角形由力三角形与几何三由力三角形与几何三角形相似求碗半径角形相似求碗半径! !碗半径碗半径r由几何三角形由几何三角形动态分析动态分析结论结论:使系统平衡碗半径使系统平衡碗半径D CB AE俯视图PP ABCDE剖面图球心与切点空间位置 C AEPGTN续解续解 C AE碗半径增大碗半径增大, ,平衡破坏平衡破坏! !碗半径减小碗半径减小, ,平衡可维持至此平衡可维持至此! !续解续解 C AEP
