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1、7.5 分分 圆圆 多多 项项 式式7.5.1 复数域上的分圆多项式复数域上的分圆多项式 7.5.2 任意域上的分圆多项式任意域上的分圆多项式 7.5.1 复数域上的分圆多项式复数域上的分圆多项式定义定义. 在复数域中在复数域中n-1=0的解称为的解称为n次单位根次单位根。结论结论：一个复数是：一个复数是n次单位根次单位根,当且仅当它具有下当且仅当它具有下列形式：列形式： 证明：因任意复数可以表为证明：因任意复数可以表为 r r（coscos + +isinisin）其中其中r r是它的模，是它的模，是它的幅角，我们有是它的幅角，我们有 r r（coscos+ +isinisin） s s（c
2、oscos + + isin isin）= = rsrs coscos coscos - sin - sin sin sin +i +i（coscos sinsin + + sincos sincos） = = rsrs coscos（ + +） + + isin isin（ + +） 。据此，用数学归纳法易证：据此，用数学归纳法易证： r r(coscos+ +isinisin) n n= =r rn n(coscos n n+ +isinisin n n)此此数数的的模模是是r rn n，幅幅角角是是n n。因因为为复复数数1 1的的模模是是1 1，幅角是，幅角是2 2k k，k=0k=0
3、，1 1，2 2，所以，所以， r r（coscos + +isinisin）是是n n次单位根次单位根 iffr rn n=1 =1 且且 n n=2k=2k iffr=1r=1，且且= iff它具有下列形式：它具有下列形式： 故若命故若命 =则一个复数是则一个复数是n次单位根次单位根，当且仅当它，当且仅当它是是的整数次的整数次方方。由此可见，所有。由此可见，所有n次单位根在乘法下作成一个循次单位根在乘法下作成一个循环群，环群，是它的一个生成元素。是它的一个生成元素。 1，2，n-1为为n个个n次单位根次单位根：这这n个单位根的幅角都是个单位根的幅角都是 的整倍数；用平面上的的整倍数；用平面
4、上的点代表复数，把代表这点代表复数，把代表这n个单位根的点用线段联结起个单位根的点用线段联结起来便成为单位圆的一个内接正来便成为单位圆的一个内接正n边形。可见，边形。可见，这这n个个n次单位根都不同次单位根都不同。是是n次单位根，当然次单位根，当然n=1。所以所以的周期恰等于的周期恰等于n。 定理定理7.5.1. 复数域中恰有复数域中恰有n个个n次单位根。它次单位根。它们在乘法下作成一个们在乘法下作成一个n元循环群元循环群,= 是一个生成元素。是一个生成元素。这个这个n元循环群的生成元素称为元循环群的生成元素称为本原本原n次单位次单位根根，共有，共有 (n)个，假定它们是个，假定它们是1，2，
5、 (n)命命n()=(-1)(-2)(-（n）)n（）称为称为分圆多项式分圆多项式. .意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分成成n等份了。等份了。 分圆多项式例分圆多项式例ln=1时，生成元时，生成元= =1, (1)=1,故故 1()=(-1)。ln=2时，生成元时，生成元= = -1, (2)=1 ，故故 2()=(+1)。ln=3时，生成元时，生成元= = ， (3)=2 ，另一个生成元为：另一个生成元为： 2= ，故故3()=(-)(x-2)=2+ x + 1。l n=4时，生成元时，生成元= =i， (4)=2 ，另一个生成元为：另一个生成元为
6、：3=-i，故故 4()=(-)(x-3)= (x-i)(x+i)= x2 + 1分圆多项式的性质分圆多项式的性质 定理定理7.5.2 n-1 =证明：证明： 设设1， 2，n是所有是所有n次单位根，次单位根，于是于是n-1=(-1)(-2) (-n) .任取一个任取一个d n。(1)往证往证 | n-1。任任取取d()() 的的根根, ,则则是是一一个个本本原原d次次单单位位根根。于于是是,d=1,因因而而n=1,可可见见(x-)必必出出现现在在(-1)(-2) (-n)中中.可可见见,所所有有(d)个个本本原原d次次单单位位根根都都出出现现在在(-1)(-2) (-n)中中 。 因因 之之
7、 ，d()()n-1 。 若若d和和d不同不同,则则d()和和d()没有公共没有公共一次式。一次式。 因为，前者的根是本原因为，前者的根是本原d次单位根，次单位根，后者的根是本原后者的根是本原d次单位根，由此可见，次单位根，由此可见， n-1。 (2)往证往证 n-1 | 。任取任取n-1的根的根, ,设设的的周期为周期为d,dn,d,dn,因而因而是是本原本原d d次单位根。这就是说次单位根。这就是说, ,(-1)(-2) (-n) 中的任意一中的任意一次式必次式必出现在某个出现在某个d d（）之内，其中之内，其中dndn，所以所以n n-1| -1| 。 例因因为为x-1= =1(),所所
8、以以,1()= x-1。 因为因为x2-1 = =2()1()，所以，所以， 2()= x+1。因为因为x3-1 = =3()1()，所以，所以， 3()()=x2+x+1。 因因为为x4-1 = =4()2()1()，所以，所以， 4()()= x2 + 1。 分圆多项式的性质分圆多项式的性质定理定理7.5.3. n()是整系数多项式。证明：证明： 用数学归纳法。用数学归纳法。1()=-1是整系数多项式。是整系数多项式。假定已知假定已知kn时，时，k()是整系数多项式，是整系数多项式，试证试证n()亦然。因亦然。因n-1=n() ，由归纳法假定，此式右边每个由归纳法假定，此式右边每个d()(
9、)都是整都是整系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系数为数为1。所以是本原多项式，而。所以是本原多项式，而n-1是整系数是整系数多项式，故，多项式，故，n（）必为整系数多项式。必为整系数多项式。 例求12()。解：解：因为 12-1 = =1264321，6-1 = = 6321相除得6+1 = 124因之， 12()= = x4-x2+1。 7.5.2 任意域上的分圆多项式任意域上的分圆多项式F为任意域，设n不是特征的倍数，方程n-1 = 0在F中的根称为n次单位根 。若n不是特征的倍数，则n-1的微商nn-1不是多项式0，因而除0外没有另外的根，但
10、0显然不是n-1的根，所以，n-1及其微商没有公共根，因而方程n-1没有重根。若n是特征p的倍数，设n = kpm，其中k不是p的倍数，则 n-1 = 。 这时n-1的根即是k次单位根，且n-1的每个根都是pm重根。 例. 在R7=0，1，2，3，4，5，6上分别计算n次单位根，n=1，2，3，4，5，6。 x 0123456x2 0142241x3 0116166x4 0124421x5 0145236x6 0111111例例. R2=0，1上的4个矩阵： 0 = ，1 = , a = ， b = ，作成的集合F=0，1，a，b在矩阵加法、乘法下作成一个域。则在F上求4次单位根就是求方程x4
11、-1 = 0，即 的根。由分圆多项式的性质可求出 4()= x2+1= x2+ 。 定定理理7.5.4 设n不是F的特征的倍数,并设n()在F中有根。于是，F中恰有n个n次单位根，它们在乘法下作成一个n元循环群，其(n)个生成元素恰是n()的所有的根。证明：证明：设是n()在F中的任意根，往证的周期为n。设的周期k。由于n()n-1,是n-1的根,故n=1。因而的周期kn。反证。假定kn。因为k=1，所以应是k-1的根，但k-1 = ，乘积中没有n()。既是n()的根又是k-1的根，因而是n-1的重根，此不可能。 因之，1，2，n-1是n个不同的n次单位根，但n-1最多只能有n个根，所以F中恰
12、有n个n次单位根。所有n次单位根既然都是的若干方，所以在乘法下作成一个n元循环群，n()的任意根是此群的一个生成元素。今n元循环群只有(n)个生成元素，所以n()的根恰是所有的生成元素。 证毕。 此n元循环群的生成元素也叫本原n次单位根。 例例. 考察考察R5 = 0，1，2，3，4上的情形上的情形(1) 对x2-1 = 0，分圆多项式2（）= x+1。因为2（）在R5 中有根4，所以2个二次单位根全在R5 中，且4为其(2)=1个生成元，由它生成的1，4就是全部二次单位根。例例. 考察考察R5 = 0，1，2，3，4上的情形上的情形(2)对x3-1 = 0,分圆多项式3()= x2 + x
13、+1。3（）在R5 中无根，3个三次单位根不全在R5 中，在R5 中只有一个根1 x 01234x2 01441x2 +x+1 13231x3 01324例例. 扩展扩展R5 至至 R7 3()在R7 中有根2，4，所以3个三次单位根全在R7中，且2，4为其(3)=2个生成元，由它们任意一个可生成全部3个三次单位根：1，2，4x 0123456x2 0142241x2 +x+1 1306031x3 0116166例例. 考察考察R5 = 0，1，2，3，4上的情形上的情形对x4-1 =0,分圆多项式4()= x2 + 1。因为4()在R5 中有根2,3,所以4个四次单位根全在R5 中,且2，3为其(4)=2个生成元，由任意一个可生成全部4个四次单位根。 x 01234x2 01441x2+1 12002x4 01111
