《复变函数与与积分变换：第五章 第2,3节 留数及应用new》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与与积分变换：第五章 第2,3节 留数及应用new（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.24.2 留数留数一一. . 留数定义及留数基本定理留数定义及留数基本定理 二二. . 留数的计算留数的计算三三. . 无穷远点的留数无穷远点的留数R一一. . 留数定义及留数基本定理留数定义及留数基本定理设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则存在则存在 R0,内内Laurent在在.使得使得f (z)在在内解析内解析.级数为级数为 其中其中C是圆环域内绕是圆环域内绕 z0 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 即即定义定义 函数函数 f (z)在孤立奇点在孤立奇点z0点的留数即是其在以点的留数即是其在以 z0为中心的圆环域内为中心的圆环域内Laurent级数级数-1次幂项的系数
2、次幂项的系数. f (z)在在z0点的点的留数留数(Residue)： 定理定理 (留数基本定理留数基本定理1) 设函数设函数f (z)在区域在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点外处处解析外处处解析, C是是D内内包含所有奇点在其内部的包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单闭分段光滑正向简单闭曲线曲线, 则则 根据留数基本定理根据留数基本定理1, 函数函数 f (z) 在闭曲线在闭曲线C上的上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题计算问题. 证明分别以证明分别以 为为 中心中心, 作半径充分小的正向圆周作半径充分小的正向圆周
3、.C1C2Cn使得它们中的每个使得它们中的每个都在其余的外部都在其余的外部, 而都在而都在C的内部的内部. 根据根据 , 再由留数的定义再由留数的定义, 即得即得二二. . 留数的计算留数的计算(1) 如果如果为为的可去奇点的可去奇点, 则则成成Laurent级数级数, 求求(2) 如果如果为为的本性奇点的本性奇点, 展开展开则需将则需将)(zf(3) 如果如果为为的极点的极点, 除将除将 在在 处展开处展开成成Laurent级数级数, 求求 外，外， 还可用如下的还可用如下的留数规则留数规则如果如果 为为 的的 级极点级极点, 取正整数取正整数 规则规则2 2证明证明 由于由于z0是是 f
4、(z)的的m级极点，所以在级极点，所以在z0的的 某个去心邻域内的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为级数展开式为 那么那么因此因此如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那么那么规则规则1 1对上式求对上式求阶导数阶导数, 得得 +(含有含有 正幂的项正幂的项),所以所以于是于是规则规则3 3设设及及在在都解析都解析. 如果如果那么那么为为f (z)的一级极点的一级极点, 并且并且证明证明 由条件易知由条件易知z0是是f (z)的一级极点的一级极点. 于是于是例例1. 求下列函数在孤立奇点处的留数求下列函数在孤立奇点处的留数(2) z=0是是 f(z)的一级极点，于是的一级极点，于是(
5、1)易知易知z=1和和z=2都是都是 f (z)的一级极点，故的一级极点，故 显然显然z= -1是是f (z)的的n级极点，所以级极点，所以 z=0是是f (z)的的3级极点级极点, 在在 规则规则2中取中取n=5, 则则 如果在规则如果在规则2中取中取n=3, 那么计算就要麻烦得多那么计算就要麻烦得多.例例2. 计算积分计算积分 其中其中C是是 的正向的正向. 的的1级极点，并且都在级极点，并且都在C的内部的内部. 所以所以 显然显然 是函数是函数由由留数基本定理留数基本定理1及及规则规则3得得极点极点z=3在在 的外部的外部. 分别是分别是f (z)的的3级和级和1级极点级极点, 都在都在
6、 的内部的内部. 而而 例例3. 计算算积分分其中其中C是是 的正向的正向. 记记 显然显然z=0和和z=1于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理1例例3. 求求 在在z=0处的留数，并求处的留数，并求 其中其中C是是 的正向的正向. 解解 易见易见z=0是函数是函数f (z)的本性奇点，并且的本性奇点，并且 因此因此于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理三三. .函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数定义定义 设设z= 是是f (z)的孤立奇点的孤立奇点, 即即 f (z) 在在z= 的去心邻域的去心邻域 内解析内解析, 称积分称积分 为为f (z)在在z= 的留数，并记做的留
7、数，并记做 其中其中 是圆环域是圆环域 内绕原点的任一简单闭曲线的内绕原点的任一简单闭曲线的负向负向(即顺时针方向即顺时针方向). 易见易见f (z)在在内内Laurent展开式展开式 项的系数项的系数定理定理(留数基本定理留数基本定理2)设函数设函数f (z)在扩充复平面内只在扩充复平面内只有有限个孤立奇点有有限个孤立奇点则则f (z)在所有孤在所有孤立奇点留数的总和等于零，即立奇点留数的总和等于零，即 证明证明设曲线设曲线C是绕原点且包含奇点是绕原点且包含奇点 的正向简单闭曲线，的正向简单闭曲线，根据留数定理，根据留数定理， 于是于是根据无穷远点的留数定义根据无穷远点的留数定义, 所以所以
8、下面介绍求无穷远点留数的方法下面介绍求无穷远点留数的方法. 规则规则4.4. 设设f (z)在在 内解析，则内解析，则 证明证明设设 f (z)在在R|z|0)例例3. 计算积分计算积分 解解 记记 则则 是是 R(z)在上半在上半平面内惟一的孤立奇点平面内惟一的孤立奇点, 且是且是1级极点级极点. 所以所以 先求先求所以所以例例4. 计算积分计算积分 解解记记 则则是是R(z)在上半平面的全体孤立奇点在上半平面的全体孤立奇点, 都是都是1级极点级极点. 所以所以其实部其实部(虚部为零虚部为零)就是所要求的积分，即就是所要求的积分，即留数留数计算方法计算方法可去奇点可去奇点孤立奇点孤立奇点极点
9、极点本性奇点本性奇点函数的零点与函数的零点与极点的关系极点的关系留数定理留数定理留数在定积分留数在定积分计算中的应用计算中的应用本章主要内容本章主要内容2. 留数的计算留数的计算4. 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用本章的重点本章的重点1. 孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类3. 留数基本定理及在复变函数积分中的应用留数基本定理及在复变函数积分中的应用Karl Weierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德国数学家德国数学家. 曾在波恩大学学曾在波恩大学学习法律习法律, 1838年转学数学年转学数学. 后来成后来成为中学教师为中学教师, 不仅教数学、物理不仅教数学、物理, 还教写作和体育还教写作和体育, 在这期间刻苦进行数学研究在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任年到柏林大学任教教, 1864年成为教授年成为教授.Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位是将严格的论证引入分析学的一位大师大师, 他发现了处处不可微的连续函数他发现了处处不可微的连续函数, 与其他一些与其他一些数学家一起共同结束了分析学的混乱局面数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.作业作业P100： 6(2, 3, 6); 8(1, 2) 9(1,3,6)
