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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第二节第二节 泰勒公式泰勒公式 第三章第三章 （Taylor Formula）二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算8/2/20241返回返回上页上页下页下页目录目录一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立特点特点:以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?x 的一次多项式的一次多项
2、式8/2/20242返回返回上页上页下页下页目录目录并要求它的系数满足并要求它的系数满足:故故令令则则1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式8/2/20243返回返回上页上页下页下页目录目录令令(称为余项称为余项) , 则有则有2. 余项估计余项估计8/2/20244返回返回上页上页下页下页目录目录8/2/20245返回返回上页上页下页下页目录目录公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .阶的导数阶的导数 ,时时, 有有其中其中则当则当泰勒中值定理泰勒中值定理 :8/2/20246返回返回上页上页下页下页目
3、录目录8/2/20247返回返回上页上页下页下页目录目录公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .注意到注意到* 可以证明可以证明: 式成立式成立在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式可写为8/2/20248返回返回上页上页下页下页目录目录特例特例:(1) 当当 n = 0 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为即为即为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理8/2/20249返回返回上页上页下页下页目录目录特例特例:(2) 当当 n = 1 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为可见可见误差误差8/2/202410返回返回上页
4、上页下页下页目录目录称为称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式公式 .则有则有则有误差估计式则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取8/2/202411返回返回上页上页下页下页目录目录二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中8/2/202412返回返回上页上页下页下页目录目录其中8/2/202413返回返回上页上页下页下页目录目录类似可得其中8/2/202414返回返回上页上页下页下页目录目录其中8/2/202415返回返回上页上页下页下页目录目录已知其中类似可得8/2/202416
5、返回返回上页上页下页下页目录目录三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差M 为为在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.8/2/202417返回返回上页上页下页下页目录目录已知已知解解:令令 x = 1 , 得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算
6、可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 ,因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为例例1 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过8/2/202418返回返回上页上页下页下页目录目录计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.例例2 用近似公式用近似公式解解: 近似公式的误差近似公式的误差令令解得解得即当即当时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005 .8/2/202419返回返回上页上页下页下页目录目录例例3 证明证明证证:2. 利用泰勒公
7、式证明不等式利用泰勒公式证明不等式8/2/202420返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:3. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限8/2/202421返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:8/2/202422返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .8/2/202423返回返回上页上页下页下页目录目录3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 , 证明不等式证明不等式 等等.(2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , 2. 常用函数的麦克劳林
8、公式常用函数的麦克劳林公式8/2/202424返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习1. 计算计算解解:原式原式8/2/202427返回返回上页上页下页下页目录目录由题设对由题设对证证:有有2.且且8/2/202428返回返回上页上页下页下页目录目录下式减上式 , 得令8/2/202429返回返回上页上页下页下页目录目录两边同乘两边同乘 n != 整数整数 +假设假设 e 为有理数为有理数( p , q 为正整数为正整数) ,则当则当 时时, 等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾 !证证: 时时,当当故故 e 为无理数为无理数 .等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.3. 证明证明 e 为无理数为无理数 .8/2/202430
