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1、自动控制原理自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院College of Electromechanical Information Engineering第七章第七章 非线性系统控制非线性系统控制Chapter 7 control of nonliner systems大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理7.1 7.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 7.2 7.2 常见非线性及其对系统运动的影响常见非线性及其对系统运动的影响7.3 7.3 描述函数法描述函数法 7.4 7.4 相平面法相平面法 7.5 7.5
2、MatlabMatlab 在本章中的应用在本章中的应用本章重点内容本章重点内容大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理7.4相平面法7.4.1 7.4.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面：相轨迹：相轨迹：系统变量及其导数系统变量及其导数随时间变化随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹在相平面上描绘出来的轨迹。由系统某变量及其导数由系统某变量及其导数( (如如 ) )构成的用以描述系统状态的平面。构成的用以描述系统状态的平面。例例1 1 单位反馈系统单位反馈系统相平面、相轨迹和相轨迹图相平面、相轨迹和相轨迹图相轨迹图：相轨迹图：相平面相平面
3、+ + 相轨迹簇相轨迹簇大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理相平面法7.4.2 7.4.2 相轨迹的性质相轨迹的性质对于线性定常系统，对于线性定常系统，原点是唯一的平衡点原点是唯一的平衡点(3)(3)相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向上半平面上半平面: : 向右移动向右移动下半平面下半平面: : 向左移动向左移动顺顺时针运动时针运动(4)(4)相轨迹通过横轴的方向相轨迹通过横轴的方向(2)(2)相轨迹的奇点相轨迹的奇点 (平衡点平衡点)设非线性系统方程为：设非线性系统方程为：相相轨迹上斜率不确定的点轨迹上斜率不确定的点(1)(1)相轨迹的斜率相轨迹的斜
4、率相轨迹以相轨迹以90穿越穿越 x 轴轴大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 绘制相绘制相相迹相迹的方法有解析法和图解法两种。解的方法有解析法和图解法两种。解析法只适用于系统微分方程比较简单的场合；对于析法只适用于系统微分方程比较简单的场合；对于一般非线性系统的相轨迹，宜采用图解法。一般非线性系统的相轨迹，宜采用图解法。 ( (一一) )用解析法求相轨迹用解析法求相轨迹 用解析法绘制相迹的方法通常有两种：一种是用解析法绘制相迹的方法通常有两种：一种是对微分方程直接进行积分。显然，这种方法只适用对微分方程直接进行积分。显然，这种方法只适用于该式能用一般
5、函数的场合。另一种方法是分别解于该式能用一般函数的场合。另一种方法是分别解出出x x1 1和和x x2 2对对t t的关系式，然后消去参变量的关系式，然后消去参变量t t，求得求得x x1 1和和x x2 2的关系式。的关系式。 二、相轨迹的绘制二、相轨迹的绘制 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例2 2 设系统方程为设系统方程为 ， 试绘制系统的相轨迹。试绘制系统的相轨迹。解解 椭圆方程椭圆方程7.4.3 7.4.3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 解析法解析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理解解例例3
6、 3 系统方程系统方程 , ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。系统方程系统方程等倾斜线方程等倾斜线方程等倾斜线等倾斜线 相轨迹斜率为常数的曲线相轨迹斜率为常数的曲线7.4.3 7.4.3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 等倾斜线法等倾斜线法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理7.2 相平面法（5） 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理7.4.4 7.4.4 由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解 增量法增量法相轨迹相轨迹A-B段的平均速度：段的平均速度： 相轨迹相轨迹A-B段所用的时间：段所
7、用的时间： 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理极点分布极点分布(3) 二阶系统的相轨二阶系统的相轨迹迹奇点奇点相迹图相迹图（演示）（演示）中心点中心点稳定的稳定的 焦点焦点稳定的稳定的 节点节点鞍鞍 点点不稳定不稳定的焦点的焦点不稳定不稳定的节点的节点极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例4 4 设系统方程为设系统方程为 求系统的平衡点求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。解解 令令 不稳定焦点不稳定焦点线化线化特征特征方程方
8、程鞍点鞍点7.4.6 7.4.6 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析(1) (1) 非本质非线性系统的相平面分析非本质非线性系统的相平面分析大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例5 5 设系统方程为设系统方程为 ，求系统的平衡点，求系统的平衡点xe， 并判定平衡点附近并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。解解 令令当当特征特征方程方程线化线化 中心点中心点鞍点鞍点大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例1 1 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。解解特征特征方
9、程方程 稳定焦点稳定焦点鞍点鞍点奇点奇点极点极点开关线开关线(2) (2) 本质非线性系统的相平面分析本质非线性系统的相平面分析大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例2 2 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。解解特征特征方程方程 中心点中心点奇点奇点极点极点 中心点中心点开关线开关线 划分不同线性区域的边界线划分不同线性区域的边界线平衡线平衡线（奇线奇线） 不同区域的相轨迹相互影响而产生不同区域的相轨迹相互影响而产生大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理解解开关线方程开关线方
10、程线性部分线性部分非线性部分非线性部分综合点综合点例例3 3 系统如右，已知系统如右，已知 , ,确定开关线方程确定开关线方程, ,奇点位置和奇点位置和 类型类型, ,绘制相轨迹绘制相轨迹 图。图。(3) (3) 非线性控制系统的相平面分析非线性控制系统的相平面分析大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 中心点中心点 中心点中心点区域区域 运动方程运动方程 奇点奇点 特征方程特征方程 极点极点 奇点性质奇点性质奇奇点点类类型型相轨迹相轨迹以以 为中心的圆为中心的圆以以 为中心的圆为中心的圆水平线水平线响应响应大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电
11、信息工程学院自动控制原理自动控制原理开关线方程开关线方程线性部分线性部分非线性部分非线性部分比较点比较点例例4 4 系统如右，系统如右， ， ，分别讨论系统运动。，分别讨论系统运动。整理整理在在 I 区：区：抛物线方程抛物线方程同理在同理在 II 区：区：当当 时，开关时，开关线为线为：解解大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理开关线开关线( I )相轨迹图相轨迹图( II )系统方程系统方程周期运动周期运动收敛到平衡点收敛到平衡点大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理非线性部分非线性部分比较点比较点例例5 5
12、 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运动。整理整理线性部分线性部分解解大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理7.2 相平面法（16） 等倾斜线等倾斜线等倾斜线等倾斜线大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理各各类类极极限限环环极限环极限环 对应二阶非线性系统的周期运动对应二阶非线性系统的周期运动稳定的极限环稳定的极限环不稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环半稳定的极限环大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理非线性部分非线性
13、部分比较点比较点例例6 6 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运动。整理整理线性部分线性部分解解大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例7 7 系统方程为系统方程为 ，绘制相轨迹图；，绘制相轨迹图； 分析系统的自由响应运动。分析系统的自由响应运动。解解令令值值角角大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理值值角角系统方程系统方程等倾斜线等倾斜线大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信
14、息工程学院自动控制原理自动控制原理课程小结 7.17.1概述概述 7.1.17.1.1 非线性现象的普遍性非线性现象的普遍性 7.1.2 7.1.2 典型非线性特性典型非线性特性 7.1.3 7.1.3 非非线性系统运动的特殊性线性系统运动的特殊性 7.1.4 7.1.4 非非线性控制系统的分析方法线性控制系统的分析方法7.2 7.2 相平面法相平面法 7.2.1 7.2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 （相平面、相轨迹和相平面图）（相平面、相轨迹和相平面图） 7.2.27.2.2 相轨迹的性质相轨迹的性质 （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）（斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴） 7.2.3 7.2.3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 （解析法（解析法 ，图解法），图解法） 7.2.4 7.2.4 由由相轨迹求时间解相轨迹求时间解 （增量法）（增量法） 7.2.5 7.2.5 二阶系统的相轨迹二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）（极点分布，奇点性质，相轨迹） 7.2.6 7.2.6 非线性系统相平面分析非线性系统相平面分析 （非本质（非本质/ /本质非线性，控制系统）本质非线性，控制系统）
