初三数学暑假衔接班讲义(好)

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1、初三数学暑假班讲义目目录录本次培训具体计划如下，以供参考：本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲第十四讲如何做几何证明题平行四边形（一）平行四边形（二）梯形中位线及其应用一元二次方程的解法一元二次方程的判别式一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的应用专题复习一：因式分解、二次根式、分式专题复习二：代数式的恒等变形专题复习三：相似三角形结业考试（未装订在内，另发）试卷讲评第 1 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第一讲：如何做几何证明题第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重

2、要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果） ，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并

3、使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例【例 1 1】

4、已知：如图所示，中，C 90，AC BC，AD DB，AE CF。ABC求证：DEDF【巩固】【巩固】如图所示，已知为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AEBD，连结 CE、DE。ABC求证：ECEDBCD第 2 页 共 60 页AEDCFBEA初三数学暑假班讲义【例【例 2 2】已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF【专题二】证明直线平行或垂直【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个

5、角等于 90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例【例 3 3】如图所示，设 BP、CQ 是的内角平分线，AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。ABC求证：KHBC【例【例 4 4】已知：如图所示，ABAC，。A 90，AE BF，BD DC求证：FDED第 3 页 共 60 页EABFCDAQKBPHCAEFBDC初三数学暑假班讲义【专题三】证明线段和的问题【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 （截长法）（截长法）【例【例 5 5】

6、如图，四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 AB 上一个动点，若B60，ABBC，且DEC60；求证：BCADAE【巩固】【巩固】已知：如图，在中，BAC、BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。ABCB 60求证：ACAECD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）（补短法）【例【例 6 6】 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC 上，。EAF 45求证：EFBEDF第 4 页

7、 共 60 页ADEBCBEAODCADFBEC初三数学暑假班讲义【专题四】证明几何不等式：【专题四】证明几何不等式：【例【例 7 7】已知：如图所示，在ABC中，AD 平分BAC，AB AC。求证：BDD CABDC【拓展】【拓展】ABC中，BAC 90 ，ADBC于 D，求证：AD 14AB AC BCABDC第二讲：平行四边形（一）第二讲：平行四边形（一）【知识梳理】【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等

8、的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形第 5 页 共 60 页初三数学暑假班讲义（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。（4）矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理 1:菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2（

9、5）菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：四个角都是直角，四条边相等对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】【例题精讲】【例 1】填空题：在下列特征中，（1）四条边都相等平行四边形具有的是：（2）对角线互相平分（3）对角线相等矩形具有的是：（4）对角线互相垂直（5）四个角都是直角菱形具有的是：（6）每一条对角线平分一组对角（7）对边相等且平行正方形具有的是：（8

10、）邻角互补【巩固】1、下列说法中错误的是（）A.四个角相等的四边形是矩形B.四条边相等的四边形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ()A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形3、下面结论中，正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形第 6 页 共 60 页初三数学暑假班讲义4、如图，在ABC中，点 D、E、F 分别在边AB、BC、CA上，且DECA，DFBA下列四种说法：四边

11、形AEDF是平行四边形；如果BAC 90，那么四边形AEDF是矩形；如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；如果AD BC且AB AC，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）【例 2】如图，在平行四边形ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC 的中点.求证：四边形 BFDE 是平行四边形.AEDBFC【巩固】【巩固】已知，如图 9，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AFCE，DFBE，DFBE四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由【例 3】如图，梯形 ABCD 中，ABCD，AC 平分BAD，CEAD 交 AB 于点 E求证：四边形 AEC

12、D 是菱形第 7 页 共 60 页ADD DE EA AC CF FB BCBE初三数学暑假班讲义【例 4】如图，在等边ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边作等边ADE（1）求CAE 的度数；（2）取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形BFEA【巩固】如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DEAC，CEBD（1）试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由；（2）若 AB6，BC8，求四边形 OCED 的面积ADCDOECB【例 5】如图所示，在ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边ABD、等边ACE、等边BCF.

13、（1）求证：四边形 DAEF 是平行四边形；FEDABC（2）探究下列问题： （只填满足的条件，不需证明）当ABC 满足_条件时，四边形 DAEF 是矩形；当ABC 满足_条件时，四边形 DAEF 是菱形；当ABC 满足_条件时，以 D、A、E、F 为顶点的四边形不存在.第 8 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第三讲：平行四边形（提高）第三讲：平行四边形（提高）【知识梳理】【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四边形有许多很好的

14、性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。【例题精讲】【例题精讲】【例 1】 四边形四条边的长分别为m、n、p、q， 且满足m n p q 2mn 2pq， 则这个四边形是 （）A.平行四边形B.对角线互相垂直的四边形C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形【例 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， 点 G 是 BC 上任意一点，DEAG 于点 E，BFAG 于点 F.(1) 求证：DEBFEF(2) 当点 G 为 BC 边中点时， 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系， 并说明理由(3) 若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出

15、此时DE、BF、EF 之间的数量关系（不需要证明） 【巩固】如图1，在边长为5 的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE EF，BE 2.（1）求ECCF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图 132） ，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图 2 的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在， 请给予证明；若不存在，请说明理由BE图 1FCBE图 2FPCADAD2222第 9 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【例 3】如图，在矩形ABCD 中，已知AD12，AB5，P 是 AD 边上任意一点，PEBD 于 E，PFAC

16、于 F，求PEPF 的值。【例 4】如图，在ABC 中，BAC90，ADBC，BE、AF 分别是ABC、DAC 的平分线，BE 和 AD 交于G，求证：GFAC。【例 5】如图所示，RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BG 平分ABC，EFBC 且交 AC 于 F。求证：AECF。【巩固】如图，在平行四边形ABCD 中，B，D 的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC 于点 G、H。求证：AHCG。第 10 页 共 60 页AGEBDFC初三数学暑假班讲义第四讲：梯第四讲：梯形形【知识梳理】【知识梳理】与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重

17、要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：1、 平移腰：过一顶点作一腰的平行线；2、 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；3、 过底的顶点作另一底的垂线。熟悉以下基本图形、基本结论：【例题精讲】【例题精讲】中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线三角形的中位线性质：三角形的中位线平行

18、于第三边，并等于第三边的一半。梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB8，DC6，B45，BC10，求梯形上底 AD 的长.A AD DC C第 11 页 共 60 页B B初三数学暑假班讲义【例【例 2 2】如图所示，在直角梯形ABCD 中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求 CD 的长.D DC CA AB B【例【例 3 3】如图所示，在等腰梯形ABCD 中，ADBC，对角线 ACBD，BD6cm. 求梯形 ABCD 的面积.A AD DB BC C【例【例 4

19、 4】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论.D DC C【巩固】1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm 和 49cm，求它的腰长.A AD DB BC C2、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC 于 E，求 DE 的长.A AD DA AB BB BE EC C第 12 页 共 60 页初三数学暑假班讲义3、如图所示，梯形 ABCD 中，ABCD，D2B，ADDC8，求 AB 的长.【例 5】已知：如图，在梯形ABCD 中，ADBC，E 是 CD

20、 的中点，且 AEBE.求证：ADBCABAA AB BD DC C【巩固】如图所示，梯形ABCD 中，ADBC，E 是 CD 的中点，且 ADBCAB求证：DEAE。BDECADEBC【例 6】如图，在梯形ABCD 中，ADBC ， E、F 分别是 AD 、BC 的中点，若BC90.AD 7 ，BC 15 ，求 EF AED第 13 页 共 60 页BFC初三数学暑假班讲义【例 7】如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AD、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点。（1）求证：四边形 MENF 是菱形；（2）若四边形 MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的

21、高和底边 BC 的数量关系，并证明你的结论。AMDEFBCN【巩固】如图，在等腰梯形ABCD 中，已知 ADBC，ABDC，AD2，BC4，延长 BC 到 E，使 CEAD（1）写出图中所有与DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（2）探究当等腰梯形ABCD 的高 DF 是多少时，对角线 AC 与 BD 互相垂直？请回答并说明理由ADBFCE【例 8】已知：如图，在梯形ABCD 中， ABCD，A60，ADBCDC求证：AB2CD. .【巩固】如图，四边形ABCD 中，ABCD，D2B，若 ADa，ABb，则 CD 的长是_。DABDCABC【例 9】如图，梯形 ABCD 中，A

22、BCD，CE 、BE 分别平分C 和B，E 为 AD 的中点。求证：ABDCBC DCAB第 14 页 共 60 页E初三数学暑假班讲义第五讲：中位线及其应用第五讲：中位线及其应用【知识梳理】【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等

23、线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】已知ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，AECD 于 E，F 是 BC 的中点，试说明 BD=2EF。CEFA【巩固】【巩固】已知在ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，M 为 BC 的中点.求证

24、：DMDB1AB2A AB B【例【例 2 2】已知 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边的中点则四边形 EFGH 是_形当 ACBD 时，四边形 EFGH 是_形当 ACBD 时，四边形 EFGH 是_形当 AC 和 BD_时，四边形 EFGH 是正方形。第 15 页 共 60 页D DMMC C初三数学暑假班讲义【巩固】【巩固】如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AD、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点。（1）求证：四边形 MENF 是菱形；（2）若四边形 MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边 BC 的数量关系，并证明你的结论。AMD

25、EFBCN【例【例 3 3】梯形 ABCD 中，ABCD，M、N 分别是 AC、BD 的中点。求证：MN1（ABCD）2DCMNAB【巩固】【巩固】如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是对角线 BD、AC 的中点。求证：EF1(AB CD)2ADEFBC解答第 2 题图【拓展】【拓展】E、F 为四边形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的中点，若 EF边形？请说明理由。1(AB CD)，问：四边形 ABCD 为什么四2CDFEAB第 16 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【例【例 4 4】四边形 ABCD 中，G、H 分别是 AD、BC 的中点，AB=CD.BA、CD 的延长

26、线交 HG 的延长线于 E、F。求证：BEH=CFH.【例【例 5 5】如图，ABC 的三边长分别为 AB14，BC16，AC26，P 为A 的平分线 AD 上一点，且BPAD，M为 BC 的中点，求 PM 的长。PBDMCA【巩固】【巩固】已知：ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和 CAN，P 是 BC 的中点。求证：PMPNAMNBCP第 17 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第六讲：一元二次方程的解法第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】【知识梳理】形如ax bx c 0a 0的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本2方法，而公

27、式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。b b2 4ac求根公式x 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程2a的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】选用恰当的方法解方程（基础题） ：（1）x22x=0（2） x29=0（3）(13x)21；（4） （t2） （t1）0（5）x28x2（7）x24x21 0（8）x22x15 0（9）4x212x9 0（10）a24a21 0（11）x211x18 0（12）2x2 x3 0（13）x（x6）2（14） （2x1）23（2x1）（

28、15）2b27b15 0第 18 页 共 60 页（6）x27x6 0初三数学暑假班讲义（16）3a24a4 0（17）3b214b 5（18）2 3x2 x3 0（19）x4 x220 0（20）(3x5)25(3x5)6 0；【例【例 2 2】用适当的方法解下列关于x的方程（提高题） ：（1）3x 24x 3 5；（2）13x2 2x 3327 0；（3）5x 3212 45x 3；（4）3x 1x 14x 1x 1；（5）2 3x2 23 1x 6 0。【巩固】【巩固】用适当的方法解下列关于x的方程：（1）x 229x 12 0；（2）x26ax b29a2；第 19 页 共 60 页初

29、三数学暑假班讲义（3）2x22 2 3x 6 0。（4）2x 1x 34x 13 x。【拓展】解方程：6x 723x 4x 1 6；【例【例 3 3】解方程：x23x 4 0。【巩固】【巩固】解方程：（1）x2 x1 1 0；（2）x x x2 0。【例【例 4 4】解关于x的方程：m 1x22m 1x m 3 0。【巩固】【巩固】解关于x的方程：x2 4px 4p2 5x 10p 6 0。第 20 页 共 60 页初三数学暑假班讲义2【例【例 5 5】已知方程x kx 7 0与x 6x k 1 0有公共根。2（1）求k的值；（2）求二方程的所有公共根和所有相异根。【巩固】【巩固】 是否存在某

30、个实数m， 使得方程x mx 2 0和x 2x m 0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。22第七讲：一元二次方程的判别式第七讲：一元二次方程的判别式【知识梳理】【知识梳理】2一、一元二次方程ax bx c 0a 0根的情况：令 b 4ac。2b b2 4acb b2 4ac，x21、若 0，则方程有两个不相等的实数根：x1；2a2a2、若 0，则方程有两个相等的实数根：x1 x2 3、若 0，则方程无实根（不代表没有解） 。二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；

31、3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题精讲】【例题精讲】第 21 页 共 60 页b；2a初三数学暑假班讲义【例【例 1 1】已知方程ax 4x 1 0；则当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？当a取什么值时，方程没有实数根？【巩固】【巩固】1、已知关于x的方程x 22 mx 36m 0。22求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；22、已知关于x的一元二次方程1 2kx 2 k 1x 1 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。【拓展】【拓展】关于x的方程kx

32、 k 1x 1 0有有理根，求整数k的值。2【例【例 2 2】已知关于x的方程x k 2x 2k 0。2（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 ABC 的一边长a 1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长。2【巩固】【巩固】 1、 等腰三角形 ABC 中， BC=8， AB、 AC 的长是关于x的方程x 10x m 0的两根， 则m _。第 22 页 共 60 页初三数学暑假班讲义2、在等腰三角形ABC 中，A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知a 3，b和c是关于x的方程1x2 mx 2m 0的两个实数根，求三角形ABC 的周长。2【拓展】【拓

33、展】已知对于正数a、b、c，方程c x a b cx b 0没有实数根，求证：以长a、b、c的线段222222为边能组成一个三角形。【例【例 3 3】设方程x2 ax 4有三个不相等的实数根，求a的值和相应的 3 个根。【巩巩固固】已知关于x的方程x31 ax2 2ax a2 0有且只有一个实根，_。【例【例 4 4】设a，b，c，d 0，证明在方程122x 2a bx cd 0；12x22b cx ad 0；12x22c dx ab 0；122x 2d ax bc 0，中，至少有两个方程有不相等的实数根。则实数a的取值范围是第 23 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第八讲：一元二次方程根与

34、系数的关系第八讲：一元二次方程根与系数的关系【知识梳理】【知识梳理】一元二次方程ax2bx c 0a 0的根与系数的关系（韦达定理）设方程的两个根xb1，x2，则x1 x2 ，x1x2caa。韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：（1）x2221 x2x1 x2 2x1x2；22x x2（2）x2xx x222x1x2x111；1x2x1x2x1x2（3）x331 x2x1 x2x1 x223x1x2；（4）x221 x2x1 x2 4x1x2；（5）x1 x2x1 x222x1 x2 4x1x2。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】求下列方程的两根之和，两根之积。（1）x22

35、x10；（2）x29x100；解：x1 x2_，x1x2 _解：x1 x2_，x1x2 _（3）2x29x50；（4）4x27x10；解：x1 x2_，x1x2 _解：x1 x2_，x1x2 _（5）2x25x0；（6）x210解：x1 x2_，x1x2 _解：x1 x2_，x1x2 _【例【例 2 2】设 x1，x2是方程 2x2+4x3=0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_； （2）x12xx2+x1x22=_；（3）x21x=_1x2（4）（x1+x2）2=_；（5）（x1x2）2=_；（6）x13+x23=_【例【例 3 3】解答下列问题

36、：（1）设关于x的一元二次方程x2 4x 2k 1 0有两个实数根x1、x2，问是否存在第 24 页 共 60 页初三数学暑假班讲义x1 x2 x1 x2的情况？（2）已知：x1、x2是关于x的方程x 2a 1x a 0的；两个实数根，且x1 2x2 211，求a的值。22【巩固】21、已知关于x的方程x 4x a 0有两个实数根，且2x1 x2 7，则a _。22、已知、是方程x x 1 0的两个实数根，则代数式 2的值为_。22m2 0。【例【例 4 4】已知关于x的方程：x m 2x 42（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x

37、2 x1 2，求m的值及相应的x1、x2。【巩固】【巩固】已知关于x的方程x 2k 3x k 1 0。22（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足x1 x2 3，求k的值。第 25 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【例【例 4 4】CD 是 RtABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程x 6x 4 0的两根，则ABC 的面积是多少？【巩固】【巩固】已知ABC 的两边 AB、AC 的长是关于x二次方程x 2k 3x k 3k 2 0的两个实数根，第三222边 BC 的长为 5。（1）k为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，ABC

38、 是等腰三角形，并求ABC 的周长。第九讲：一元二次方程的应用第九讲：一元二次方程的应用【知识梳理】【知识梳理】方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多实际问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同， 解题的关键是恰当设未知数、分析数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆

39、的长为35m。（1）求鸡场的长和宽各为多少？（2）题中墙的长度am 对题目的解起着怎样的作用？第 26 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【例 2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4 万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？7000600050004000300020001000人数（人）5个，已知这种商品每个涨

40、价101520 票价（元）【例【例 3 3】将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，就能卖出 5001 元，其销售量就减少 10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？【例【例 4 4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行，1 小时后分别到达各自的终点 A 与 B，若让他们仍从原地出发，互换彼此到达的目的地，则甲将在乙到达A 之后 35 分钟到达 B，求甲与乙的速度之比。【例【例 5 5】一支士兵队伍长 1200 米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍的排头兵，并在到达排头后立即回到末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已经前进了

41、 1200 米，如果行军途中队伍和第 27 页 共 60 页初三数学暑假班讲义他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？【例【例 6 6】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1 分，今有4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1980、1981、1993、1994，经核实确实有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参加。【巩固】【巩固】1、在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长 15m）的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示） ，若

42、设花园的 BC 边长为xm，花园的面积为ym2。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；（3）当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？BCAD第 28 页 共 60 页初三数学暑假班讲义2、某水果批发商场有一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？3、甲乙两条船分别从河的两岸同时出发，它们的速度是固定的

43、。第一次相遇距河的一岸700 米处，然后继续前进，都到达对岸后立即折回， 第二次相遇距河的另一岸400 米处， 如果认为船到岸调转方向时不耽误时间， 问河有多宽？4、一支士兵队伍长 100 米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍排头，并在到达排头后立即回到队伍的末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已前进了100 米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？5、象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得 1 分，和一盘各得 0.5分，负一盘得 0 分，已知其中两名选手共得8 分，其他人的平均分为整数，求参加

44、此次比赛的选手共有多少人？第 29 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式【知识梳理】一、因式分解：【知识梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：平方差公式：a b abab；2222完全平方公式：完全平方公式：a 2ab b a b；2222a b c 2ab 2bc 2ca a bc；2222a b c 2ab 2bc 2ca a bc；2222a b c 2ab 2bc 2ca a bc；2立方和（差）公式：立方和（差）公式：a b aba abb3322；a b aba abb33222、许多多项式分解因式

45、后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）abba1a1b1；（2）abab1a1b1；（3）a 4 a 2a 2 a 2a 2；（4）4a 1 2a 2a1 2a 2a1；222（5）a b c 2ab 2bc 2ac a bc；2422422（6）a b c 3abc abca b c abbcac。333222二、分式：二、分式：1、分式的意义：形如A（A、B为整式） ，其中 B 中含有字母的式子叫分式。B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。2、分式的性质（1）分式的基本性质：AAMAM（其中 M 是不为零的整式） 。BBMBM（2）分式

46、的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。11111a 0；若a1，则an 1（a 0，n是整数）（3）倒数的性质：a1a 0，a ；aaaana1 2a 0。a第 30 页 共 60 页初三数学暑假班讲义3、分式的运算abab acad bca cac acad aan分式的运算法则有：；。， ， ， n（n是正整数）cccbdbdb dbd bdbcbb4、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式） ，拆项法（即分离变形） ，因式分解法，分组通分法和换元法等。三、二次根式：三、二次根式：1、当a

47、0时，称a为二次根式，显然a 0。2、二次根式具有如下性质：（1）na2a，当a 0时， aa 0；（2）a2 a a，当a 0时；a ba 0，b 0；（4）（3）ab aaa 0，b 0。bb3、二次根式的运算法则如下：（1）a c b c a bcc 0；（2）anana 0。4、设a，b，c，d，mQ，且m不是完全平方数，则当且仅当a c，b d时，a b m c dm。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】分解因式：x xy 6y x13y 6【巩固】【巩固】分解因式：1、x xy 2y x5y 2；2、3x 5xy 2y x9y 4；【例【例 2 2】已知a、b、c是一个三角形

48、的三边，则a b c 2a b 2b c 2c a的值是（）A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负3、k为何值时，多项式x 2xy ky 3x5y 2能分解成两个一次因式的积？第 31 页 共 60 页22222222444222222初三数学暑假班讲义【例【例 3 3】已知a、b是实数，且【专题训练】【专题训练】1、已知abab113，求ab的值为_；2、多项式x axy by 5x y 6的一个因式是x y 2，试确定ab的值为_；3、设3b a2c，求a 9b 4c 4ac的值。4、若abc 0，且设5、已知1222221 a2 a 1b b1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。2a bb

49、 cc a_a bb cc a，则cababcxyyzzx，2 ，3 ，则x _；x yy zz x2226、已知a x 1991，b x 1992，c x 1993，且abc 24，则abc111_bccaababc3x2 6x 57、当x变化时，分式的最小值为_12x x 12x3x_；8、设21，则633x m x 1x mx 19、已知实数a满足1992a a 1993 a，则a 1992 _；210、化简2 62 3 51a_；11、已知x a，则4x x2_12、设39432的整数部分为a，小数部分为b，则13、设等式1111_；a ba 4baxaay ax a a y在实数范围

50、内成立，其中a，x，y两两不同，则第 32 页 共 60 页初三数学暑假班讲义3x2 xy y2_；22x xy y14、使等式x y 99成立的整数对x，y的个数为_；m n，则这样的a，m，n的取值有_组；15、设正整数a，m，n满足a24 2 16、求和：S 11 x21 x2221 x42n1 x2n17、已知a bc 0，化简1b2 c2 a211c2 a2b2a2b2c2。1b21c2222218、若a bc abc 0，计算bc1 a1cac1 a1bab的值。19、计算：11335 3 3 517 5 5 7149 47 47 4920、设M 4 2 33，它的小数部分为P，求

51、M1 P的值。第 33 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第一讲：分式的运算第一讲：分式的运算【知识梳理】【知识梳理】一、分式的意义形如A（A、B为整式） ，其中 B 中含有字母的式子叫分式。B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。二、分式的性质（1）分式的基本性质：AAMAM（其中 M 是不为零的整式） 。BBMBM（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。（3）倒数的性质：1、a111a 0，a 1a 0；aan112、若a1，则an 1（a 0，n是整数） ；aa3、a1 2a 0。a三、分式的运算分式的运算法则有

52、：abab acad bc；， cccbdbdna cac acad aan。， ， n（n是正整数）b dbd bdbcbb四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式） ，拆项法（即分离变形） ，因式分解法，分组通分法和换元法等。第 34 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【例题精讲】【例题精讲】【例 1】 （1）当m _时，分式（2）要使分式m1m3的值为零；m23m21有意义，则x的取值范围是_。1 xx思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。【巩固】1、若分式3x212x24x4

53、的值为 0，则 x 的值为_；a242、若使分式113a没有意义，则a的值为_；2a【拓展】当x取何值时，分式x2x25x 6有意义？【例 2】化简下列分式：（1）2x1 x211248x24x2x1（2）x1x1x21x41x81（3）1x11x1x21x2x31x99x100。第 35 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【巩固】化简：（1）1n mm2 n2m 2nm2 4mn 4n2（2）111a23a2a25a6a27a12；【例 3】已知2x y 0，A xy，B x1y2，试比较A与B的大小；【巩固】比较两数56789012346789012345与5678901235678901

54、2347的大小。22【例 4】化简：y zz xx y2x yx zy xy zz xz y。【巩固】化简：y xz xz yx yx zy zx2y zx y 2zx y 2zy z 2xy z 2xx2y z第 36 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第二讲：分式的化简求值第二讲：分式的化简求值【知识梳理】【知识梳理】1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略：（1）适当引

55、入参数；（2）拆项变形或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等。2、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明：左边右边 0，或3、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例题精讲】左边1，此时右边 0。右边x23xy y2_；【例 1】 （1）已知x，求2 2y 022x xy 3y（2）已知（3）若【例 2】若x 第 37 页 共 60 页112x5xy 2y 5，则_；xyx2xy yab

56、c，则3a2bc_；a2b3c345abbcca，求 x 的值？cab初三数学暑假班讲义【例 3】已知abc 0，且【巩固】若【例 4】已知：x ，求x x10【巩固】24abc3a2bc的值？，求bcaa2b3cabcdabcd的值是 _；，则bcdaabcd1的值。4xa3（1）已知a 3a1 0，则代数式6的值为_；a 12x42x1_；（2）若x x1 0，则5x2【例 5】已知 a、b、c 为实数，且第 38 页 共 60 页ab1bc1ca1abc，那么的值是多少？a b3b c4ca 5ab bc ca初三数学暑假班讲义【例 6】已知abc 1，求证：abc1。ab a 1bc

57、b 1ac c 1思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩固】已知：abc 0，abc，求a的值。() b() c() 3 0【例 7】已知a【例 8】已知x 11bc11ca11ab1111，b1，求c的值。bcaa bb cc a，求证：1 x1 y1 z1 x1 y1 z。，y ，z a bb cc a思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。a2 c2b2 d2a bc dac【巩固】已知 3，求证：。a cb da b c dbd22第 39 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第三讲：分式方程及其应用第三讲：分式方程及其应用【知识梳理】【知识梳理】1. 解分式方程的基本思想

58、：把分式方程转化为整式方程。2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同， 但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根， 以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。4. 较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化。【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】解方程： （1）226y 12y

59、 4y22 0【例【例 2 2】解方程：y 4y 4y 4y 4y 4x2x31（2） 1x1(x1)(x2)x 1x 1【例【例 3 3】解方程：【例【例 4 4】解方程第 40 页 共 60 页1111 2x10(x1)(x2)(x2)(x3)(x9)(x10)x 1x 6x 2x 5x 2x 7x 3x 6初三数学暑假班讲义【巩固】【巩固】解方程：121 x 0323 x 4242 x 31643 x x 1989 x 87 x 45 x 【例【例 5 5】解方程：】解方程：x24x72xx172x24x18 0【拓展】解方程：【拓展】解方程：11x211x8x22x81x213x8 0

60、【例【例 6 6】m 为何值时，关于 x 的方程2x 2mx3x 4x 2会产生增根？【巩固】若解分式方程2xm1x1x1x2 xx产生增根，则 m 的值是（A.1或 2B.1或2C.1或2D.1或 2第 41 页 共 60 页）初三数学暑假班讲义【例 7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过点P 跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了 6 秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说： “我俩所用的全部时间的和为50 秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的 1.2 倍” ，根据图

61、文信息，请问哪位同学获胜？P3030 米米l【巩固】轮船在一次航行中顺流航行80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行 40 千米，逆流航行 70 千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度点拨：在航行问题中的等量关系是“船实际速度水速静水速度”第 42 页 共 60 页初三数学暑假班讲义二次根式的运算二次根式的运算【知识梳理】【知识梳理】1、 当a 0时，称a为二次根式，显然a 0。2、 二次根式具有如下性质：（1）a22 aa 0；a，当a 0时，（2）a a a，当a 0时；（3）ab a ba 0，b 0；（4）aaa 0，b 0。bb3、

62、二次根式的运算法则如下：（1）a c b c a bcc 0；（2）anana 0。4、设a，b，c，d，mQ，且m不是完全平方数，则当且仅当a c，b d时，a b m c dm。5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，

63、那么这几个根式叫做同类根式。【例题精讲】【例题精讲】x22x22【例 1】已知y 2，则x2 y2_。5x 445x第 43 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【巩固一】若x，y为有理数，且2x 1 1 2x y 4，则xy的值为_。【巩固二】已知y 1 x x 1 2009，则x y _。【拓展】若m适合关系式3x5y 2m 2x3y m x199 y 199 x y，求m的值。2】当a 2b时，化简二次根式aa24ab 4b2【例a 2ba。【巩固】1、化简4x24x 12x 32的结果是_。2、已知a 0，则2a a2等于（）A.aB. aC.3aD.3a3、已知b a 0 c，化简a2

64、c a2a b2b c2。【例 3】多重二次根式的化简：（1）4 2 3 42 3；（2）108 3 2 2。【巩固】化简： （1）2710 2 _；第 44 页 共 60 页初三数学暑假班讲义（2）25 4 6 2 5 _；（3）x4 x15 x6 x110 _；【拓展】化简1996 1995 1994 199319911111。【例 4】计算：（1）6 4 3 3 26 33 2；（2）10 14 15 2110 14 15 21。【巩固】计算：（1）15 35 2153 2 5 7；（2）115 7 4 6777 66 42。【拓展】设M 11212 312007 2008，N 1234

65、 20072008，则NM 12的值是_。第 45 页 共 60 页初三数学暑假班讲义二次根式的化简求值二次根式的化简求值【知识梳理】【知识梳理】有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。【例题精讲】【例题精讲】【例 1】设x 55，y 55，求x6 y6的值。【巩固】1、设x 2 1222 1，y 2 12 1，

66、求x xy y的值。2、已知x 123，y 123，求1x 121y 12的值。【拓展】已知x 23，求x45x36x25x的值。【例 2】已知x 1xxx 2，那么x23x 1x29x 1的值等于_。第 46 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【巩固】1、若x 1aa，则4x x2的值为（）A.a 111B. aC.a D.不能确定aaa1x5，求x2x x 1x的值。x2 x 12、已知x 【例 3】已知a、b是实数，且【巩固】已知x 1 a2 a 1b b1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。2x2 2008 y y2 2008 2008，求x23xy 4y26x 6y 58的值。 【例

67、 4】已知a、b均为正数，且a b 2，求U 【巩固】求代数式x 4 2a24 b21的最小值。12 x29的最小值。第 47 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形【知识梳理】【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数

68、式；（3）证明：左边右边 0，或4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例题精讲】【例 1】已知abc 1，求证：左边1，此时右边 0。右边abc1。ab a 1bc b 1ac c 1思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩固】【巩固】已知x、y、z为三个不相等的实数，且x 第 48 页 共 60 页111 y z ，求证：x2y2z21。yzx初三数学暑假班讲义【拓展】【拓展】若x y z 0，a xyzabc，b ，c ，求证：1。y zx zx ya 1b1

69、c 1【例【例 2 2】证明：xax a2yay a2zaz a21x a1y a1z a3a。思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。12122【巩固】【巩固】1、求证a ab bab1 ab 4a 1ab1bab1 ab。第 49 页 共 60 页初三数学暑假班讲义2、求证：【拓展】【拓展】求证：【例【例 3 3】已知x bcdb c d。aa b a ba b c a b ca b c daa b c d246201111112222x10x1x 1x 4x 9x 100x1x10 x2x9a bb cc a，求证：1 x1 y1 z1 x1 y1 z，y ，z a bb

70、cc a思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。a2 c2b2 d2a bc dac【巩固】【巩固】已知 3，求证：。a cb da b c dbd22第 50 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【拓展】【拓展】已知实数a、b、c满足1a2n11b2n11c2n11111，求证：abca b c1，其中n是正整数。2n12n12n1ab c【例【例 4 4】已知ax by cz，且【巩固】【巩固】1、已知3331111，求证：3ax2by2cz23a 3b 3c。xyzABCD，求证：Ax By Cz Dt xyztABCDxyzt第 51 页 共 60 页初三数学暑假班讲义2、设aa1a2

71、a3na1，a2， ，an，b1，b2， ，an都是整数。b1b2b3bn求证：a1b1a2b2a3b3anbna1 a2 an b1b2bn【拓展】【拓展】设2005x 2006y 2007z ，xyz 0，且32005x2 2006y2 2007z232005 32006 32007，求证：【例【例 5 5】已知正数a，b满足a 1b2b 1a21，求证：a b 1。223331111。xyz思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明的结论，就是我们平时说的“正面突破” 。第 52 页 共 60 页初三数学暑假班讲义第十二讲：专题复习：相似三角形

72、第十二讲：专题复习：相似三角形【知识梳理】【知识梳理】1 1、比例线段的有关概念：、比例线段的有关概念：acb、 d 叫后项， d 叫第四比例项，在比例式 (a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，bd如果 bc，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。2 2、平行线分线段成比例定理：、平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。ABDEABDEBCEF则，BCEFACDFACDF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。4、相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相

73、等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角形相似5、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3 3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：（1）如图 1，当时，ABCADE（2）如图 2，当时，ABCAED。（3）如图 3，当时，ABCACD。AAADDEDEBBCCCB图1图2图3ABA（4

74、）如图 4，如图 1，当 ABED 时，则。CC（5）如图 5，当时，则。（6）如右图，特殊图形（双垂直模型）ABAC90AD BCDDEADCBDABAC图 4图 5BDC第 53 页 共 60 页BE初三数学暑假班讲义【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】如图所示，给出下列条件：B ACD；ADC ACB；ACAB2；AC AD ABCDBC其中单独能够判定ABCACD的个数为（）A1B2C3D4【巩固】【巩固】1、如图，DEBC，DHEC 交 BC 延长线于点 H(1)试找出图中的相似三角形?(2)若 AE:AC1:2，则 AC:DH_。(3)若ABC 的周长为 4，则BDH 的周长

75、为_。(4)若ABC 的面积为 4，则BDH 的面积为_。E EA AD D2、如图，在ABC 中，AB24，AC18，D 是 AC 上一点，AD12，在 AB 上取一点 E，使 A、D、E 三点为顶点组成的三角形与ABC 相似，则 AE 的长是_A. 16B. 14C. 16 或 14D. 16 或 93、 如图，ABCD 中， E 是 AB 延长线上一点， 连结 DE， 交 AC 于 G， 交 BC 于 F， 那么图中相似三角形共有_对。ADGBCFE第6题图【例【例 2 2】 （1）如图，ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连结 BD 并延长与 CE 交于点

76、E求证：ABDCEDAEDFBC第 54 页 共 60 页B BC CH H初三数学暑假班讲义（2）如图，ABAD，BAD CAE，求证：ADE ABCACAE【巩固】【巩固】如图，已知AD AB AE AC，求证：FDB FEC【拓展】如图，ABC 中，BAC90，ADBC 于 D，AECE，延长 ED 交 AB 的延长线于 F，求证：AFD DFBAEBCDF【例【例 3 3】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC相似的是（）ABCABCD【例【例 4 4】如图，ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE 求证：ABFC

77、EB；若DEF 的面积为 2，求ABCD 的面积.12CD。EAFDBC第 55 页 共 60 页初三数学暑假班讲义【例题精讲】【例题精讲】【例【例 1 1】如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90，BD 是中线，AEBD，交 BC 于点 E，求证：BE=2EC。DA【巩固】【巩固】如图， ABC 是一个等腰三角形， 其中 AB=AC，若B 的角平分线交 AC 于 D 且 BC=BD+AD，设A=c，求 c 的值。【例【例 2 2】如图，梯形 ABCD 中，ADBC（ADBC） ，AC、BD 交于点 O，若SOABBOC 的周长之比是_。BOABCADBEC6S梯形ABCD，则AOD 与2

78、5DC【巩固】【巩固】1、如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE:CE=2:3，连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则SDEF: SEBF: SABF（）A.4:10:25B.4:9:25C.2:3:5D.2:5:25ADFECB2、如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于 O，若SD0E: SCOB 9:16，则 AD:DB=_。BDOC第 56 页 共 60 页AE初三数学暑假班讲义【例【例 3 3】已知如图，在ABC 中，BAC=90，ADBC，E 为 AC 中点，求证：AB AF ACDF。AE【巩固】【巩固】已知如图，AE 为ABC 的角平分线，D 为

79、AB 上一点，并且ACD=B，CD 交 AE 于 F，求证：BDFCCECF FDBE。【例【例 4 4】如图 1，在等腰ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，连结 AD，过 D 作 AB、AC 的垂线，垂足分别为 E、F，求证：DE+DF 的长是定值。BED图1FCABDEFAC【巩固】如图 2，在等腰ABC 中，AB=AC，点D在 BC 的延长线上，过D作 AB、AC 的垂线，垂足分别为M、N，求证：DM DN的长是定值。B图2NMCD第 57 页 共 60 页A初三数学暑假班讲义【例【例 5 5】 如图， 在ABC 中， D 为 BC 上任意一点， 连结 AD， P 为

80、AD 上任意一点， 连结 PB、 PC， 求证：【巩固】【巩固】用面积法证明下述定理：（1）在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，求证：AB:AC=BD:DC。（2） （赛瓦定理）如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上，连结 AD、BE、CF 交于点 O，求证：BDPASABPBD。SAPCDCCBDCEAF1。DCAEFBBFOAEDC（3） （梅内劳斯定理）如图，一条直线与三角形ABC 的三边 BC，CA，BA（或其延长线）分别交于 D，E，F。求证：第 58 页 共 60 页BDCEAF1。DCEAFBAEBDFC初三数学暑假班讲义【拓展】【拓展】如图，在AB

81、C 中，D 是 BC 边中点，G 是 AD（不包括 A、D 两点）上一动点，BG、CG 的延长线分别交AC、AB 于点 F、E。（1）求证：AAEAF；EBFCEG（2）设S SCGFAE，并求出它的最大值。 x，用含x的代数式表示BGESABCEBBFDC相似三角形（提高篇）相似三角形（提高篇）【知识梳理】【知识梳理】1、通过寻找或构造相似三角形，计算线段长度，比例线段的证明，角相等的证明等。2、利用相似三角形的性质解决实际问题。3、做平行线构造相似三角形是常用的辅助线。3、几何变换中的函数问题，利用相似三角形构造线段的比或面积的比是常用的方法。【例题精讲】【例题精讲】【例 1】如图，梯形

82、ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E。求证：OC2OAOE（点拨：把 OC2OAOE 化成比例形式）【例 2】如图，ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G求证：AGEGD1CEAD3EGBCD【巩固】D 是ABC 中 BC 边上的中点，E 是 AB 上一点，且 AE6，BE4，连 ED 并延长交 AC 的延长线于 F，求 AF:CF 的值。FCD第 59 页 共 60 页BEA初三数学暑假班讲义【例 3】如图，ABC是一块锐角三角形余料，边长BC 120毫米，高AD 80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 B

83、C 上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ANPQDMCB【巩固】ABC 中的内接矩形 EFGH，EF:FG5:9，高 AD16cm，BC48cm，求矩形 EFGH 的面积。AHEKCBDGF【例 3】正方形ABCD边长为 4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtABM RtMCN；（2）设BM x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；（3）当M点运动到什么位置时RtABM RtAMN，求x的值【巩固】如图，在ABC 中，BABC20cm，AC30cm，点 P 从 A 点出发，沿 AB 以每秒 4cm 的速度向点 B运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动的时间为x。（1）当 x 为何值时，PQBC？PB（2）当SBCQSABCSBPQ1的值；，求SABC3AQC（3）APQ 能否与CQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。第 60 页 共 60 页