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1、 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件生的事件 定定义义1.2 随随机机试试验验的的若若干干个个基基本本结结果果组组成成的的集集合合称称为为随随机机事事件件，事事件件，只只含含有有一一个个基基本本结结果果的的事事件件称称为为基本事件基本事件常用大字母常用大字母A,B,C,表示表示根据这两说法不难发现根据这两说法不难发现随机事件和样本空间的子随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！集有一一对应关系！1.2.1 随机事件随机事件1.2 随机事件及其概率随机事件及其概率第第1章章 概率论基础概率论基础它们分别可以对应了样本空间它们分别可以对应了样本
2、空间S=1,2,3,4,5,6S=1,2,3,4,5,6的子集的子集1,2,3,41,2,3,4和和2,4,62,4,6 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. .“点数不大于点数不大于4”,“4”,“点数为偶数点数为偶数” ” 等都为随机事件等都为随机事件. . 反过来，的每个子集都对应了该试验的一个反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随机事件随机事件1.2.1 随机事件随机事件关于随机事件概念的几点说明：关于随机事件概念的几点说明： (1) 任任一一事事件件A是是相相应应样样本本空空间间的的一一个个子子集集，基本事件就是只含有一个样本点的事件基本事件就是
3、只含有一个样本点的事件 (2) 当当子子集集A中中某某个个样样本本点点出出现现了了，就就说说事事件件A发发生生了了，或或者者说说事事件件A发发生生当当且且仅仅当当A中中某某个个样样本本点出现了点出现了 (3) 样样本本空空间间 包包含含所所有有的的样样本本点点，作作为为自自身身的的子子集集，在在每每次次试试验验中中它它总总是是发发生生的的，称称为为必必然然事事件件空空集集不不包包含含任任何何样样本本点点，它它作作为为样样本本空空间间的的子子集，在每次试验中都不发生，称为集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件不可能事件1.2.1 随机事件随机事件【例例1-2】掷掷一一颗颗骰骰子子的的样样本本空
4、空间间为为： = 1,2,3,4,5,6 事事件件A =“出出现现5点点”，它它是是一一个个基基本本事事件件，可可记为记为A =5； 事件事件B =“出现奇数点出现奇数点”，可记为，可记为B = 1,3,5；事事件件C =“出出现现的的点点数数不不大大于于6”，是是必必然然事事件件,可记为可记为C = 事事件件D =“出出现现的的点点数数大大于于6”，是是不不可可能能事事件件,可记为可记为D = 1.2.1 随机事件随机事件1.2.2 1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算1事件间的关系事件间的关系 (1) 子事件子事件 如如果果属属于于事事件件A的的样样本本点点也也属属于于事事件件
5、B，则则称称A为为B的的子子事事件件，记记为为A B其其概概率率含含义义是是：A发发生生B必发生必发生(2) 事件相等事件相等 如如果果事事件件A与与事事件件B满满足足：A B且且B A，则则称称A与与B相相等等，记记为为A = B其其概概率率含含义义是是：A，B中有一个发生另一个也必发生中有一个发生另一个也必发生1.2 随机事件及其概率随机事件及其概率 (3) 互不相容互不相容 如如果果事事件件A和和B没没有有相相同同的的样样本本点点，则则称称A与与B互互不不相相容容（或或互互斥斥）其其概概率率含含义义是是：A，B不不同同时发生时发生 实实例例 抛抛掷掷一一枚枚硬硬币币, “出出现现正正面面
6、” 与与 “出出现现反反面面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算2事件运算事件运算 1) 事件事件A与与B的的和和 事事件件A与与B的的和和事事件件定定义义为为：由由至至少少属属于于A，B之之一一的的样样本本点点全全体体组组成成的的集集合合，记记为为AB，其其概概率含义是：率含义是：A，B至少有一个发生至少有一个发生 实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定, 若若C=“产品不合格产品不合格”, B=“长度不合格长度不合格”与与A=“直径不合格直径不合格”,
7、 则则 C= AB. 图示事件图示事件 A 与与 B 的和的和 BA1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算 2) 事件事件A与与B的的积积 事事件件A与与B的的积积事事件件定定义义为为：由由既既属属于于A又又属属于于B的的样样本本点点组组成成的的集集合合，记记为为AB或或AB其其概概率率含含义是：事件义是：事件A与与B同时发生同时发生 事事件件A与与B互互不不相相容容当当且且仅仅当当其其积积事事件件为为不不可可能能事件，即事件，即AB = 1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. AB
8、AB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,设设“产品合格产品合格” ，“长度合格长度合格”，“直径合格直径合格”1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算3) 事件事件 A 与与 B 的差的差 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B.图示图示 A 与与 B 的差的差. AB AB实例实例 设设 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” ， “长度合格长度合格”， “直径合格直径合格”.1.2.2
9、 事件间的关系及运算事件间的关系及运算4) 对立事件对立事件 由由在在 中中而而不不在在A中中的的样样本本点点组组成成的的集集合合称称为为A的的对对立立事事件件（逆逆事事件件）记记为为 其其概概率率含含义义是是：A不不发生显然，发生显然， 实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. B若若 A 与与 B对立对立,则有则有A对立对立1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA、B 对立（互逆）对立（互逆）A、B 互斥互斥(互不相容互不相容)互斥互斥对立对立1.2.2 事
10、件间的关系及运算事件间的关系及运算3事件运算满足的定律事件运算满足的定律 事事件件的的运运算算性性质质和和集集合合的的运运算算性性质质相相同同，设设A,B,C为事件，则有为事件，则有 交换律交换律：AB =BA , AB = BA 结合律结合律：(AB)C=A(BC), (AB)C= A(BC) 分配律分配律： 对偶律对偶律： 1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算【补充例【补充例 】设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事试将下列事件用件用A,B,C 表示出来表示出来. .A( )( )(1) (1) A 发生，且发生，且 B 与与 C 至少有一个发生；至少
11、有一个发生； (2) (2) A 与与 B 发生，而发生，而 C 不不发生；发生； (3) (3) A , B, C 中恰有一个发生；中恰有一个发生； (4) (4) A , B, C 中至少有两个发生；中至少有两个发生； (5) (5) A , B, C 中至多有两个发生；中至多有两个发生； (6) (6) A , B, C 中不多于一个发生中不多于一个发生. . BC A BABC 不发生；不发生； 1.2.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算课堂练习课堂练习填空填空以以表表示示事事件件“甲甲产产品品畅畅销销，乙乙产产品品滞滞销销”其其对立事件为对立事件为）“甲滞销，乙畅销甲滞销，乙畅
12、销”） “ “甲乙均畅销甲乙均畅销”） “ “甲滞销甲滞销”）“甲滞销或乙畅销甲滞销或乙畅销”1.2 随机事件及其概率随机事件及其概率解解设设“甲畅销甲畅销”，“乙畅销乙畅销”则则故故的的对对立立事事件件为为），即即“甲甲滞滞销销或或乙乙畅畅销销”1.2 随机事件及其概率随机事件及其概率1.2.3 1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质 所所谓谓随随机机事事件件的的概概率率，概概括括地地说说就就是是用用来来描描述述随随机机事事件件发发生生的的可可能能性性大大小小的的数数量量指指标标，它它是是概概率率论中最基本的概念之一论中最基本的概念之一1.2 随机事件及其概率随机事件及其概率1频率与概
13、率的统计定义频率与概率的统计定义首先看频率的概念首先看频率的概念: 定定义义1.3 设设E为为任任一一随随机机试试验验，A为为其其中中任任一一事事件件，在在相相同同条条件件下下，把把E独独立立的的重重复复做做n次次，nA表表示示事事件件A在在这这n次次试试验验中中发发生生的的次次数数（称称为为频频数数）比比值值fn(A) = nA / n称称为为事事件件A在在这这n次次试试验验中中发发生的生的频率频率频率有如下性质：频率有如下性质： (1) 对于任一事件对于任一事件A，有，有0 fn(A) 1； (2) 对于必然事件对于必然事件 ，有，有fn( ) = 1； (3) 对于互不相容的事件对于互不
14、相容的事件A，B，有，有fn(AB) = fn(A) + fn(B)1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小波动最小随随n的增大的增
15、大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质试验者试验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005历史上一些概率统计学家的试验：历史上一些概率统计学家的试验：1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质从上述数据可得从上述数据可得(2) 抛抛硬硬币币次次数数 n 较较小小时时, 频频率率 f 的的随随机机波波动动幅幅度度较较大大, 但但随随 n 的的增增大大 , 频频率率 f呈呈现现出出稳稳定定性性.即即当当 n 逐逐渐渐增增大大时时频频率率 R总总是
16、是在在 0.5 附附近近摆摆动动, 且且逐逐渐渐稳定于稳定于.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的f不不一定相同一定相同;1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质概率的统计定义概率的统计定义定定义义1.4 设设有有随随机机试试验验E，若若当当试试验验的的次次数数n充充分分大大时时，事事件件A发发生生的的频频率率fn(A)稳稳定定在在某某数数p附附近近波波动动，则则称称数数p为为事事件件A的的概概率率，记记为为：P(A) = p 概概率率的的统统计计定定义义只只是是描描述述性性的的，一一般般不不能能用用来计算事件的概率来计算事件的概率1.
17、2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质 根根据据频频率率和和概概率率的的关关系系以以及及理理论论研研究究的的需需要要，受受频频率率性性质质的的启启发发, ,19331933年年, ,苏苏联联数数学学家家柯柯尔尔莫莫哥哥洛洛夫夫提提出出了了概概率率论论的的公公理理化化结结构构, ,给给出出了了概概率率的的严严格格定定义义, ,使概率论有了迅速的发展使概率论有了迅速的发展. .Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,RussiaDied: 20 Oct. 1987 in Moscow, RussiaAndrey NikolaevichKolmo
18、gorov1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质2.概率的公理化定义与性质概率的公理化定义与性质定定义义1.5 设设 是是一一随随机机试试验验的的样样本本空空间间，对对于于该该随随机机试试验验的的每每一一个个事事件件A赋赋予予一一个个实实数数，记记为为P(A)，称称为为事事件件A的的概概率率，如如果果集集合合函函数数P( )满满足足下列公理：下列公理： (1) 非负性：对于每一个事件非负性：对于每一个事件A，有，有P(A) 0； (2) 规范性：对于必然事件规范性：对于必然事件 ，有，有P( ) = 1； (3) 可可列列可可加加性性：设设A1,A2,是是两两两两互互不不相相容容的的事事
19、件件，即即对对于于i j，AiAj = ，i，j = 1，2，则则有有 (1.1)1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质 概概率率的的公公理理化化定定义义使使概概率率论论成成为为一一门门严严格格的的演演绎绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位科学，取得了与其他数学学科同等的地位 在在公公理理化化的的基基础础上上，现现代代概概率率论论不不仅仅在在理理论论上上取取得得了了一一系系列列的的突突破破，也也在在应应用用上上取取得得了了巨巨大大的的成成就就 利利用用概概率率的的公公理理化化定定义义，可可以以导导出出概概率率的的一一些些性性质质1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质证明证明由概率
20、的可列可加性得由概率的可列可加性得概率的性质概率的性质1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质证明证明1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质证明证明1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质性质对任意两个事件性质对任意两个事件A，B，有，有P(A B) = P(A) P(AB) 证证：因为：因为A B = A AB，且，且AB A， 所以由性质所以由性质4得得1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质 性质性质6（加法公式加法公式）对于任意两事件）对于任意两
21、事件A，B有有P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)证证：因因AB = A(B AB)， 且且A(B AB) = ，故由性质，故由性质2及性质及性质5得得 1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质【例例1.4】设设事事件件A，B的的概概率率分分别别为为1/3，1/2在在下下列二种情况下分别求列二种情况下分别求 的值：的值： (1) A与与B互不相容互不相容； (2) A B； 解解：(1) 由性质由性质5， = P(BA) =P(B) P(AB)，因为因为 AB = ， 所以所以= P(B) P(AB) =P(B) =1/2(2) 因为因为A B，由性质，由性质4，有有 =P(B A) =P(B) P(A) = 1/2 1/3=1/61.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质解解【补充例】【补充例】1.2.3 事件的概率及性质事件的概率及性质 作业作业 P26: 3, 4 P28: 2, 4
