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1、第二章第二章 有限概率空间的有限概率空间的概率论基础概率论基础本章内容提要本章内容提要有限概率空间有限概率空间无限概率空间无限概率空间定义定义可以写出所有可能的结果可以写出所有可能的结果不能写出所有可能的结果不能写出所有可能的结果概率测度概率测度（ ，P P）（ ，F，P）随机变量随机变量X: X: R RX: X: B B（R R中的开区间）中的开区间）分布分布取不同值的概取不同值的概率表述率表述期望期望LebesgueLebesgue积分积分条件期望条件期望EX|GEX|G2024/8/22CopyrightPei Zhang 20152.1 有限概率空间有限概率空间抛掷硬币三次，假设每次
2、抛掷出现正面的概抛掷硬币三次，假设每次抛掷出现正面的概率为率为p，出现背面的概率为，出现背面的概率为1-p，并且假设抛，并且假设抛掷过程是相互独立的，所有可能结果的集合掷过程是相互独立的，所有可能结果的集合为：为： ：样本空间（试验所有可能的结果）：样本空间（试验所有可能的结果） 中的中的子集子集称为称为事件事件 中的每个中的每个元素元素 （ 试验的试验的某个特定结果某个特定结果）例如：三次抛掷的结果序列：例如：三次抛掷的结果序列：2024/8/23CopyrightPei Zhang 2015概率测度概率测度概率测度概率测度P为一个函数，将为一个函数，将中每个元素中每个元素对应到对应到0,1
3、之间的某个数，使得之间的某个数，使得定义定义事件事件A的概率为：的概率为：2024/8/24CopyrightPei Zhang 20152.2 随机变量、分布和期望随机变量、分布和期望 定义：设（定义：设（ ，P P）为有限概率空间，）为有限概率空间，随随机变量机变量为定义在为定义在上的一个实值函数。上的一个实值函数。例例：（：（股票价格）股票价格）2024/8/25CopyrightPei Zhang 2015随机变量的分布随机变量的分布随机变量取不同值的概率表述随机变量取不同值的概率表述抛掷硬币三次，所有可能结果的集合为：抛掷硬币三次，所有可能结果的集合为：定义随机变量：定义随机变量：X
4、：出现正面的次数：出现正面的次数Y：出现背面的基础：出现背面的基础1.描述描述X和和Y的各种可能结果的各种可能结果2.确定确定X和和Y的分布的分布2024/8/26CopyrightPei Zhang 2015X X、Y Y的各种可能结果的各种可能结果X（HHH）=3X（HHT）=X（HTH）=X（THH）=2X（HTT）=X（THT）=X（TTH）=1X（TTT）=0Y（TTT）=3Y（TTH）=Y（THT）=T（HTT）=2Y（THH）=Y（HTH）=Y（HHT）=1Y（HHH）=02024/8/27CopyrightPei Zhang 2015X X和和Y Y的分布的分布前提：给定前提：
5、给定上的概率测度上的概率测度例如：每次抛掷出现正面的概率为例如：每次抛掷出现正面的概率为1/21/2，则：，则：通常，将记号通常，将记号2024/8/28CopyrightPei Zhang 2015例如：每次抛掷出现正面的概率为例如：每次抛掷出现正面的概率为2/32/3，出，出现背面的概率为现背面的概率为1/31/3，则：，则：同一随机变量在不同的概率测度下分布不同一随机变量在不同的概率测度下分布不同，在某一概率测度下分布相同的随机变同，在某一概率测度下分布相同的随机变量在另外一个概率测度下分布可能不同量在另外一个概率测度下分布可能不同2024/8/29CopyrightPei Zhang
6、2015随机变量的期望随机变量的期望定义：设定义：设X为定义在有限概率空间（为定义在有限概率空间（ ，P）上的随机变量，）上的随机变量，X的期望定义为：的期望定义为：X的方差定义为：的方差定义为：2024/8/210CopyrightPei Zhang 20152.3 条件期望条件期望简化记号，定义：简化记号，定义：则：则：称称 为基于时刻为基于时刻n n信息的信息的S Sn+1n+1的的条件条件期望期望2024/8/211CopyrightPei Zhang 2015三时段模型三时段模型条件期望一定要注意所基于的时刻信息条件期望一定要注意所基于的时刻信息2024/8/212Copyright
7、Pei Zhang 2015定义的推广定义的推广假设假设X是一个依赖于前是一个依赖于前N次抛掷硬币结果的次抛掷硬币结果的随机变量，我们可以由比随机变量，我们可以由比N更早的时刻更早的时刻n的的信息估计信息估计X的值。的值。 为基于时刻为基于时刻n信息的信息的X的条件期望，的条件期望，它的值在时刻它的值在时刻n我们才知道，基于我们才知道，基于0时刻的时刻的信息，它是一个随机变量。信息，它是一个随机变量。 是随机变量是随机变量2024/8/213CopyrightPei Zhang 2015条件期望的基本性质条件期望的基本性质2024/8/2CopyrightPei Zhang 2015142.4
8、 2.4 鞅鞅鞅鞅2024/8/215CopyrightPei Zhang 2015鞅的定义鞅的定义考虑二叉树资产定价模型，设考虑二叉树资产定价模型，设M M0 0，M M1 1，M MN N为随机变为随机变量序列，每个量序列，每个M Mn n只依赖前只依赖前n n次抛掷硬币（次抛掷硬币（M M0 0为常量）。为常量）。这样的随机变量序列称为这样的随机变量序列称为适应随机过程。适应随机过程。（1 1）如果）如果则我们称这个过程为则我们称这个过程为鞅鞅（2 2）如果）如果则我们称这个过程为则我们称这个过程为下鞅下鞅（3 3）如果）如果则我们称这个过程为则我们称这个过程为上鞅上鞅2024/8/21
9、6CopyrightPei Zhang 2015从从“一步超前一步超前”到到“多步超前多步超前”2024/8/217CopyrightPei Zhang 2015举例举例上升概率上升概率p=1/3p=1/3下降概率下降概率q=2/3q=2/32024/8/218CopyrightPei Zhang 2015股票价格的递增趋势应该如何反映股票价格的递增趋势应该如何反映？考虑：考虑：1 1、股票价格模型：、股票价格模型：2 2、贴现股票价格模型：、贴现股票价格模型：选择怎样的概率，使得贴现股票价格模型是一个鞅选择怎样的概率，使得贴现股票价格模型是一个鞅？2024/8/219CopyrightPei
10、 Zhang 2015定理定理2.4.42.4.4对于一般的二叉树模型，风险中性概率如对于一般的二叉树模型，风险中性概率如下给出：下给出： 那么，在这个风险中性测度下，那么，在这个风险中性测度下，贴现股票贴现股票价格过程是一个鞅价格过程是一个鞅其中，其中，2024/8/220CopyrightPei Zhang 2015期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型动态复制思想动态复制思想股票头寸的动态调整（适应的）股票头寸的动态调整（适应的）财富（投资组合价值）的动态调整财富（投资组合价值）的动态调整（适应的）（适应的）财富的平均增长率如何？财富的平均增长率如何？2024/8/221Copyrig
11、htPei Zhang 2015定理定理2.4.52.4.5考虑考虑N N时段二叉树模型。设时段二叉树模型。设00，11， n-1 n-1为适应组合过程，为适应组合过程，X0X0为实数，为实数，X0X0，X1X1，XnXn为财富过程，那么，财富的为财富过程，那么，财富的贴现过程贴现过程 为风险中性概率测度为风险中性概率测度下的鞅：下的鞅：2024/8/222CopyrightPei Zhang 2015更一般的结果更一般的结果如果一个模型中存在一个风险中性测度，如果一个模型中存在一个风险中性测度，那么这个模型中就不存在套利。那么这个模型中就不存在套利。（资产定价第一基本定理）（资产定价第一基本
12、定理）贴现财富过程不能以零值开始并且之后贴现财富过程不能以零值开始并且之后以正概率严格为正，除非它也以正概率以正概率严格为正，除非它也以正概率严格为负。严格为负。2024/8/223CopyrightPei Zhang 20152024/8/2CopyrightPei Zhang 201524定理定理2.4.7 2.4.7 （风险中性定价公式）（风险中性定价公式）对于对于N N时段二叉树模型，其中时段二叉树模型，其中0d1+ru0d1+r0的状态空间为的状态空间为I，如果对于任何如果对于任何s,t0，以及，以及i,jI，x(u)，0u s，有：，有：2024/8/2CopyrightPei Z
13、hang 201530原始模型马尔科夫链，由俄国数学家原始模型马尔科夫链，由俄国数学家.马尔可夫于马尔可夫于1907年提出年提出.荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在当现在所处的位置已知时所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。它以往走过的路径无关。2024/8/2CopyrightPei Zhang 201531例例2.5.4
14、非非马尔尔科夫科夫过程程考虑最大值过程：考虑最大值过程：无法找到函数无法找到函数g g，使得：，使得：2024/8/232CopyrightPei Zhang 2015K维马尔科夫过程维马尔科夫过程考虑二叉树资产定价模型。设考虑二叉树资产定价模型。设 为一个为一个K维适应过程。维适应过程。如果对每个如果对每个0到到N-1之间的之间的n以及每个函数以及每个函数 ，存在另一个函数，存在另一个函数 （依赖于（依赖于n和和f），使得：），使得：则称则称 是一个是一个K维马尔科夫维马尔科夫过程过程2024/8/233CopyrightPei Zhang 2015例例2.5.6N时段二叉树模型，二维适应过
15、程时段二叉树模型，二维适应过程 ，符号的定义与前面一样，证明这个二，符号的定义与前面一样，证明这个二维过程是马尔科夫过程。维过程是马尔科夫过程。2024/8/234CopyrightPei Zhang 2015标的资产服从马尔科夫过程的衍生标的资产服从马尔科夫过程的衍生证券的定价（定理证券的定价（定理2.5.8）设设X0、X1，XN为二叉树模型中的为二叉树模型中的风险中性概率测度风险中性概率测度P下的马尔科夫过程。下的马尔科夫过程。考虑一个在时刻考虑一个在时刻N的支付为的支付为 的的衍生证券。那么，对于每个衍生证券。那么，对于每个0到到N之间的之间的n，衍生证券的价格，衍生证券的价格Vn为为Xn的某个函数的某个函数 ，即：，即：2024/8/235CopyrightPei Zhang 2015习题习题2024/8/2CopyrightPei Zhang 201536
