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1、主要内容（主要内容（1.5学时）学时）一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理三、棣莫弗三、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理第二节第二节 中心极限定理（重点）中心极限定理（重点） 背景：背景： 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结
2、构等）综合影响的.每个每个随机随机因素的对因素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用都是很所起的作用都是很小的小的.那么那么弹着点服从怎样分布弹着点服从怎样分布 ？背景：背景： 客观实际中，许多随机现象服从或近似服从正态分布。客观实际中，许多随机现象服从或近似服从正态分布。中心极限定理指出，在适当的条件下，大量相互独立的中心极限定理指出，在适当的条件下，大量相互独立的随机变量随机变量（不服从正态分布）（不服从正态分布）之和近似服从正态分布。之和近似服从正态分布。 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不，故我们不研究研究n个随机变量之和本身而考虑它
3、的标准化的随机个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理设 为独立同分布随机变量序列，且则由大数定理，对于任意的0有 .大数定律并未给出 的表达式,但保证了其极限是1. 大数定律与中心极限定理的区别大数定律与中心极限定理的区别：大数定律与中心极限定理的区别大数定律与中心极限定理的区别：而在以上同一条件下，独立同分布的中心极限定理亦成立，这时，对于任意的0及某固定的n，有 由于 ，因此，在所
4、给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理的结论更为深入。小概率事件小概率事件, , 即实际中几乎不可能发生即实际中几乎不可能发生. .二、李雅普诺夫中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理当 , 但不服从同一分布时:), 2, 1( ,)(,)(,221LLL=kXDXEXXXkkkknsm有数学期望和方差：相互独立，它们具设随机变量注意注意 :三、棣莫弗三、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理例例. (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期间由在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常于需要检
5、修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 ,共进行共进行200次独立重复试验次
6、独立重复试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(1*XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N千瓦，千瓦，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台台工作所需电力即工作所需电力即N千瓦千瓦.）由中心极限定理由中心极限定理近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)这里这里 np=120, np(1-p)=48由由3准则，准则，此项为此项为0。从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也也就就是是说说, 应应供供应应142 千千瓦瓦电电力力就就能能以以99.9%的的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. 3.1,故故查正态分布函数表得查正态分布函数表得本节重点总结本节重点总结一、独立同分布的中心极限定理及其应用一、独立同分布的中心极限定理及其应用二、棣莫弗二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理及其应用拉普拉斯中心极限定理及其应用
