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1、函数的单调性函数的单调性2021/7/221数数与与形形,本本是是相相倚倚依依焉焉能能分分作作两两边边飞飞数数无无形形时时少少直直觉觉形形少少数数时时难难入入微微数数形形结结合合百百般般好好隔隔离离分分家家万万事事休休切切莫莫忘忘,几几何何代代数数统统一一体体永永远远联联系系莫莫分分离离 华华罗罗庚庚2021/7/222北京市北京市8月月8日一天日一天24小时内气温随时间变化曲线图小时内气温随时间变化曲线图 2021/7/223广元市年生产总值统计表广元市年生产总值统计表年份生产总值（亿元）2021/7/224 苍溪县日平均出生人数统计表苍溪县日平均出生人数统计表年份 人数（人）2021/7/
2、225能用图象上动点能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性局部上升或下降局部上升或下降下降下降上升上升2021/7/226 y246810O- -2x84121620246210141822I2021/7/227对区间对区间I内内
3、x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间I逐渐上升逐渐上升？OxIy区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN2021/7/228对区间对区间I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间I逐渐上升逐渐上升2021/7/229对区间对区间I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O设函数设函数y=f(x)的
4、定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于如果对于区间区间I上的上的任意任意当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，定定义义MN任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， I 称为称为 f (x)的的单调单调增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间I上上是单调是单调增函数增函数，区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间I逐渐上升逐渐上升I2021/7/2210 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类
5、比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增
6、增当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，单调区间单调区间2021/7/2211（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质; ;（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y = =f( (x) )在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判
7、断1 1：函数函数 f (x)= x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；xyo2021/7/2212（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质; ;（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间I I是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y = =f( (x) )在区间在区间I I上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断2 2：定义在定义在R上的函数上的函数 f ( (x
8、) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则，则函数函数 f ( (x) )在在R上是增函数；上是增函数；（3 3） x 1, x 2 取值的取值的任意任意性性yxO12f(1)f(2)2021/7/2213下表是函数 中y随x的变化情况x-4 -3 -2 -10 1 234 169410 1 4916分析函数值的变化可得到函数的单调性。分析函数值的变化可得到函数的单调性。2021/7/2214例例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：xy_ ,讨论讨论1：根据函数单调性的定义，根据函数单调性的定义， 2试讨论在和上的单调性？试讨论在和上的单调性？2
9、021/7/2215 单调区间的书写：单调区间的书写： 函数在其定义域内某一点处的函数值函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调是确定的，讨论函数在某点处的单调性无意义。若函数在区间端点处有定性无意义。若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以，若函数在区间端点处无定于，也可以，若函数在区间端点处无定于，则必须写成开区间。则必须写成开区间。2021/7/2216变式变式2：讨论：讨论 的单调性的单调性成果交流成果交流变式变式1：讨论：讨论 的单调性的单调性xyy=-x2+21- -1122- -1- -2- -2_;_.
10、例例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：2021/7/2217 单调增区单调增区间间 单调减区单调减区间间 a0 a0的对称轴为返回2021/7/2218成果运用成果运用若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。 2021/7/2219成果运用成果运用若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。 解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可. . oxy1xy1o2021/7/2220例例3.3.判断函数判断
11、函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性. . 1. 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2. 作差作差f(x1)f(x2)；3. 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4. 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5. 下结论下结论主要步骤主要步骤并给出证明并给出证明2021/7/2221证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 则则，且，且所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . 取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论返回2021/7/2222如果证得对任意的 ，且 有 ，能断定函数在区间上是增函数吗?2021/7/2223 试用定义法证明函数 在区间 上是单调增函数。2021/7/2224返回 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0） （1）解方程）解方程 （2）解不等式）解不等式 （3）求求适适合合 的的 的的取值范围取值范围2021/7/2225_2021/7/2226个人观点供参考，欢迎讨论
