《数学物理方程与特殊函数：第四章 拉普拉斯方程的格林函数法2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程与特殊函数：第四章 拉普拉斯方程的格林函数法2（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章内容回忆第四章内容回忆拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题狄氏问题：在狄氏问题：在内找到一个调和函数内找到一个调和函数u u，且，且牛曼问题：在牛曼问题：在内找到一个调和函数内找到一个调和函数u u，且，且狄氏问题狄氏问题牛曼问题牛曼问题第四章内容回忆拉普拉斯方程的狄氏问题如何求解如何求解拉普拉斯拉普拉斯方程的狄方程的狄氏氏问题拉普拉斯方程的基本解拉普拉斯方程的基本解第二格林公式第二格林公式调和函和函数数的的积分表分表达达式式调和函数的积分表达式域域内内点点MM0 0的的值可以用可以用边界上的界上的条条件求得件求得如何求解如何求解拉普拉斯拉普拉斯方程的狄方程的
2、狄氏氏问题拉普拉斯方程的基本解拉普拉斯方程的基本解第二格林公式第二格林公式格林函格林函数数调和函和函数数的的积分表分表达达式式第二格林公式第二格林公式格林函数格林函数拉普拉斯方程的格林函数拉普拉斯方程的格林函数定定义空空间域域平面域平面域拉普拉斯方程狄氏问题的解拉普拉斯方程狄氏问题的解若若G G存在，且在存在，且在上有连续的一阶偏导上有连续的一阶偏导数，则拉普拉斯方程的狄氏问题数，则拉普拉斯方程的狄氏问题的解为的解为格林函数的性质格林函数的性质格林函数除格林函数除M M0 0点外在点外在内是调和函数；内是调和函数；在边界在边界上，格林函数为上，格林函数为0 0。格林函数的物理意义格林函数的物理
3、意义导电曲面导电曲面内的电位内的电位放置在放置在M M0 0处的单位正电荷在处的单位正电荷在M M处的电处的电位位内侧感应负电荷所产生内侧感应负电荷所产生的电位的电位r rMM0MM0格林函数的求法格林函数的求法 从格林函数的定义看，格林函数是否存在，就要看从格林函数的定义看，格林函数是否存在，就要看在在上一阶连续可导的调和函数上一阶连续可导的调和函数v v是否能够求得，这是否能够求得，这个个V V应该满足应该满足格林函数仅依赖区域格林函数仅依赖区域对于某些特殊区域，如球，半空间等，格林函数可以对于某些特殊区域，如球，半空间等，格林函数可以用初等方法求得。用初等方法求得。空空间域域平面域平面域
4、电象法求格林函数电象法求格林函数 设想曲面内侧的感应负电荷所产生的设想曲面内侧的感应负电荷所产生的内内的电场可由在的电场可由在外的某一点外的某一点M M1 1处的某个点电荷所产生的电场来代替。那处的某个点电荷所产生的电场来代替。那么格林函数就是分别在么格林函数就是分别在M M0 0和和M M1 1处的点电荷所产生的电位之和。处的点电荷所产生的电位之和。r rMM0MM0电象法求格林函数电象法求格林函数具体步骤：具体步骤：对应于对应于内的一点内的一点M M0 0寻找寻找外的一点外的一点M M1 1；在在M M1 1点放置一个负电荷点放置一个负电荷（q q），使得它在），使得它在上产生上产生的电位
5、的电位 ，与，与M M0 0处单位正电荷产生的电位处单位正电荷产生的电位 相抵消，即相抵消，即因而因而于是，格林函数于是，格林函数空空间域域平面域平面域M在上电象法求格林函数电象法求格林函数电象法的关键：电象法的关键：如何寻找如何寻找M M1 1。在静电学中任何两个相反的电荷形成的电场总有一个零电在静电学中任何两个相反的电荷形成的电场总有一个零电位面，而这两个点电荷的位置关于这个零电位面有某种位面，而这两个点电荷的位置关于这个零电位面有某种“对称性对称性”。我们所讨论的区域我们所讨论的区域，利用电象法，其边界，利用电象法，其边界正是零电位正是零电位面。因此，我们通常面。因此，我们通常取取M M
6、1 1为为M M0 0关于边界关于边界的某种的某种“对称点对称点”。如果如果为平面，则为几何对称点；如果为球面，则为平面，则为几何对称点；如果为球面，则为反演点。为反演点。该结论也适用于二维空间。该结论也适用于二维空间。电象法求格林函数步骤电象法求格林函数步骤1 1、画出、画出，确定边界，确定边界, ,对应于对应于内的一点内的一点M M0 0寻找寻找外的一点外的一点M M1 1如果如果为平面（直线），为平面（直线），则为几何对称点则为几何对称点M M1 1为关于为关于边界边界的的M M0 0 的的“对称点对称点”X XY YMM0 0MM1 1O OP P 为球面（圆弧线），为球面（圆弧线），
7、则为反演点则为反演点寻找寻找M M1 1寻找寻找M M1 1根据边界的情况，根据边界的情况， 有时需要找若干个有时需要找若干个M M0 0的对称点的对称点X XY YMM0 0MM1 1MM2 2MM3 3O O电象法求格林函数步骤电象法求格林函数步骤2 2、在、在M M1 1点放置一个负电荷（点放置一个负电荷（q q），使得它在），使得它在上产生的电位上产生的电位 ，与，与M M0 0处单位正电荷产生的电位处单位正电荷产生的电位 相抵消，即相抵消，即因而因而 （M M在边界上）在边界上）求求电荷量荷量为平面（直线）为平面（直线）放置放置单位位负电荷荷为球面（圆弧线）为球面（圆弧线）求求电荷量
8、荷量求求电荷量荷量如果对称点有若干个，如果对称点有若干个，则关于平面则关于平面( (直线）的对称直线）的对称点放置单位电荷，关于球点放置单位电荷，关于球面（圆弧线）对称点放置面（圆弧线）对称点放置电量为电量为 的电荷，电荷电量的正负的电荷，电荷电量的正负性依据在边界上电位相消性依据在边界上电位相消的特性确定的特性确定X XY YMM0 0MM1 1MM2 2MM3 3O O写出格林函数写出格林函数空空间域域平面域平面域3 3、写写出出M M0 0及其及其所有所有对称称点在点在区区域域内内产生的生的电位位（空（空间域），求和，即域），求和，即为格林函格林函数数电象法求格林函数的步骤总结电象法求格
9、林函数的步骤总结确定要求解问题的区域和边界确定要求解问题的区域和边界寻找寻找M M0 0的对称点的对称点放置电荷放置电荷求求M M0 0及其所有对称点在区域内产生的电位之和及其所有对称点在区域内产生的电位之和( (空间域空间域) )特殊空间及平面的格林函数特殊空间及平面的格林函数半空间半空间/ /半平面半平面 球球/ /圆圆 半球半球/ /半圆半圆 四分之一空间四分之一空间/ /四分之一平面四分之一平面 四分之一球四分之一球/ /四分之一圆四分之一圆( (平面域平面域) )拉普拉斯方程狄氏问题的解若格林函数存在，且在若格林函数存在，且在上有连续的一阶偏导数，则拉普拉斯方程的上有连续的一阶偏导数
10、，则拉普拉斯方程的狄氏问题狄氏问题的解为的解为要求要求写写出形式解，即：出形式解，即：1 1、写写出格林函出格林函数数G G；2 2、写写出出边界界 的具体形式；的具体形式；3 3、写出、写出 的具体形式；的具体形式；4 4、写出积分区间。、写出积分区间。不必求不必求积分分电象法举例电象法举例求解定解问题求解定解问题拉普拉斯方程在半空间拉普拉斯方程在半空间Z0Z0的狄氏问题的狄氏问题电象法举例求解定解问题求解定解问题拉普拉斯方程在球空间的狄氏问题拉普拉斯方程在球空间的狄氏问题电象法举例求解定解问题求解定解问题拉普拉斯方程在上半平面的狄氏问题拉普拉斯方程在上半平面的狄氏问题半球内的格林函数XOY
11、ZM0M1M0M10R1/4球内的格林函数ORM0M1M0M1M0M1M0M10半圆内的格林函数ORM0M0M1M10平面内的格林函数平面内的格林函数XYM0M3M1M2O物理方程的求解小结分离变量法分离变量法行波法行波法拉普拉斯方程狄氏问题的格林函数法拉普拉斯方程狄氏问题的格林函数法各各种种方法的适用范方法的适用范围，解，解题步步骤及及关关键点点分离变量法（三类方程 有界域）定定解解问题偏微分方程偏微分方程齐次次边界界条条件件初始初始条条件件变量量分离分离常微分方程常微分方程1 1常微分方程常微分方程2 2条条件件特征特征值问题特征特征值解解1 1解解2 2解解1 1解解2 2 所求解所求解
12、用用FourierFourier级数数确定确定叠叠加系加系数数分离变量法齐次一次一维振振动、热传导方程方程两两维矩形域、扇（矩形域、扇（环）形域）形域拉氏方程拉氏方程圆（环）域域拉氏方程拉氏方程在第一、第二类在第一、第二类边界条件下对应边界条件下对应的特征值问题、的特征值问题、特征值，特征函特征值，特征函数系及形式解的数系及形式解的结构结构非齐次方程（齐次边界条件）解法非齐次方程（齐次边界条件）解法行波法 （无界域上的振动问题）题型型1 1题型型2 2直接积分特征方程特征线特征变换积分题型型3 3特征方程特征线 特征变换积分拉普拉斯方程狄氏问题的格林函数法1、根据所给的区域，求格林函数2、具体问题具体分析半空间/半平面 球/圆 半球/半圆 四分之一空间/四分之一平面 四分之一球/四分之一圆电象法求格林函数的关键如何寻找M1。通常取M1为M0关于边界的某种“对称点”。如果为平面（直线），则为几何对称点；如果为球面（圆弧），则为反演点注意多个对称点的情况作业4 5 6第四章
