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1、第六节 服务系统的优化问题n排队系统需要优化的依据和一般解法nM/M/1系统中服务率的优化nM/M/C系统中服务台数的优化一、服务系统需要优化的依据n提高服务水平可以减少顾客等待的成本，但同提高服务水平可以减少顾客等待的成本，但同时增加服务机构的成本；时增加服务机构的成本；n顾客等待成本高将意味着顾客的流失，同样会顾客等待成本高将意味着顾客的流失，同样会减少服务机构的收益；减少服务机构的收益；n服务机构与顾客等待的服务机构与顾客等待的合并费用存在最小点合并费用存在最小点；n服务水平可用平均服务率、服务台数以及系统服务水平可用平均服务率、服务台数以及系统容量来表示。容量来表示。服务系统的成本服务
2、系统优化分类与成本问题n排队系统优化的分类n优化设计静态优化，本章考虑该类优化问题；n最优控制动态优化。n排队系统的服务成本容易计算或估算，但顾客排队等待的损失比较复杂，而顾客流失给服务机构带来的损失则更是不容易估计的。服务系统优化的一般方法n可以优化合并成本，或优化系统的利润；n对于连续性的优化变量可采用分析法令导数等于零；n对于离散型的优化变量可采用边际分析法：最优点相对于它两边最邻近的整数点是最优的。二、M/M/1系统中服务率 的优化n优化该系统的合并成本优化该系统的合并成本(单位时间服务成本与顾客在系统逗单位时间服务成本与顾客在系统逗留费用之和留费用之和)合并成本从得最优服务率得最优服
3、务率 单位时间服务费用单位时间服务费用, 顾客在系统逗留单位时间费用顾客在系统逗留单位时间费用M/M/1系统服务率优化举例：例系统服务率优化举例：例9n设货船按设货船按Poisson流到达一港口，平均到达率流到达一港口，平均到达率为为50条条/天。已知船在港口停泊一天的费用为天。已知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均每条船的卸货费为货币单位，平均每条船的卸货费为2货币单位。货币单位。要求使总费用最少的平均服务率。要求使总费用最少的平均服务率。n解：已知解：已知例9的优化计算 n将已知数据代入上述公式得：此时的总费用为三三.M/M/1/N系统中服务率系统中服务率 的优化的优化纯利润纯利润
4、即即 应合于上式应合于上式. .上式中上式中C CS S,G,N, ,G,N, 都是给定的但要由上式中解出都是给定的但要由上式中解出 是是很困难的很困难的, ,通常是通过数值计算来求解通常是通过数值计算来求解 的的四四. M/M/1/ . M/M/1/ m /m 顾客源有限顾客源有限设共有设共有m台机器，运转时间服从负指数分布，台机器，运转时间服从负指数分布，1 1个修理工人，修理个修理工人，修理时间服从负指数分布时间服从负指数分布. .单位时间内修理单位时间内修理1 1台机器的费用；台机器的费用；G G单位时间每台机器运转可得收入单位时间每台机器运转可得收入. .平均运转台数为平均运转台数为
5、m m- -L LS S，则单位时间纯利润为，则单位时间纯利润为 令令求求一般很困难，利用普阿松分布表求得一般很困难，利用普阿松分布表求得. .五、五、M/M/C系统中最佳服务台数系统中最佳服务台数n优化的目标函数是平稳状态下单位时间合并费用的平均值。上式中，cs是每服务台单位时间的费用。由于优化参数是服务台数，是离散的，因此采用边际分析法。边际分析法求最佳服务台数n设C* 是最佳服务台数，则边际分析法的基本公式是具体地，也就是最佳服务台数应当满足的条件n进一步化简得因此得：最佳服务台数举例：例最佳服务台数举例：例10n某检验中心为各工厂服务，工厂到达服从某检验中心为各工厂服务，工厂到达服从P
6、oisson流，平均到达率为流，平均到达率为48次次/天；每次来检验造成停工天；每次来检验造成停工损失损失6元元/天；服务时间服从负指数分布，平均服务天；服务时间服从负指数分布，平均服务率为率为25次次/天人；每设置一个检验员的服务成本天人；每设置一个检验员的服务成本4元元/天。问应设几个检验员可使总费用的平均值最天。问应设几个检验员可使总费用的平均值最少？少？解：此是为解：此是为M/M/C等待制系统优化服务台数的问题，应等待制系统优化服务台数的问题，应用边际分析法。已知用边际分析法。已知设设检验员数为检验员数为C，则由则由边际分析函数边际分析函数其中其中优化结果n为保证1P00，从上述公式可看出应当有C=2。由于C p0 LS(C)L(C)-L(C+1)-L(C)-L(C-1)Z(C*)23450.02040.12440.108621.622.6682.061.95218.93-0.612-18.930.116-0.612154.9427.8728.3831.71例10的最小总费用n因此最优检验员数为因此最优检验员数为3个，此时总费用最小值为个，此时总费用最小值为z(3)=12+6*2.645=27.87(元元)。
