《概率论与数理统计：3.2 二维连续随机变量及其概率分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：3.2 二维连续随机变量及其概率分布（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 二维连续随机变量及其概率分布二维连续随机变量及其概率分布 定义定义 设设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数是二维随机变量，对任意的实数x，y 令令 F(x, y)=PX x, Y y 则称则称 F(x, y)为为（X, Y）的联合分布函数。的联合分布函数。 分布函数的几何意义分布函数的几何意义如果用平面上的点如果用平面上的点( (x, y) )表示二维随机变量表示二维随机变量( (X ,Y ) )的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则F (x, y)表示表示(X ,Y )的取值落入下图所示的角形区域的概率的取值落入下图所示的角形区域的概率一一.二维随机变量的联合分布及其边缘分布二
2、维随机变量的联合分布及其边缘分布xy(x, y)设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的的联合分布律联合分布律为为 pij = P(X, Y)=(xi , yi)= pX=xi ,Y=yi i, j=1, 2, 则则(X,Y)的分布函数为的分布函数为2F(x, y)的性质的性质 性性质质1 对对于于x 和和y, F(x, y)都都是是单单调调不不减减函函数数，即若即若x1 x2,对任意的实数对任意的实数y，则有则有 F(x1 , y) F(x2 , y)；若y1y2,对任意的实数对任意的实数x，则有则有 F(x , y1) F(x , y2)性质性质2 对于任意的实数对于任意的实数
3、x, y , 均有均有 0 F(x, y ) 1, 性性质质3 对对于于x 和和y，F(x, y)都都是是右右连连续续的的，即即对对任任意意的实数的实数x0和和y0，均有均有 F(x, y)=F(x0 , y), F( x, y )=F(x, y0 ) 性质性质4 若若x1 x2, y1 y2, 则则 Px1 X x2 , y1 Y y2 = F(x2, y2) F(x2 , y1) F(x1 , y2) + F(x1 , y1)3.边缘分布边缘分布 记记(X , Y )的分量的分量X，Y 的分布函数分别为的分布函数分别为FX (x) 和和FY ( y)称它们为称它们为(X，Y )的边缘分布函
4、数的边缘分布函数 4. 联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系FX(x)=PX x=PX x, - Y+ FY ( y)=PY y=P- X1; (3) P(X,Y) D, 其中其中D=(x, y): x 0, y 0, x+y 1; (4) PX 2 Y;解：解： （1）有分布函数和密度函数的关系）有分布函数和密度函数的关系 当当x0,y0时时当当x，y 取其他值时为取其他值时为F(x,y)=0随机变量随机变量(X,Y)的联合分布函数为：的联合分布函数为：（2）（3）（其中（其中D=(x, y): x 0, y 0, x+y 1）x+y=1（4）二维连续型随机变量的
5、边缘密度函数二维连续型随机变量的边缘密度函数 2. 若若(X, Y)是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量，其其联联合合密密度度函函数数是是 f (x , y)，此此时时X 和和Y也也是是连连续续型型随随机机变变量量，分分别别称称X 和和Y 的的概概率率密密度度函函数数 fX (x)和和 fY (y)为为(X, Y)关关于于X和和Y 的的边缘密度函数边缘密度函数, , 简称为简称为边缘密度边缘密度。1. 若若(X,Y)为连续型随机变量为连续型随机变量, , 则则X, Y 均为连续均为连续型随机变量型随机变量(3) f (x, y)与与 fX (x), fY (y)之间的关系之间的关系例例3
6、设随机变量设随机变量X 和和Y 具有联合分布具有联合分布求求X 和和Y 边缘密度边缘密度解：解：故故X的边缘密度函数为的边缘密度函数为故故Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为例例4 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。=5c/24=1,c =24/5解：解：(1)xy01y=x (2) xy01y=x (2) xy01y=x即即(4). 二维均匀分布二维均匀分布 设设D为平面上的有界区域为平面上的有界区域, , D 的面积大于的面积大于零零. . 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为则称则称(X,Y)在
7、上服从均匀分布在上服从均匀分布 向向平平面面上上有有界界区区域域D上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在D内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关. 则则质质点点的的坐坐标标（ X, Y）在在D上上服服从从均均匀匀分布分布.例例5 设设(X,Y)在圆域在圆域D=(x, y): x2+y2 r 2上服从上服从均匀分布均匀分布, 其联合密度为其联合密度为求求 (1) Pr 2/8 X 2+Y 2 r 2/4; (2) (X,Y )的边缘密度函数的边缘密度函数解解：（：（1）（2）故故X的边缘密度函数为的边缘密
8、度函数为由对称性可得由对称性可得Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为 (5) 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度记作（记作（ X,Y）N( )则称（则称（ X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数, 且且正态分布的边缘分布仍为正态分布正态分布的边缘分布仍为正态分布 在这一讲中，我们与一维情形相对照，在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联
9、合分布. 那么要问，在什么情况下，由边缘分布那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？可以唯一确定联合分布呢？请注意联合分布和边缘分布的关系请注意联合分布和边缘分布的关系:我们下一讲就来回答这个问题我们下一讲就来回答这个问题. .四四四四. .条件密度函数条件密度函数条件密度函数条件密度函数条件密度函数条件密度函数 定义定义3.5 3.5 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数f(x,y)f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)处连续，关于处连续，关于Y Y的边缘密度函数的边缘密度函数f fY Y(y)(y)在点在点y y处连续，且处连续，
10、且f fY Y(y)0,(y)0,称称五五. 随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(X , Y )对任意实数均有对任意实数均有相互独立等价于对任意实数相互独立等价于对任意实数x, y有有成立，则称随机变量成立，则称随机变量X与与Y是相互独立的是相互独立的. . 二维随机变量二维随机变量(X,Y)独立的判别独立的判别定理定理1 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充的两个分量独立的充分必要条件是分必要条件是: 对对任意实数任意实数x1, x2, y1, y2有有定理定理2 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充的两个分量独立的充分必
11、要条件是分必要条件是: 对对任意实数任意实数x, y有有定定理理3 若若(X , Y ) 是是离离散散型型随随机机变变量量，则则X与与Y相相互独立的充分必要条件是互独立的充分必要条件是这里分别这里分别 是是(X , Y )，X，Y 的分布律的分布律 即即定定理理4 若若(X , Y )是是连连续续型型随随机机变变量量，则则X与与Y 独独立充分必要条件是立充分必要条件是例例8若二维随机变量若二维随机变量(X , Y )服从正态分布服从正态分布 试证试证X与与Y 相互独立的充相互独立的充必要条件是必要条件是 = 0= 0 证对任何 x,y 有取故将代入即得 布朗运动布朗运动布朗运动布朗运动 布朗运
12、动描述浸没布朗运动描述浸没布朗运动描述浸没布朗运动描述浸没或悬浮或悬浮或悬浮或悬浮在液体或气体在液体或气体在液体或气体在液体或气体中微小颗粒中微小颗粒中微小颗粒中微小颗粒花粉花粉花粉花粉的运动，这种现象由英国的运动，这种现象由英国的运动，这种现象由英国的运动，这种现象由英国植物学家布朗发现，由爱因斯坦于植物学家布朗发现，由爱因斯坦于植物学家布朗发现，由爱因斯坦于植物学家布朗发现，由爱因斯坦于19051905年作出年作出年作出年作出解释：微粒运动是由大量分子碰撞造成的。解释：微粒运动是由大量分子碰撞造成的。解释：微粒运动是由大量分子碰撞造成的。解释：微粒运动是由大量分子碰撞造成的。 例例9 设设
13、(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：x0 即：即：y 0易知易知故：随机变量故：随机变量X，Y是独立的是独立的 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解：解：0x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故X和和Y不独立不独立 . 设设 n 维随机变量为维随机变量为（X1,Xn）的分布函）的分布函数定义为数定义为 F(x1,xn)=PX1 x1,Xn xn 若任意实数若任意实数x1,xn有有 n 维随机变量为维随机变量为（X1,Xn）则称随机变量则称随机变量（X1,Xn）是是相互独立的相互独立的。 定理定理2 2 若若X1, ,Xn相互独立相互独立,而而 Y1=h(X1, ,Xm), Y2=g(Xm+1, ,Xn)则则Y1与与Y2独立独立 .
