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1、5.3 5.3 换元积分法和分部积分换元积分法和分部积分法法v定积分的换元积分法定积分的换元积分法v定积分的分部积分法定积分的分部积分法15.3.1 5.3.1 定积分的换元积分法定积分的换元积分法定理定理5.3.1 设函数设函数在在上连续，上连续， 函数函数满足：满足：(1)则有则有例例在在 上有连续导数上有连续导数 ，(2)且且2证证34应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）5 例例1.解解 设设6解解 设设例例2 计算计算7例例3 计算计算解解 设设注意注意(1).代换代换必须必须单值单值且有且有连续导数连续导数;(2).换元的换元的同时同时,必须必须换积分限换积分限;(
2、3).积分后积分后不必还原不必还原,只要把新的积分限代入即可只要把新的积分限代入即可.8结论结论结论结论证证 例例4.证明若证明若为偶函数为偶函数,则有则有所以所以, 同理同理 若若 为奇函数为奇函数, 例如例如,则则 9例例5.设设 函数函数计算计算 解解 设设10例例6 证明证明证明证明11例7计算 解：由于在上，在上，所以 原式注意：如果忽略 在上为负，而按照 来计算，将导致错误结果. 12例8设 在 上连续，且满足等式求 解 在0,1上，对等式两边积分，有所以从而135.3.2 5.3.2 定积分的分部积分定积分的分部积分法法设函数设函数在在上有连续导数，则上有连续导数，则定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式证证定积分的分部积分公式的定积分的分部积分公式的适用范围适用范围及及使用方法使用方法与不定积分类同与不定积分类同 .定理定理14例例1. 计算计算解解 例例2. 计算计算解解 令令 15例例3. 计算计算解解1617解解例例 5 5 设设 求求1819
