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1、2010届高考数学二轮复习系列课件 18数列 数列通项与数列中的不等式 一、基础知识一、基础知识1.不完全归纳法归纳通项.2.数学归纳法证明与自然数n有有关的命题:第一步:验证初始状态,即“n=n0时命题成立”;第二步:假设推理,即“假设n=k(kn0)时命题成立，由此出发，推得n=k+1时命题也成立”.3.均值不等式：4.放缩法：注意放缩的度，不能太小或太大，实当即可.5.函数的单调性.二、例析二、例析解解:(1) 由a1=2,an+1=an2-nan+1得:a1=2, a2=3, a3=4, a4=5, 由此猜想an=n+1 (n1).(2) 用数学归纳法证明:)当n=1时,a13=1+2
2、,不等式成立.)假设当n=k时, 不等式成立,即akk+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-K)+1 k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1(k+1)+2.由)和)得,对于所有n1,有an n+2.说明说明: : 在证明(2)中的时,注意到分母的特点,利用(2)中的结果“对于所有n1,有an n+2”,就能得到an-1 n+1;解：解：说明说明: :1.数列an中第n项an,前n项和Sn,前n-1项和Sn-1之间的关系an=Sn-Sn-1在求通项公式中经常用到.2.具有递推公式an=man-1+krn形式数列通项公的解法是要化成一个等比数列来求解(见第二轮复习数列-)
3、解：解：()分析分析1:“作差法”是比较大小的基本方法，从已知条件看到，bn由an的平方根给出，故可用bn与 bn+1平方差的正负来比较bn 与bn+1的大小.证明证明1:分析分析2:均值不等式是证明不等式的基本工具.由证明证明1:()证明证明:()证明证明: （用数学归纳法证明）（i）当n=1时,0a11,a1lna1a1, 由函数f(x)在区间(0,1) 上是增函数,且f(x)在x=1处连续,则函数f(x)在区间(0,1 上是增函数, a2=f(a1)=a1-a1lna1a1(1-lna1),即a1a21.（）假设当 x=k,(kN*)时,akak+1成立,即0a1akak+11那么当n=
4、k+1时，由f(x)在区间(0,1是增函数, 0a1akak+11得ak+1ak+21,也就是说当n=k+1时,anan+11也成立.根据（）、（）可得对任意的正整数n, anan+11恒成立.()证明证明:评析评析:1.在()的证明中,要注意当0a1a2-lna20.2.在()的证明中,要注意第二步的由ak到ak+1递推的推理特点.3.在()的证明中,要注意“循环叠代方法循环叠代方法”的运用,也就是:4.在()的证明中,要注意“放缩变换放缩变换”的灵活运用. 如由三、小结三、小结1.证明与自然数n有关的命题时常选用“数学归纳法”；. “作差法”是证明不等式的首选方法；. “放缩法”是证明不等式的一种重要方法；. 具有递推关系的数列不等式，“循环叠代法”能使问题逐步达到明朗；. 研究透已知条件和待证目标，进行有目的的变形，是证题的关键中的关键；. 函数的单调性和相关性质是进行放缩变形的一大工具；. 不等式的性质在证题中要灵活运用。有时绝对值的性质在证题时也会起到重要作用（如例的第（）问）。四、作业四、作业六、结束六、结束
