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1、第8章 矩阵特征值及特征向量的计算数值计算方法矩阵特征值及特征向量的计算数值计算方法矩阵特征值及特征向量的计算数值计算方法矩阵特征值及特征向量的计算数值计算方法矩阵特征值及特征向量的计算电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院 赖生建赖生建赖生建赖生建2024/8/主要内容主要内容1 1 1 1问题的提出问题的提出2 2 2 2按模最大最小特征值计算按模最大最小特征值计算3 3 3 3计算实对称矩阵的雅克比法计算实对称矩阵的雅克比法4 4 4 4QR QR 法法2024/8/21.1.问题的提出问题的提出n n在数学和物理中，需要处理线性
2、方程组，方程组在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组的特性就是其系数矩阵的特征，即求的特性就是其系数矩阵的特征，即求的特性就是其系数矩阵的特征，即求的特性就是其系数矩阵的特征，即求矩阵计算矩矩阵计算矩矩阵计算矩矩阵计算矩阵的特征值及其特征向量阵的特征值及其特征向量阵的特征值及其特征向量阵的特征值及其特征向量。如波导模式问题。如波导模式问题。如波导模式问题。如波导模式问题n n其特征值就是其特征值就是其特征值就是其特征值就是代数方程代数方程代数方程代数方程a a1111x x1 1+ + a a1212x x
3、2 2+ + a a1 1n nx xn n = b = b1 1a a2121x x1 1+ + a a2222x x2 2+ + a a2 2n nx xn n = b = b2 2a an n1 1x x1 1+ + a an n2 2x x2 2+ + a annnnx xn n = = b bn n2024/8/2n n() )是关于是关于是关于是关于 的的的的n n次多项式次多项式次多项式次多项式 也称为矩阵也称为矩阵也称为矩阵也称为矩阵A A特征方程特征方程特征方程特征方程。它的。它的。它的。它的n n个根，称为个根，称为个根，称为个根，称为A A的的的的特特特特征值征值征值征值
4、。n n 是是是是A A的特征值时，相应的方程的特征值时，相应的方程的特征值时，相应的方程的特征值时，相应的方程 的非零解的非零解的非零解的非零解x x，称为对应特征值，称为对应特征值，称为对应特征值，称为对应特征值 的特征向量。的特征向量。的特征向量。的特征向量。1.问题提出2024/8/2n n问题：问题：问题：问题：当当当当A A的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求解特征方程也困难。解特征方程也困难。解特征方程也困难。解特征方程也困难。有些问题只要求最大特征值及特征向量。有
5、些问题只要求最大特征值及特征向量。有些问题只要求最大特征值及特征向量。有些问题只要求最大特征值及特征向量。有些问题只要求最小特征值及特征向量。有些问题只要求最小特征值及特征向量。有些问题只要求最小特征值及特征向量。有些问题只要求最小特征值及特征向量。需要计算所有特征值及特征向量。需要计算所有特征值及特征向量。需要计算所有特征值及特征向量。需要计算所有特征值及特征向量。1.问题提出2024/8/22.2.按模最大最小特征值求法按模最大最小特征值求法n n迭代计算方法迭代计算方法迭代计算方法迭代计算方法。幂法幂法幂法幂法是求解最大特征值及特征向是求解最大特征值及特征向是求解最大特征值及特征向是求解
6、最大特征值及特征向量的方法。量的方法。量的方法。量的方法。n n设设设设n n阶矩阵有阶矩阵有阶矩阵有阶矩阵有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量x1, x2, x1, x2, xnxn，对应的特征向量，对应的特征向量，对应的特征向量，对应的特征向量1,2,n1,2,n，并按模的大小，并按模的大小，并按模的大小，并按模的大小排列排列排列排列n n有有有有2 2种情况讨论。种情况讨论。种情况讨论。种情况讨论。2024/8/2（1 1）n n任取初始向量任取初始向量任取初始向量任取初始向量v v0 0，由矩阵，由矩阵，由矩阵，由矩阵A A的的的的n
7、 n个线性无关个线性无关个线性无关个线性无关的特征的特征的特征的特征向量线性表示向量线性表示向量线性表示向量线性表示n n设设设设a1a1不等于不等于不等于不等于0 0，从，从，从，从v v0 0出发做一系列迭代出发做一系列迭代出发做一系列迭代出发做一系列迭代2.最大最小模(1)(1)幂法幂法2024/8/2.最大最小模(1)(1)幂法幂法2024/8/2n n具体计算具体计算具体计算具体计算11n n主要求矩阵主要求矩阵主要求矩阵主要求矩阵A A的幂的幂的幂的幂A Ak k与已知向量与已知向量与已知向量与已知向量v v0 0的乘积，故称的乘积，故称的乘积，故称的乘积，故称幂法幂法幂法幂法。是
8、一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于。是一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于。是一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于。是一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于下面的比值下面的比值下面的比值下面的比值n n因反复计算因反复计算因反复计算因反复计算A A与向量与向量与向量与向量A Ak-1k-1v v0 0的乘积，会出现各分量的乘积，会出现各分量的乘积，会出现各分量的乘积，会出现各分量值过大或过小，值过大或过小，值过大或过小，值过大或过小，计算机会溢出。如何解决计算机会溢出。如何解决计算机会溢出。如何解决计算机会溢出。如何解决？2.最大最小模(1)(1)幂法幂法2024/8/2n n方法方法方法方法：采用：
9、采用：采用：采用迭代向量迭代向量迭代向量迭代向量“ “归一化归一化归一化归一化” ”，即把迭代向量，即把迭代向量，即把迭代向量，即把迭代向量的最大分量归一化为的最大分量归一化为的最大分量归一化为的最大分量归一化为1 1。计算步骤：。计算步骤：。计算步骤：。计算步骤：任取一个初始向量任取一个初始向量任取一个初始向量任取一个初始向量构造迭代序列构造迭代序列构造迭代序列构造迭代序列取取取取2.最大最小模(1)(1)幂法幂法2024/8/2n n例例例例1 1：用幂法计算矩阵：用幂法计算矩阵：用幂法计算矩阵：用幂法计算矩阵 模最大的特征值及其对应的特征向量模最大的特征值及其对应的特征向量模最大的特征值
10、及其对应的特征向量模最大的特征值及其对应的特征向量解：解：解：解：2.最大最小模(1)(1)幂法幂法2024/8/2（2 2）n n迭代序列迭代序列迭代序列迭代序列2.最大最小模(1)(1)幂法幂法2024/8/2.最大最小模(1)(1)幂法幂法n n说明三个向量大体上线性相关说明三个向量大体上线性相关说明三个向量大体上线性相关说明三个向量大体上线性相关2024/8/2.最大最小模(1)(1)幂法幂法n n上式方程的左边可以作为上式方程的左边可以作为上式方程的左边可以作为上式方程的左边可以作为1,21,2的特征向量。的特征向量。的特征向量。的特征向量。n n说明：说明：说明：说明：不止两种情况
11、，根据计算来判定不止两种情况，根据计算来判定不止两种情况，根据计算来判定不止两种情况，根据计算来判定初始向量的选取对迭代次数有影响。初始向量的选取对迭代次数有影响。初始向量的选取对迭代次数有影响。初始向量的选取对迭代次数有影响。n n幂法的收敛速度是幂法的收敛速度是幂法的收敛速度是幂法的收敛速度是 决定的，当接近决定的，当接近决定的，当接近决定的，当接近1 1时，时，时，时，收敛收敛收敛收敛很慢，需要加速很慢，需要加速很慢，需要加速很慢，需要加速。n n思路：思路：思路：思路：通过矩阵通过矩阵通过矩阵通过矩阵A A的特征值对应的特征向量组进的特征值对应的特征向量组进的特征值对应的特征向量组进的
12、特征值对应的特征向量组进行规范化正交组。行规范化正交组。行规范化正交组。行规范化正交组。2024/8/2.最大最小模(1)(1)幂法幂法n n即即即即n n称为称为称为称为RayleighRayleigh商，并有商，并有商，并有商，并有n n用幂法计算特征根用幂法计算特征根用幂法计算特征根用幂法计算特征根11，已经迭代到第，已经迭代到第，已经迭代到第，已经迭代到第k k次次次次2024/8/2.最大最小模(1)(1)幂法幂法n n对对对对u uk k做一次做一次做一次做一次RayleighRayleigh商商商商2024/8/2.最大最小模(2)(2)反幂法反幂法n n设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵
13、A A是非奇异阵，则是非奇异阵，则是非奇异阵，则是非奇异阵，则0 0不是不是不是不是A A的特征值。的特征值。的特征值。的特征值。n n则则则则A A-1-1存在存在存在存在n nA A-1-1的特征值有的特征值有的特征值有的特征值有n nA A-1-1主特征值为主特征值为主特征值为主特征值为1/1/ 1 1及特征向量及特征向量及特征向量及特征向量x xn n，就是，就是，就是，就是A A求模的求模的求模的求模的最小特征值，用最小特征值，用最小特征值，用最小特征值，用A A-1-1代替代替代替代替A A做幂法，叫做幂法，叫做幂法，叫做幂法，叫反幂法反幂法反幂法反幂法2024/8/2.最大最小模
14、(2)(2)反幂法反幂法n n任给初始向量任给初始向量任给初始向量任给初始向量v v0 0n n迭代计算迭代计算迭代计算迭代计算A A-1-1是不容易的事，可写成是不容易的事，可写成是不容易的事，可写成是不容易的事，可写成n n采用归一化处理，步骤采用归一化处理，步骤采用归一化处理，步骤采用归一化处理，步骤n n每进行每进行每进行每进行1 1次迭代，需要计算方程组次迭代，需要计算方程组次迭代，需要计算方程组次迭代，需要计算方程组 计算量很大，事先计算量很大，事先计算量很大，事先计算量很大，事先A A进行进行进行进行LULU分解。分解。分解。分解。2024/8/2.最大最小模(2)(2)反幂法反
15、幂法n n例例例例2 2：用反幂法计算矩阵：用反幂法计算矩阵：用反幂法计算矩阵：用反幂法计算矩阵 模最小的特征值及其对应的特征向量模最小的特征值及其对应的特征向量模最小的特征值及其对应的特征向量模最小的特征值及其对应的特征向量解：解：解：解：矩阵矩阵矩阵矩阵A A的的的的LULU分解分解分解分解 取初始向量取初始向量取初始向量取初始向量2024/8/23.3.实对称矩阵特征值的雅克比法实对称矩阵特征值的雅克比法n n雅克比法雅克比法雅克比法雅克比法是计算实对称矩阵的特征值及特征向量是计算实对称矩阵的特征值及特征向量是计算实对称矩阵的特征值及特征向量是计算实对称矩阵的特征值及特征向量的主要迭代方
16、法，其理论依据：的主要迭代方法，其理论依据：的主要迭代方法，其理论依据：的主要迭代方法，其理论依据：对对对对n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A，一定存在正交矩阵，一定存在正交矩阵，一定存在正交矩阵，一定存在正交矩阵R R，使，使，使，使n n如何找合适的如何找合适的如何找合适的如何找合适的正交阵正交阵正交阵正交阵R R？2024/8/2n n最简单的实例分析。一条二次曲线最简单的实例分析。一条二次曲线最简单的实例分析。一条二次曲线最简单的实例分析。一条二次曲线n n坐标轴的坐标轴的坐标轴的坐标轴的旋转旋转旋转旋转n n上面方程矩阵形式上面方程矩阵形式上面方程矩阵形式上
17、面方程矩阵形式3.雅克比法2024/8/2n n其中其中其中其中n n如果令如果令如果令如果令n n得到得到得到得到 的值的值的值的值3.雅克比法2024/8/2n n得到得到得到得到n n比较两矩阵比较两矩阵比较两矩阵比较两矩阵n n其中其中其中其中3.雅克比法2024/8/2n n推广到一般情况，例举一个实例说明推广到一般情况，例举一个实例说明推广到一般情况，例举一个实例说明推广到一般情况，例举一个实例说明n n例例例例3 3 椭球椭球椭球椭球 与坐标平面与坐标平面与坐标平面与坐标平面OXOX1 1X X2 2的交线是的交线是的交线是的交线是 如果如果如果如果OXOX1 1 ,OX ,OX
18、2 2轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转 /4/4，得到二次椭圆曲线，得到二次椭圆曲线，得到二次椭圆曲线，得到二次椭圆曲线3.雅克比法2024/8/2n n椭球经过旋转变换后，得到新方程椭球经过旋转变换后，得到新方程椭球经过旋转变换后，得到新方程椭球经过旋转变换后，得到新方程n n变换前后方程变换前后方程变换前后方程变换前后方程写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式3.雅克比法2024/8/2n n经过变换后，矩阵经过变换后，矩阵经过变换后，矩阵经过变换后，矩阵A A的变化情况：的变化情况：的变化情况：的变化情况：对角线元素的平方和由对角线元素的平方和由对角线元素的平方和由对角线元素的平方和由
19、1919增加到增加到增加到增加到27.27.非对角线元素的平方和由非对角线元素的平方和由非对角线元素的平方和由非对角线元素的平方和由10.510.5减少到减少到减少到减少到2.52.5，矩阵，矩阵，矩阵，矩阵所有元素的平方和未变。所有元素的平方和未变。所有元素的平方和未变。所有元素的平方和未变。n n但转换后的方程仍然保留但转换后的方程仍然保留但转换后的方程仍然保留但转换后的方程仍然保留y y1 1y y2 2和和和和y y2 2y y3 3的乘积项，的乘积项，的乘积项，的乘积项，用类似的方法再次变换，如与用类似的方法再次变换，如与用类似的方法再次变换，如与用类似的方法再次变换，如与O yO
20、y2 2y y3 3平面相截平面相截平面相截平面相截3.雅克比法2024/8/2n n椭圆方程转换为：椭圆方程转换为：椭圆方程转换为：椭圆方程转换为：n n二次型矩阵二次型矩阵二次型矩阵二次型矩阵对角线元素的平方和不断增加（对角线元素的平方和不断增加（对角线元素的平方和不断增加（对角线元素的平方和不断增加（27.2527.25）非对角线元素的平方和不断减少（非对角线元素的平方和不断减少（非对角线元素的平方和不断减少（非对角线元素的平方和不断减少（2.252.25）3.雅克比法雅克比法的基本思想雅克比法的基本思想2024/8/2n n设设设设A=(aA=(aij ij) )为为为为n n阶实对称
21、矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵n nR(i,j)R(i,j)为为为为平面旋转阵平面旋转阵平面旋转阵平面旋转阵，记为，记为，记为，记为R R1 1. .记记记记3.雅克比法2024/8/2n n平面旋转阵平面旋转阵平面旋转阵平面旋转阵R(i,j)R(i,j)有如下性质有如下性质有如下性质有如下性质n nR R1 1T TR R1 1=I=I，即即即即R R1 1是正交阵是正交阵是正交阵是正交阵n n如果如果如果如果A A是对称阵，则是对称阵，则是对称阵，则是对称阵，则( (R R1 1T TARAR1 1) )T T= =R R1 1A AT TR R1 1=R=R1 1ARAR1 1
22、, , A A1 1=R=R1 1ARAR1 1是对称矩阵，说明对称矩阵经过正交变是对称矩阵，说明对称矩阵经过正交变是对称矩阵，说明对称矩阵经过正交变是对称矩阵，说明对称矩阵经过正交变换后仍然是对称阵。换后仍然是对称阵。换后仍然是对称阵。换后仍然是对称阵。n n矩阵矩阵矩阵矩阵A A经过变换后的经过变换后的经过变换后的经过变换后的A A1 1第第第第i,ji,j行列元素的变化如下行列元素的变化如下行列元素的变化如下行列元素的变化如下3.雅克比法2024/8/2阜师院数科院n n如果取如果取如果取如果取 使得使得使得使得n n即即即即n n同同同同样样可以可以可以可以验证验证：3.雅克比法202
23、4/8/2n n如果取如果取如果取如果取大于或等于大于或等于大于或等于大于或等于A A非对角线元素的绝对值非对角线元素的绝对值非对角线元素的绝对值非对角线元素的绝对值n n通通通通过过一次一次一次一次变换变换，非对角线元素的平方和非对角线元素的平方和非对角线元素的平方和非对角线元素的平方和n n说明每次迭代非对角线元素的平方和不会超过说明每次迭代非对角线元素的平方和不会超过说明每次迭代非对角线元素的平方和不会超过说明每次迭代非对角线元素的平方和不会超过 当经过当经过当经过当经过k k次迭代后对角线元素的平方和次迭代后对角线元素的平方和次迭代后对角线元素的平方和次迭代后对角线元素的平方和A A变
24、成对角阵变成对角阵变成对角阵变成对角阵3.雅克比法2024/8/2n n雅克比法的雅克比法的雅克比法的雅克比法的计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤：找出找出找出找出A A矩矩矩矩阵阵非非非非对对角元素角元素角元素角元素绝对值绝对值最大的元素最大的元素最大的元素最大的元素a aij ij，确，确，确，确定定定定i i，j j用公式用公式用公式用公式计计算算算算tan2tan2 ，计计算算算算sinsin 及及及及coscos 计计算算算算以以以以A A1 1代入代入代入代入A A，重复上面步，重复上面步，重复上面步，重复上面步骤骤，直到，直到，直到，直到3.雅克比法2024/8/2n nA Ak
25、k对角元素就是特征值，逐次变换矩阵对角元素就是特征值，逐次变换矩阵对角元素就是特征值，逐次变换矩阵对角元素就是特征值，逐次变换矩阵R Rk k的乘机的乘机的乘机的乘机其列向量即所求的特征向量。具体其列向量即所求的特征向量。具体其列向量即所求的特征向量。具体其列向量即所求的特征向量。具体计计算：算：算：算：3.雅克比法2024/8/2n n例例例例4 4 用雅克比法求对称矩阵用雅克比法求对称矩阵用雅克比法求对称矩阵用雅克比法求对称矩阵的特征的特征的特征的特征值值及特征向量。及特征向量。及特征向量。及特征向量。解：解：解：解：3.雅克比法2024/8/23.雅克比法2024/8/24.QR4.QR
26、方法方法n n对任意非奇异矩阵对任意非奇异矩阵对任意非奇异矩阵对任意非奇异矩阵A A，可以分解成一个正交阵，可以分解成一个正交阵，可以分解成一个正交阵，可以分解成一个正交阵QQ和和和和一个上三角阵一个上三角阵一个上三角阵一个上三角阵R R的乘积，称为的乘积，称为的乘积，称为的乘积，称为A A的的的的QRQR分解分解分解分解。l l如如如如R R的对角元是正实数，分解是唯一的。的对角元是正实数，分解是唯一的。的对角元是正实数，分解是唯一的。的对角元是正实数，分解是唯一的。l l若若若若A A是奇异的，则是奇异的，则是奇异的，则是奇异的，则A A有零特征值，取一个不等于有零特征值，取一个不等于有零
27、特征值，取一个不等于有零特征值，取一个不等于A A特征值的特征值的特征值的特征值的 ，则，则，则，则A-A- I I是非奇异的。是非奇异的。是非奇异的。是非奇异的。n nQRQR方法的方法的方法的方法的基本过程基本过程基本过程基本过程：A=A1A=A1，对，对，对，对A1A1进行进行进行进行QRQR分解分解分解分解交换次序交换次序交换次序交换次序R1Q1R1Q1为为为为A2A2 是正交相似变换，有相同的特征值。是正交相似变换，有相同的特征值。是正交相似变换，有相同的特征值。是正交相似变换，有相同的特征值。2024/8/2n n非奇异矩阵非奇异矩阵非奇异矩阵非奇异矩阵A A，借助，借助，借助，借
28、助施密特正交化施密特正交化施密特正交化施密特正交化过程，实行过程，实行过程，实行过程，实行A A的的的的QRQR分解分解分解分解。记记记记A A的的的的n n个列为个列为个列为个列为4.QR方法(1)(1)矩阵矩阵A A的的QRQR分解分解2024/8/2n n 正交性且范数为正交性且范数为正交性且范数为正交性且范数为1 1n n正交规范向量，从上式依次计算正交规范向量，从上式依次计算正交规范向量，从上式依次计算正交规范向量，从上式依次计算4.QR方法(1)(1)矩阵矩阵A A的的QRQR分解分解2024/8/2n n记记记记4.QR方法(1)(1)矩阵矩阵A A的的QRQR分解分解2024/
29、8/2n n例例例例5 5 对对对对A A作作作作QRQR分解分解分解分解n n解解解解：4.QR方法(1)(1)矩阵矩阵A A的的QRQR分解分解2024/8/4.QR方法(1)(1)矩阵矩阵A A的的QRQR分解分解2024/8/2n n记记记记4.QR方法(1)(1)矩阵矩阵A A的的QRQR分解分解2024/8/2n nA A为为为为n*nn*n非奇异矩阵，设非奇异矩阵，设非奇异矩阵，设非奇异矩阵，设A1=AA1=An n设设设设A A的的的的n n个特征值满足条件个特征值满足条件个特征值满足条件个特征值满足条件n n当当当当 ，矩阵序列，矩阵序列，矩阵序列，矩阵序列AkAk收敛与三角阵收敛与三角阵收敛与三角阵收敛与三角阵R R，于是，于是，于是，于是R R对对对对角线上的元素就是所求特征值角线上的元素就是所求特征值角线上的元素就是所求特征值角线上的元素就是所求特征值，当，当，当，当A A是对称矩阵是对称矩阵是对称矩阵是对称矩阵时，时，时，时，AkAk收敛于对角阵。收敛于对角阵。收敛于对角阵。收敛于对角阵。4.QR方法(2)(2) QRQR算法算法2024/8/2n n改写公式改写公式改写公式改写公式4.QR方法(2)(2) QRQR算法算法2024/8/2n n递推公式递推公式递推公式递推公式4.QR方法(2)(2) QRQR算法算法2024/8/2
