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1、1数列的概念数列的概念收敛数列的性质收敛数列的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 数列极限的概念数列极限的概念概念的引入概念的引入第二节第二节 数列的极限数列的极限2一、概念的引入一、概念的引入 极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到无限从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之槌一尺之槌,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半, 第二第二天取其剩下的一半天取其
2、剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.数列的极限数列的极限 中写道中写道:3刘徽刘徽(三世纪三世纪)的的“割圆术割圆术”中说中说:意思是意思是:设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接正从圆内接正6边边形开始形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍, 得到得到正正12边形、正边形、正24等等正多边形。等等正多边形。边形边形边数越多边数越多, 圆内接正多圆内接正多边形越与圆接近边形越与圆接近, 最后与圆重合，最后与圆重合， 则正多边形面则正多边形面积与圆面积就没有误差了积与圆面积就没有误差了.数列的极限数列的极限 “割之弥细割之弥细,
3、所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”4正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积数列的极限数列的极限5如如定义定义 按照自然数的顺序排列的一列数按照自然数的顺序排列的一列数简记为简记为通项通项(generalterm),或者或者一般项一般项.数列的极限数列的极限二、数列二、数列 (sequence of number) 的概念的概念6可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取数列的数列的(两种两种)几何表示法几何表示法:数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 n的
4、函数的函数: 整标函数整标函数或或下标函数下标函数(1)数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.数列的极限数列的极限7(2) 在平面上在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注注 不可将这串点连成曲线不可将这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4则数列的几何意义是则数列的几何意义是数列的极限数列的极限平面上平面上一串离散一串离散的点的点. .8三、数列极限三、数列极限的概念的概念即即问题问题当当 无限增大无限增大时时, 是否是否无限接近无限接近于某一于某一确定的数值确定的数值? 如果是如果是,当当n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于1.数列的极
5、限数列的极限如何确定如何确定?9如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?数列的极限数列的极限当当n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于1.一般用距离一般用距离来度量两个数来度量两个数的接近程度，的接近程度，越小，越小，越接近。越接近。无限接近于无限接近于1 1等价于等价于变小（任意小）。变小（任意小）。可无限可无限10可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.11数列的极限数列的极限12定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在正总
6、存在正(整整)数数N, 使得对于使得对于 时的一切时的一切不等式不等式成立成立. 收敛收敛于于a (converge to a) . 或称数列或称数列 记为记为或或那末就称常数那末就称常数a是数列是数列的的极限极限(limit),如果数列没有极限如果数列没有极限, 就说数列就说数列发散发散(diverge).数列的极限数列的极限13注注xn有没有极限有没有极限, 不唯一；不唯一；但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项.定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将的定义可缩写为的定义可缩写为:数列的极限数列的极限(1)(2) (3)(4
7、)“前面前面” 的有限项不起作用的有限项不起作用,14数列极限的几何意义数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理数列极限的定义通常是用来进行推理需要预先知道极限值是多少需要预先知道极限值是多少.和证明极限和证明极限,而不是用来求极限而不是用来求极限, 因为这里因为这里数列的极限数列的极限即即注注15例例所以所以,证证 虽然是可以任意小的正数虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题但使用定义证题时时,对于给定的对于给定的 总暂时认为它是固定的总暂时认为它是固定的,按照这按照这个个 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. 解不等式解不等式数列的极限数列的极限16例例证明数列证明数列 以以
8、 0为为极限极限.证证要使要使由于由于有有 为了简化解不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常常把常把 作适当地放大作适当地放大.数列的极限数列的极限用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.17数列的极限数列的极限例例证证18例例证证为了使为了使只需使只需使数列的极限数列的极限19练习练习1、用定义验证、用定义验证2、验证、验证201. 有界性有界性如如,有界有界;无界无界.定义定义若存在正数若存在正数M,数数n,恒有恒有称为无界称为无界.则称数列则称数列 有界有界; 数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数
9、列的点 都落在都落在闭区间闭区间 上上.否则否则,使得一切自然使得一切自然数列的极限数列的极限四、四、收敛数列的性质收敛数列的性质21定理定理1 1证证由定义取由定义取有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件, 推论推论注注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界. .数列的极限数列的极限无界数列必定发散无界数列必定发散. .不是充分条件不是充分条件.222. 唯一性唯一性定理定理2 2证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.每个每个收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限. .数列的极限数列的极限才能成立才能成立.使得使得23例例证证区间长度为区间长度为1.不可能
10、同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内.数列的极限数列的极限 反证法反证法假设数列假设数列收敛收敛， 则有唯一极限则有唯一极限a 存在存在. .但却发散但却发散. .24数列的极限数列的极限3. 保号性保号性定理定理3 3 如果如果且且证证由定义由定义,对对有有 从而从而推论推论 如果数列如果数列从某项起有从某项起有且且那么那么用反证法用反证法254.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系注意：注意：例如，例如，是数列是数列的一个子数列。的一个子数列。数列的极限数列的极限26定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同证证证毕
11、证毕数列的极限数列的极限27 由此定理可知由此定理可知,但若已知一个子数列发散但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列或有两个子数列收敛于不同的极限值收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.数列的极限数列的极限一般不能断定原数列的收敛性一般不能断定原数列的收敛性;仅从某一个子数列的收敛仅从某一个子数列的收敛28例例 试证数列试证数列 不收敛不收敛.证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列不收敛不收敛.收敛于收敛于而偶子数列而偶子数列 所以数列所以数列数列的极限数列的极限 收敛于收敛于29例 对数列，若证明：证：由又由证毕证毕数列的极限数列的极限30敛于敛于a .数列数列的奇子
12、数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列也收也收31数列数列数列极限数列极限收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系.五、小结五、小结数列的极限数列的极限研究其变化规律研究其变化规律;极限思想极限思想, 精确定义精确定义, 几何意义几何意义;有界性有界性, 唯一性唯一性,保号性保号性,32数列的极限数列的极限思考题思考题1“”恒有恒有是数列是数列收敛于收敛于a的的( ). A. 充分但非必要条件充分但非必要条件B. 必要但非充分条件必要但非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件(1)C (2)D. 不确定不确定33思考题思考题2 2证明： 数列的极限数列的极限34作业作业 数列的极限数列的极限
