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1、二、微分基本公式与运算法则二、微分基本公式与运算法则三、利用微分进行近似计算三、利用微分进行近似计算第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第三三章 科学出版社一、微分的概念一、微分的概念 微分从本质上说是函数增量中关于自变量增量的线性部分.函数 y=f (x) 在 x 存在有限导数时,成立有限增量公式这个公式表明函数的增量 可以表示为关于 的线性函数 （称为 的线性主部） 与 高阶的无穷小之和：因此当 较小时，有 科学出版社定义定义1. 在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数处的微分, 记作即在点可微, 称Ax为若函数通俗地讲，函数 y=f (x) 在任意点 x
2、的微分，称为函数的微分, 记作 即又因为对于y = x, 有dx=x 故我们写 dy=Adx科学出版社定理定理1. 函数证证:设在点 可微 ,则故在点 可导, 且在点 可微的充要条件是在点 导数有限“必要性” “充分性”若f 在点x0导数值有限, 则有有限增量公式即或科学出版社注注:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当科学出版社微分的几何意义当 很小时,从而因此导数又称为微商！切线纵坐标的增量于是有科学出版社二、微分基本公式与运算法则二、微分基本公式与运算法则根据即得以下（C是常数） 微分计算公式微分计算公式科学出版社微分运算法则微分运算法则设 u , v 均可微 , 则(C
3、 为常数)分别可微 ,的微分为一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数科学出版社例例1.求下列函数的微分： 解解:一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性科学出版社例例2. 求的导数.解解: 因为所以利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性科学出版社例例4.设求解解:例例3. 求对的导数.解解: 将看作微分的商, 可得科学出版社例例5. 设求 解解:例例6. 注意 利用一阶微分形式不变性 , 有在下列括号中填入适当的函数使等式成立:科学出版社三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时, 得近似等式:当比较靠近时, 可用上述公式作近似计算.科学出版社
4、特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明: 令得科学出版社的近似值 .解解: 设取则例例6. 求很小,科学出版社的近似值 .解解:例例7. 设取所以较小计算科学出版社例例8. 为了提高球面的光洁度,解解:镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 有一批半径为1cm 的球 ,已知球体体积为科学出版社微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,称为a 的绝对误差称为a 的相对误差若称为测量 A 的绝对误差限称为测量 A 的相对误差限科学出版社误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,科学出版社例例9. 设测得一圆形钢板的直径 根据测量 的面积误差.解解: S 的相对误差限约为工具的精度知道的绝对误差限为0.04mm, 圆的面积公式圆面积的绝对误差限是 试估计圆科学出版社
