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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩
2、子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味
3、道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人
4、生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅复习合情推理复习复习: :合情推理合情推理归纳推理归纳推理 从从特殊特殊到到一般一般类比推理类比推理 从从特殊特殊到到特殊特殊从具体问从具体问题出发题出发观察、分析观察、分析比较、联想比较、联想提出猜想提出猜想归纳归纳类比类比 演绎推理解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例例2.已知已知lg2=m,计算计算lg0.8解解 （1） lgan=nlga(a0)lg8=lg23lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)lg0
5、.8=lg(8/10)lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论例例3.3.如图如图; ;在锐角三角形在锐角三角形ABCABC中中,AD,ADBC, BEBC, BEAC,AC, D,E D,E是垂足是垂足, ,求证求证ABAB的中点的中点M M到到D,ED,E的距离相等的距离相等. .A AD DE EC CM MB B 直角的三角形是直角三角形直角的三角形是直角三角形, ,在在ABCABC中中,ADBC,ADBC,即即ADB=90ADB=900 0所以所以ABDABD是直角三角形是直角三角形同理同理ABEABE是直角三角形是直
6、角三角形(2)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, ,M M是是RtRtABDABD斜边斜边ABAB的中点的中点,DM,DM是斜边上的中线是斜边上的中线所以所以 DM= AB DM= AB同理同理 EM= AB EM= AB所以所以 DM = EM DM = EM大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论证明证明: : 演绎推理（练习）练习练习1 1：把下列推理恢复成完全的三段论：把下列推理恢复成完全的三段论: : 演绎推理（练习）练习练习2. 2. 指出下列推理中的错误指出下列推理中的错误, ,并分析产生错误的原因并分
7、析产生错误的原因; ;(1)(1)整数是自然数整数是自然数, ,-3-3是整数是整数, ,-3-3是自然数是自然数; ;(2)(2)无理数是无限小数无理数是无限小数, ,是无限小数是无限小数, ,是无理数是无理数. .大大前前提提 错错误误练习练习3:3:证明函数证明函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在(-(-,1,1上是增函数上是增函数. .满足对于任意满足对于任意x x1 1,x,x2 2D,D,若若x x1 1xx2 2, ,有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )成立的函数成立的函数f(x),f(x),是区间是区间D D上的增函数上的增函数. .任取任取x
8、x1 1,x,x2 2 (-(-,1,1 且且x x1 1xx2 , 2 , f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(-x)=(-x1 12 2+2x+2x1 1)-(x)-(x2 22 2+2x+2x2 2) ) =(x =(x2 2-x-x1 1)(x)(x1 1+x+x2 2-2) -2) 因为因为x x1 1x0 0 因为因为x x1 1,x,x2 21 1所以所以x x1 1+x+x2 2-20 -20 因此因此f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以函数所以函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+
9、2x在在(-(-,1,1上是增函数上是增函数. .大前提大前提小前提小前提结论结论证明证明: :在证明过程中注明三段论在证明过程中注明三段论演绎推理具有如下特点演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完结论完全蕴涵于前提之中。全蕴涵于前提之中。(2)在演绎推理中在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联前提与结论之间存在必然的联系系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数那么结论也必定是正
10、确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。学中严格证明的工具。(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。作用，有助于科学的理论化和系统化。推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊特殊到到一般一般）类比类比（特殊特殊到到特殊特殊）三段论三段论（一般一般到到特殊特殊）合情推理与演绎推理的区别:1 特点特点 归纳是由特殊到一般的推理; 类比是由特殊到特殊的推理; 演绎推理是由一般到特殊的 推理.2 从推理的结论来看从推理的结论来看：
11、合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.2 2 数学结论、证明数学结论、证明思路的发现思路的发现, ,主要主要靠合情推理靠合情推理. .1 1 演绎推理是证明数学结论、建立数演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要学体系的重要思维过程思维过程. .合情推理与演绎推理的相关说明：浙江省地图 每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色. 1852年，英国人弗南西斯格思里为地图着色时，发现了四色猜想. 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明. 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.观察观察下列等
12、式下列等式 6 = 3 + 3 8 = 3 + 510= 3 + 712= 5 + 7归纳出归纳出一个规律：一个规律：偶数偶数= =奇质数奇质数+ +奇质数奇质数 通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.大胆猜想:陈氏定理陈氏定理16 = 5+1118 = 7+1120 = 7+1322 = 5+17 半个世纪之后，欧拉发现：猜想：后来人们发现都是合数.观察分析观察分析发现规律发现规律大胆猜想大胆猜想检验猜想检验猜想归纳推理的归纳推理的一般步骤一般步骤哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题1818世纪在哥尼斯堡城世纪在哥尼斯堡城( (今俄罗斯加里宁格勒今俄罗斯加里宁格勒) )的普莱格尔河上的普莱
13、格尔河上有有7 7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1 1所示。所示。 城中的城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍遍7 7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。小岛小岛半岛半岛应用归纳推理可以应用归纳推理可以发现新事实发现新事实, ,获得新结论获得新结论! ! 春秋时代鲁国的春秋时代鲁国的鲁班鲁班，木匠业的祖，木匠业的祖师。一次去林中砍树被一株师。一次去
14、林中砍树被一株齿形的茅草齿形的茅草割破了割破了手。这件事给了他启发，从而发明了手。这件事给了他启发，从而发明了锯子锯子. .情景创设探究：探究：鲁班从鲁班从茅草割破手茅草割破手这件事得到启这件事得到启发，而发明了发，而发明了锯子锯子。他当时的思。他当时的思维过程是不是维过程是不是归纳推理归纳推理？ 相似点相似点: :功能功能 （前提）（前提） 形状形状 ( (猜想的结论猜想的结论) )能割破手能割破手能割断木头能割断木头齿形齿形齿形齿形茅茅 草草锯锯 子子 类似类似与鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这与鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的。样得到的。鱼类鱼类潜水艇潜水艇蜻蜓蜻蜓直
15、升机直升机形状，沉浮原理形状，沉浮原理外形，飞行原理外形，飞行原理 仿生学仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。到的。可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的
16、变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球火星火星火星火星与与与与地球地球地球地球类比类比类比类比的思维过程：的思维过程：的思维过程：的思维过程：火星火星地球地球存在类似特征存在类似特征存在类似特征存在类似特征地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可
17、能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在类比推理的过程（步骤）类比推理的过程（步骤）类比推理的过程（步骤）类比推理的过程（步骤）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论根据根据两个（或两类）对象之间在某些方面两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或的相似或相同，推演出它们相同，推演出它们在其他方面也相似或相同在其他方面也相似或相同，像这，像这样的推理通常称为样的推理通常称为类比推理类比推理，简称类比法，简称类比法简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理类比具有类比具有发现发现的功能的功能构建数学：你能得到你能得
18、到类比推理的一般模式类比推理的一般模式吗？吗？类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）构建数学：几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象数数 向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集或，且，非运算或，且，非运算. . .试
19、将试将平面平面上的圆与上的圆与空间空间的球进行类比的球进行类比.例例2、试将、试将平面上的圆平面上的圆与与空间的球空间的球进行类比进行类比.解：圆与球在它们的的解：圆与球在它们的的生成生成、形状形状、定义定义等等方面都具有相似的属性方面都具有相似的属性. 据此，圆与球的相据此，圆与球的相关元素之间可建立如下的对应关系：关元素之间可建立如下的对应关系：圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质.如下表：如下表：. . .圆圆的性的性质质 球的性质球的性质球心球心与不过球心的截面与不过
20、球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与与球心球心距离相等的两截面面积相等距离相等的两截面面积相等与与球心球心距离不相等的两截面面积不距离不相等的两截面面积不相等相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2球的体积球的体积球的表面积球的表面积在在形状上和概念形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性上，
21、都有类似的地方，即具有完美的对称性都是都是到定点的距离等于定长的点的集合。到定点的距离等于定长的点的集合。与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦圆的面积圆的面积圆的周长圆的周长 直角直角三角形三角形3个面两两垂直的个面两两
22、垂直的四面体四面体4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中试给出空间中四面体性质的猜想四面体性质的猜想类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。赖于平面几何中的类比问题。 -波利亚波利亚3个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF903个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S C901、进行、进行类比推理类比推理的的步骤步骤： (1)找出两类对象之间可以确切表述的找
23、出两类对象之间可以确切表述的相似特征相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个特征，从而得出一个猜想猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论 总结提高总结提高特点特点 ：4 4、由于类比推理的前提是两类对象之间具有某、由于类比推理的前提是两类对
24、象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以类比推理的些可以清楚定义的类似特征，所以类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似类似特征。特征。1、类比推理是由、类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理。的推理。2、类类比比推推理理是是从从人人们们已已经经掌掌握握了了的的事事物物的的特特征征，推推测测正正在在被被研研究究中中的的事事物物的的特特征征，所所以以类比推理的类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠结果具有猜测性，不一定可靠。3、类类比比推推理理以以旧旧的的知知识识作作基基础础，推推测测新新的的结结果，具有果，具有发现发现的功能。的功能。类比推理的基类
25、比推理的基类比推理的基类比推理的基础础础础类比推理的含类比推理的含类比推理的含类比推理的含义义义义以以以以旧旧旧旧的知识为基础的知识为基础的知识为基础的知识为基础类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意 由由由由特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理的推理的推理 推测推测推测推测新新新新的结果，具有的结果，具有的结果，具有的结果，具有发现的功能发现的功能发现的功能发现的功能类比推理的功能类比推理的功能类比推理的功能类比推理的功能 归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、特殊到特殊到特殊到特殊到一般一般一般一般的推理的
26、推理的推理的推理; ;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础, ,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论; ;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立 类比推理类比推理类比推理类比推理由由由由特殊到特殊到特殊到特殊到特殊特殊特殊特殊的推理的推理的推理的推理; ;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础, ,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论; ;具有发现的功能具有发现的功能具有发现的功能具有发现的功能; ;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立提出提出提出提出猜想猜想猜想猜想观察分析观察分析观察分析观察分析比较联想比较联想比较联想比较联想归纳归纳归纳归纳类比类比类比类比从具体问从具体问从具体问从具体问题出发题出发题出发题出发
