《线性代数课件：4-3 向量组的极大线性无关组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件：4-3 向量组的极大线性无关组（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3 4.3 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组与向量组的秩与向量组的秩一、向量组的极大线性无关组一、向量组的极大线性无关组二、矩阵的秩二、矩阵的秩一个向量组可能包含很多向量，甚至无穷多个向量。比如齐次线性一个向量组可能包含很多向量，甚至无穷多个向量。比如齐次线性方程组方程组 的解向量，当的解向量，当故一般而言很难甚至不可能对一个向量组的向量逐个研究，为此故一般而言很难甚至不可能对一个向量组的向量逐个研究，为此就有必要从中选出若干个作为就有必要从中选出若干个作为“代表代表”，用这些，用这些“代表代表”来表示来表示向量组的所有向量。向量组的所有向量。 时就有无穷多个。时就有无穷多个。
2、这种想法当然是可以实现的，比如前述的这种想法当然是可以实现的，比如前述的个个元向量元向量，他们的线性组合就能表示所有的，他们的线性组合就能表示所有的元向量，故元向量，故就是所有就是所有元向量（无穷多个）的代表。元向量（无穷多个）的代表。 上节的例子让我们注意到上节的例子让我们注意到是线性无关的，再任意添加一个是线性无关的，再任意添加一个元向量元向量后，后，就线性相关了。就线性相关了。 为了描述这种为了描述这种“代表代表”，下面我们引入向量组的，下面我们引入向量组的极大线性极大线性无关组无关组的概念。的概念。 设向量组（设向量组（）：）：的一部分向量组，不妨设为的一部分向量组，不妨设为，若满足，
3、若满足 （1 1） （2 2）从原向量组的其余向量（如果有）中任意取一个）从原向量组的其余向量（如果有）中任意取一个添加进去，所得的添加进去，所得的个向量个向量均线性相关。均线性相关。线性无关；线性无关；则称则称是（是（）的一个）的一个极大线性无关组极大线性无关组。定义定义条件（条件（2 2）也可以表述为：）也可以表述为：中任意一个向量中任意一个向量均可经均可经从定义的表述，当向量组（从定义的表述，当向量组（）：）：（）的极大线性无关组就是自身。）的极大线性无关组就是自身。线性表示。线性表示。线性无关时，线性无关时， 全由零向量组成的向量组，因其任何一部分组都是线性相关的，全由零向量组成的向量
4、组，因其任何一部分组都是线性相关的，所以没有极大线性无关组。除此之外，一般来说任意一组不全为零所以没有极大线性无关组。除此之外，一般来说任意一组不全为零向量组成的向量组向量组成的向量组中总可选出一个极大线性无关组来，中总可选出一个极大线性无关组来，具体做法可以是：具体做法可以是： 因因不全为零向量，不妨设不全为零向量，不妨设，则，则线性无关。考察线性无关。考察让让取遍取遍，若，若均线性相关，则均线性相关，则就是一个极大线性就是一个极大线性线性无关，就对线性无关，就对重复上述讨论。重复上述讨论。中选出一个极大线性无关组。中选出一个极大线性无关组。 无关组。否则不妨设无关组。否则不妨设如此继续，即
5、可从如此继续，即可从 很明显这样方法很繁琐，下面通过一个例子来介绍一种简单很明显这样方法很繁琐，下面通过一个例子来介绍一种简单的求向量组极大线性无关组的方法。的求向量组极大线性无关组的方法。例例 已知已知求求的极大线性无关组。的极大线性无关组。解解 将将作为列向量，构作矩阵作为列向量，构作矩阵，仅用初等行变，仅用初等行变化为行阶梯形。化为行阶梯形。换把矩阵换把矩阵即即 行变换，所以变换后所得矩阵的秩就是原来矩阵行变换，所以变换后所得矩阵的秩就是原来矩阵的秩，而且变换后矩阵中哪些列的秩就是原来矩阵中对应位置上的秩，而且变换后矩阵中哪些列的秩就是原来矩阵中对应位置上那几列的秩。那几列的秩。因仅作初
6、等因仅作初等这就表明这就表明线性无关，线性无关，线性相关，故线性相关，故是是的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组. 同时表明同时表明线性无关，线性无关，线性相关，故线性相关，故也是也是关组关组.请同学们利用这个方法请同学们利用这个方法,找出找出 的一个极大线性无的一个极大线性无的其它极大线性无关组的其它极大线性无关组. 由这个例子我们可以发现，每一个由不全为零向量组成的向量组都由这个例子我们可以发现，每一个由不全为零向量组成的向量组都有极大线性无关组，极大线性无关组可以不唯一，而且每个极大线有极大线性无关组，极大线性无关组可以不唯一，而且每个极大线性无关组所含有的向量个数都是一样的。事实上
7、，有下列结论向量性无关组所含有的向量个数都是一样的。事实上，有下列结论向量组的任意两个极大线性无关组所含的向组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将向量组量个数相等，我们将向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩向量组的秩，它是由向量它是由向量组唯一确定的。所以上述例子中向量组组唯一确定的。所以上述例子中向量组的秩为的秩为3 3， 显然显然 全为全为零向量组成的向量组的秩为零。由上述例子的求解过程，我们可以零向量组成的向量组的秩为零。由上述例子的求解过程，我们可以发现发现:向量组向量组的秩即为矩阵的秩即为矩阵的秩。的秩。命题命题由
8、极大线性无关组的定义：由极大线性无关组的定义：至此，可归结出求向量组至此，可归结出求向量组的秩与极大线性无关组的一种的秩与极大线性无关组的一种作为列向量构作矩阵作为列向量构作矩阵A A，即，即将将A A只用初等行变换化为阶梯形矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵B B。向量组向量组的秩的秩3 3、向量组、向量组中任意中任意r r个个线性无关的向量都是它的一个极大线性无关的向量都是它的一个极大方法：方法：1 1、将、将线性无关组，一般常取阶梯头所在的列作为一个极大线性无关组。线性无关组，一般常取阶梯头所在的列作为一个极大线性无关组。设向量组设向量组的秩为的秩为r r ，则向量组中任意，则向量组中任意
9、r+1个向量（如果有）个向量（如果有）必线性相关。必线性相关。秩为秩为r r的的向量组中任意向量组中任意r r个线性无关的向量均可作为个线性无关的向量均可作为该向量组的一个极大线性无关组。该向量组的一个极大线性无关组。对上述命题的证明留给大家，但请记住并理解这些结论！对上述命题的证明留给大家，但请记住并理解这些结论！命题命题2 2、求出、求出B B的秩，比如的秩，比如命题命题矩阵矩阵A按行分块得到行向量组的秩称为按行分块得到行向量组的秩称为A的的行秩行秩，按列分块得到列，按列分块得到列向量组的秩称为向量组的秩称为A的的列秩列秩。设设则则A A的行秩的行秩列秩列秩。是可逆矩阵是可逆矩阵的行向量组
10、线性无关的行向量组线性无关的列向量组线性无关的列向量组线性无关 这个结论表明我们可把矩阵的秩定义为它的行向量组的极大这个结论表明我们可把矩阵的秩定义为它的行向量组的极大线性无关组所含向量个数（行秩），也可定义为它的列向量组的极线性无关组所含向量个数（行秩），也可定义为它的列向量组的极大线性无关组所含向量的个数（列秩）。这就使得我们能从一个新大线性无关组所含向量的个数（列秩）。这就使得我们能从一个新的角度（向量的角度）来刻画矩阵的秩，比如的角度（向量的角度）来刻画矩阵的秩，比如A A的列（行）向量组中有的列（行）向量组中有r r个列（行）向量线性无关，个列（行）向量线性无关，且任意且任意r+1r
11、+1个（如果有）列（行）向量均线性相关。个（如果有）列（行）向量均线性相关。例例 设设A A是是矩阵，矩阵，（A A）A A的的3 3个列向量必线性无关。个列向量必线性无关。（B B）A A的的5 5个行向量必线性相关。个行向量必线性相关。（C C）A A的任意的任意3 3个行向量必线性无关。个行向量必线性无关。（D D）A A的行向量中有的行向量中有3 3个行向量是线性无关的。个行向量是线性无关的。下述下述4 4个命题中不正确的是（个命题中不正确的是（ ）解解 由由知，知，A A的列秩为的列秩为3 3，A A的列向量只有的列向量只有3 3个，所以个，所以A A的的3 3个个知，知，A A的行秩为的行秩为3 3，所以，所以A A的的5 5个行向量必然线性相关，故（个行向量必然线性相关，故（B B）正确。）正确。由由A A的行秩为的行秩为3 3知知,A,A的行向量中有的行向量中有3 3个行向量是线性无关的个行向量是线性无关的, ,故故(D)(D)正确正确. .列向量必然线性无关，故（列向量必然线性无关，故（A A）正确。由）正确。由显然（显然（C C）不正确）不正确. .谁可以举出一谁可以举出一个反例来说明个反例来说明选项选项C C不正确呢不正确呢？这个矩阵可以说明这个矩阵可以说明问题吗？问题吗？作业：（注：每周一早上8点交作业）P122 1（2）2(1)第四题做在课本上
