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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-2 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入第五章第五章本章知识概述本章在数系扩充的基础上，引进了复数的概念及运算。本节共分两个小节，第一小节讲数系的扩充和复数的有关概念，介绍了数集从自然数集开始，扩充到复数集的过程，并说明了数系的每一次扩充，都解决了某些运算不能进行的矛盾讲复数概念时，说明人们在解实系数方程时，产生了扩充实数集的需要，从而引进虚数单位i，在此基础上，给出了复数的概念及表示形式并且详尽地讨论了复数的分类，又通过复数和复平面内的点一一对应，给出了复数的几何意义。第
2、二小节讲复数的运算，分别给出了复数的加法、减法运算法则，以及代数形式的乘法、除法运算法则复数产生以后，人们将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后又建立了以复数为变数的“复变函数”理论，这又是一个崭新而强有力的数学分支第五章第五章1数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入课堂典例探究课堂典例探究2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、表示方法以及复数相等的充要条件本节重点：1复数的概念与复数的代数形式2复数的几何意义3模的有关计算本节难点：1复数相等条件的应用
3、2对复数几何意义的理解.复数的概念 复数的分类 实数虚数纯虚数非纯虚数(a0) 两个复数abi与cdi相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记作abicdi，即abicdi当且仅当_.由此得到abi0a0，且b0.用复数相等的充要条件时要注意：(1)化为复数的标准形式zabi；(2)实部、虚部中的字母为实数，即a，bR.复数相等 ac，且bd复数与复平面内的点的一一对应 复数与向量的一一对应 原点为起点， 复数的模 点Z到原 点的距离|OZ|2复数能比较大小吗？两个实数可以比较大小，但两个复数中只要有一个为虚数，就不能比较大小，因为：若任意两个复数可以比较大小，如0与i，由复数相等的定义知0
4、i，则必有0i，这两种情况中有且只有一种成立若0i0ii201矛盾若0i(2)0i(2)(2)20(i)10矛盾，所以在复数集中如果不全是实数就不能比较大小注意：在复数集中如果不全是实数虽没有大小之分，但有等与不等之分3复平面的几个注意点：(1)直角坐标平面可表示复平面，形式上不做改变，要注意纵轴仍然是用y表示，不要认为是yi.(2)复平面内的点与复数的关系位置复数实轴上的点实数虚轴(原点除外)上的点纯虚数各象限的点非纯虚数1.已知复数z113i的实部与复数z21ai的虚部相等，则实数a等于()A3B3C1 D1答案C解析13i的实部为1，1ai的虚部为a，根据题中的条件，得a1.2a0是复数
5、abi(a，bR)为纯虚数的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案D解析当a0时，若b0，则abi为实数，若b0，则abi为纯虚数若abi为纯虚数，则a0，b0.故a0是复数abi(a，bR)为纯虚数的既不充分也不必要条件3下列说法正确的是()A在复平面上，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴B任何两个复数都不能比较大小C如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的D虚轴上的点都表示纯虚数答案A解析两个实数能比较大小，排除B，当a0时，ai是实数，排除C，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，排除D.故选A4复数za2b2(a|a|)i(a、bR)为纯虚数的
6、充要条件是()A|a|b| Ba0且ab Da0且ab答案D解析由已知得a2b20，且a|a|0. 下列命题中：若zabi，则仅当a0，b0时z为纯虚数；若(z1z2)2(z3z2)20，则z1z2z3；xyi1xy1；其中正确的命题个数是()A0B1C2D3复数概念的应用 解析根据复数的有关概念，判断命题真假没有强调a，bR这一非常重要的条件将此问题放到实数集中是成立的，若z1z2i，z2z31，也可满足此等式，但z1，z2，z3不一定相等错用了两个复数相等的条件答案A点评在理解概念时，一定要抓住概念的要害，比如：(1)当且仅当两复数的实部与虚部分别相等时，两个复数才相等；(2)复数zabi
7、(a，bR)是纯虚数的充要条件是a0且b0等下列命题中：若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR且ab，则aibi；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；两个虚数不能比较大小其中，正确命题的序号为()ABC D答案D分析 本题考查复数的分类概念解题的关键是运用复数有关分类概念的充分条件要注意纯虚数的充要条件是a0且b0.复数的分类 (1)若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值为()A1B1C1 D以上全不对答案A(2)设0,2，当_时，z1sini(cossin)是实数(3)若log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，则实数m的值为_答案4 已知(x2y)i6x(xy)i，求x和y(x，yR)的值复数相等 复数的几何意义 点评由复平面内适合某种条件点的集合来求其对应的复数集时，通常是由其对应关系，列出方程(组)或不等式(组)来解决 设z为纯虚数，且|z1|1i|，求复数z.复数的模 (2015江苏，3)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_点评不要误认为两个复数不能比较大小，而实质上是两个虚数或一实数和一虚数不能比较大小如果两个复数能比较大小，那么这两个数都是实数
