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1、9-1例子学习时间和学习成绩之间的关系企业广告投入与销售利润之间的关系某地区人们的身高与体重之间的关系粮食亩产量与施肥量之间的关系9-2本章主要解决的问题相关分析有无关系 何种关系 关系的密切程度 样本能否推断总体回归分析变量之间关系的描述 回归方程的拟合9-39第第9 9章章 相关与回归分析相关与回归分析通过本章的学习，我们应该知道：通过本章的学习，我们应该知道：1.如何判别相关关系如何判别相关关系2.回归分析的基本假定回归分析的基本假定3.一元线性回归分析的内容一元线性回归分析的内容S t a t i s t i c s9-4学习目标1.相关关系的分析方法相关关系的分析方法2.一元线性回归
2、的基本原理和参数的最小二乘估计一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验5.利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测6.用用 Excel 进行回归进行回归第11章 一元线性回归9-5函数关系1.是一一对应的确定关系2.变量 y 完全依赖于 x ，称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量3.各观测点落在一条线上 x xy y9-6函数关系(几个例子)n某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y = px (p 为单价)n圆的面积S与半径R之间的关系
3、可表示为S= R2 n企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3 9-7相关关系(correlation)1.变量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3.当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个4.各观测点分布在直线周围 x xy y9-8相关关系(几个例子)n n父亲身高y与子女身高x之间的关系n n收入水平y与受教育程度x之间的关系n n粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量x2 、温度x3之间的关系n n商品的消费量y与居民收入x之间的关系n n商品销售额y与广告费支出x之
4、间的关系9-9相关关系的描述例例9.1：在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消：在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为费额记为y，把人均，把人均GDP记为记为x。我们收集到。我们收集到1995-2003年的年的样本数据样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，9，数据见表，数据见表10-1，判断其相，判断其相关关系的类型和密切程度。关关系的类型和密切程度。 表表9-1 我国人均我国人均GDP与人均消费金额数据与人均消费金额数据 单位单位:元元年份年份人均人均GDP人均人均消费金额消费金额年份年份人均人均GDP人均人均消费金额消费金额199519961997199819994
5、8545576605463086551223626412834297231382000200120022003708676518214910133973609381840899-10直观描述散点图(scatter plot)又称相关图相关图，将所研究变量的观察值以散点的形式画在相应的坐标系中，通过呈现的特征，来判断变量之间的相关情况。9-11散点图(scatter diagram)不相关不相关不相关不相关不相关不相关 负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相
6、关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关9-12相关关系(类型)9-13散点图(例题分析)【例例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据 9-14散
7、点图(例题分析)9-15散点图(不良贷款对其他变量的散点图)9-16相关系数(correlation coefficient)概念概念：用以反映两变量间线性相关密切程度的统计指标，用r表示。注意注意：1.用以度量变量之间关系的密切程度2.对两个变量两个变量之间的线性相关程度线性相关程度的度量指标称为简单相关系数3.若计算的数据是总体数据，称为总体相关系数，记为；若计算的数据是样本数据，称为样本相关系数，记为r。9-17相关系数 (计算公式) 样本相关系数的计算公式或化简为9-18例题的解根据样本相关系数计算公式：人均GDP和人均消费金额之间的相关系数为0.9938。9-19相关系数的性质性质性
8、质1（取值）：（取值）：1. r 的取值范围是 -1,12. |r|=1，为完全相关r =1，为完全正相关r =-1，为完全负相关3. r = 0，不存在线性相关线性相关关系4. -1r0，为负相关5. 0r1，为正相关6. |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切9-20相关系数的取值及其意义-1.0+1.00-0.5+0.5无线性相关无线性相关无线性相关无线性相关完全正相关完全正相关完全正相关完全正相关负相关程度增加负相关程度增加r正相关程度增加正相关程度增加完全负相关完全负相关完全负相关完全负相关9-21相关系数的性质性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和
9、y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx性质性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有任何关系性质性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系9-22相关系数的经验解释1. |r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关2.0.5|r|0.8时，可视为中度相关3.0.3|r|0.5时，视为低度相关4.|r|t，拒绝H0 若t=7.5344=7.5
10、344=7.5344t t t t(25-2)=2.069(25-2)=2.069(25-2)=2.069(25-2)=2.069，拒拒拒拒绝绝绝绝H H H H0 0 0 0，不不不不良良良良贷贷贷贷款款款款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系 9-26相关系数的显著性检验(例题分析)各相关系数检验的统计量各相关系数检验的统计量9-27什么是回归分析？(Regression)1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从
11、影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度9-28回归模型的类型9-29一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示9-30回归模型(regression model)1.回答“变量之间是什么样的关系？”2.
12、方程中运用1 个数值型因变量(响应变量)被预测的变量1 个或多个数值型或分类型自变量 (解释变量)用于预测的变量3. 主要用于预测和估计9-31一元线性回归模型1.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型回归模型2.一元线性回归模型可表示为 y = + + 1 1 x + + e ey 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参数9-32一元线性回归模型(基本假定) 1.
13、因变量x与自变量y之间具有线性关系2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的3.误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x4.对于所有的 x 值，的方差2 都相同5.误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0 ,2 )独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关9-33一元线性回归模型的假定一元线性回归模型的假定一元线性回归模型的假定一元线性回归模型的假定9-34回归方程 (reg
14、ression equation)1.描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程回归方程2.一元线性回归方程的形式如下3. E( y ) = 0+ 1 x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值9-35估计的回归方程(estimated regression equation)3.一元线性回归中估计的回归方程为2.用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程估计的回归方程1.总体回归参数 和 是未知的，必须利用样
15、本数据去估计其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值 9-36残差残差(Residual):9-37最小二乘估计(method of least squares )1.德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 2.使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即3.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小9-38Gauss的残差最小化图的残差最小化图x xy y
16、( (x xn n , , y yn n) )( (x x1 1 , , y y1 1) )( (x x2 2 , , y y2 2) )( (x xi i , , y yi i) )e ei i = = y yi i- -y yi i9-39最小二乘法 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下9-40估计方程的求法(例题分析)【例】【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x回回归归系系数数 =0.037895 =0.037895 表表示示，贷贷款款余余额额每每增增加加1 1亿元，不良贷款平均增加亿元，不良贷款平均增加0.037
17、8950.037895亿元亿元 9-41估计方程的求法(例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示9-42变差1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示9-43剩余离差平方和剩余离差平方和回归离差回归离差平方和平方和总离差平方和总离差平方和9-44误差平方和的分解 (三个平方和的关系) SST = SSR + SSE总平方和总平方和(SST)回归平方和回归平方和(SSR)残差平方和残差平
18、方和(SSE)9-45误差平方和的分解 (三个平方和的意义)1.总平方和总平方和(SSTtotal sum of squares)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差2.回归平方和回归平方和(SSRsum of squares of regression)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和残差平方和(SSEsum of squares of error)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和9-46判定系数R2 (coeffici
19、ent of determination)1.回归平方和占总误差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在 0 , 1 之间4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差5.判定系数等于相关系数的平方，即R2r29-47判定系数 (例题分析)【例例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判判定定系系数数的的实实际际意意义义是是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷
20、款与贷款余额之间有较强的线性关系 9-48估计标准误差(standard error of estimate)定义：实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根 能反映实际观察值在回归直线周围的分散状况计算：它是对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量计算公式为注：例题的计算结果为1.97999-49线性关系的检验1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著2.将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k
21、-1)9-50线性关系的检验 (检验的步骤) 1.提出假设H0：1=0 线性关系不显著2. 计算检验统计量F3.确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 4.作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,拒绝H0，线性关系显著9-52线性关系的检验 (方差分析表) Excel 输出的方差分析表输出的方差分析表9-53回归系数的检验3.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验4.采用t检验1.检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著2.理论基础是回归系数 的抽样分布9-54回归系数的检验 (检验步骤) 1.提出假设H0:
22、1 = 0 (没有线性关系) H1: 1 0 (有线性关系) 2.计算检验的统计量3. 确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系9-56回归系数的检验 (例题分析)P 值的应用值的应用P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系9-57回归分析结果的评价l建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手1.所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多，不良贷款也可能会越多，也就是说，
23、回归系数的值应该是正的 ， 在 上 面 建 立 的 回 归 方 程 中 ， 我 们 得 到 的 回 归 系 数 为正值，2.如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明而这之间的线性关系是统计上显著的9-583.回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在 不 良 贷 款 与 贷 款 余 额 的 回 归 中 ， 得 到 的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错4.考察关于误差项的正态性假定是
24、否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图回归分析结果的评价9-59Excel输出的部分回归结果名称名称计算公式计算公式Adjusted R SquareIntercept的抽样标准误差Intercept95%的置信区间斜率95%的置信区间9-60利用回归方程进行估计和预测1.根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值2.估计或预测的类型点估计y 的平均值的点估计y 的个别值的点估计区间估计y 的平均值的置信区间置信区间估计y 的个别值的预测区间预测区间估计9-
25、61点估计2. 点估计值有ny 的平均值平均值的点估计ny 的个别值个别值的点估计3.在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同1.对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值9-62 y 的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得9-63y 的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值
26、x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计 。根据估计的回归方程得9-64区间估计1.点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计2.对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间3.区间估计有两种类型置信区间估计(confidence interval estimate)预测区间估计(prediction interval estimate)9-65置信区间估计1.利用估计的回归方
27、程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间置信区间(confidence interval)2. E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为式中：式中：s se e为估计标准误差为估计标准误差9-66置信区间估计(例题分析) 【例例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 置信区间为当当贷贷款款余余额额为为100100亿亿元元时时，不不良良贷贷款款的的平平均均值值在在2.11412.1141亿元到亿元到3.80593.805
28、9亿元之间亿元之间 9-67预测区间估计1.利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间预测区间(prediction interval) 2. y0在1-置信水平下的预测区间为注意！注意！9-68预测区间估计(例题分析)【例例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 预测区间为贷贷款款余余额额为为72.872.8亿亿元元的的那那个个分分行行，其其不不良良贷贷款款的预测区间在的预测区间在-2.2766-2.27
29、66亿元到亿元到6.13666.1366亿元之间亿元之间 9-69置信区间和预测区间(例题分析)9-70置信区间、预测区间、回归方程xp pyx x预测上限置信上限预测下限置信下限9-71残差(residual)1.因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示2.反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 3.可用于确定有关误差项的假定是否成立 4.用于检测有影响的观测值9-72残差图(residual plot)1.表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图2.用于判断误差的假定是否成立 3.检测有影响的观测值9-73残差与标准化残差图(例题分析)9-74残差图(形
30、态及判别)(a)(a)满意模式满意模式残残差差x x0 0(b)(b)非常数方差非常数方差残残残差差差x x0 00(c)(c)模型不合适模型不合适残残残差差差x x0 009-75残差图(例题分析)9-76标准化残差(standardized residual)1.残差除以它的标准差2.也 称 为 Pearson残 差 或 半 学 生 化 残 差 (semi-studentized residuals) 3.计算公式为注意：注意：Excel给出的标准残差的计算公式为 这实际上是学生化删除残差(studentized deleted residuals)9-77标准化残差图 用以直观地判断误差
31、项服从正态分布这一假定是否成立 若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间 9-78标准化残差图(例题分析)9-79异常值(outlier)1.如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点，或称为野点如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该数据2.在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔除 9-80
32、异常值(识别)1.异常值也可以通过标准化残差来识别2.如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值3.一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值9-81有影响的观测值1.如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 2.一个有影响的观测值可能是一个异常值，即有一个值远远偏离了散点图中的趋势线对应一个远离自变量平均值的观测值或者是这二者组合而形成的观测值， 9-82有影响的观测值(图示)不存在影响值的趋势有影响的观测值存在影响值的趋势9-83杠杆率点(leverage point)1.如果自变
33、量存在一个极端值，该观测值则称为高杠杆率点(high leverage point)2.在一元回归中，第i个观测值的杠杆率用hi表示，其计算公式为 3.如果一个观测值的杠杆率 ，就可以将该观测值识别为有高杠杆率的点 4.一个有高杠杆率的观测值未必是一个有影响的观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响 9-84高杠杆率点 (图示)高杠杆率点9-85可化为线性回归的曲线回归模型 在实际问题中，有时因变量和自变量之间的关系并非是线性形式，而是某种曲线，这时，就需要拟合适当类型的曲线模型，统计学上称为曲线回归模型。 统计学上通常采用变量代换法将曲线形式转换成线性形式来处理，使线性回归分析的方法也能适用于非线性回归问题的研究。 现仅举例加以说明，其他则可类似操作。9-86本章小结1.变量间关系的度量变量间关系的度量2.回归模型、回归方程与估计的回归方程回归模型、回归方程与估计的回归方程3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归分析中的显著性检验回归分析中的显著性检验5.估计和预测估计和预测6.用用Excel 进行回归分析进行回归分析
