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1、欧拉欧拉 (1707 1783)瑞士数学家瑞士数学家. 他写了他写了大量数学经典大量数学经典著作著作, 如如无穷小分析引论无穷小分析引论 , 微微 还还写了大量力学写了大量力学, 几何学几何学, 变分法教材变分法教材. 他在工作期间几乎他在工作期间几乎每年每年都完成都完成 800 页创造性的论文页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支要分支 (如无穷级数如无穷级数, 微分方程微分方程) 与微分几何的产生和与微分几何的产生和发展奠定了基础发展奠定了基础.分学原理分学原理 , 积分学原理积分学原理等等, 为分析学的重为分析学的重在在数学的许多分支
2、中都有以他的名数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数字命名的重要常数, 公式和定理公式和定理. 目录 上页 下页 结束 8/2/20241 目录 上页 下页 结束 幂级数的应用十分广泛，例如可用于近似计算，表示幂级数的应用十分广泛，例如可用于近似计算，表示非初等函数，解微分方程等。前面我们看到，幂级数的非初等函数，解微分方程等。前面我们看到，幂级数的一般项形式简单，便于进行微分、积分运算，将函数写一般项形式简单，便于进行微分、积分运算，将函数写成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。第五节第五节 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 第十一章
3、第十一章 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式本节介绍：本节介绍：8/2/20242一、近似计算一、近似计算( ( 仅讲例仅讲例1,3,5)1,3,5)例例1. 计算计算的近似值的近似值, 精确到精确到解解: 目录 上页 下页 结束 8/2/20243例例3. 利用利用求求误差误差. 解解: 先把角度化为弧度先把角度化为弧度(弧度弧度)误差不超过误差不超过 的近似值的近似值 , 并估计并估计 目录 上页 下页 结束 8/2/20244例例5. 计算积分计算积分的近似值的近似值, 精确到精确到解解: 由于由于故所给积分不是广义积分故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在若定义被积函
4、数在 x = 0 处的值为处的值为 1, 则它在积分区间则它在积分区间上连续上连续, 且有幂级数展开式且有幂级数展开式 : 目录 上页 下页 结束 8/2/20245二、欧拉二、欧拉(Euler)公公式式则称则称 收敛收敛 , 且其和且其和为为绝对收敛绝对收敛收敛收敛 .若若收敛收敛,若若对复数项级数对复数项级数绝对收敛绝对收敛则称则称 绝对收敛绝对收敛. 由于由于, 故知故知 目录 上页 下页 结束 8/2/20246定义定义: 复变量复变量的指数函数为的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛易证它在整个复平面上绝对收敛 .当当 y = 0 时时, 它与实指数函数它与实指数函数当当 x =
5、0 时时,的幂级数展式一致的幂级数展式一致. 目录 上页 下页 结束 8/2/20247（欧拉公式）（欧拉公式）（也称欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得利用欧拉公式可得复数的指数形式复数的指数形式则则 目录 上页 下页 结束 8/2/20248据此可得据此可得(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法利用幂级数的乘法, 不难验证不难验证特别有特别有 目录 上页 下页 结束 8/2/20249一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章 第七节第七节 傅里叶级数傅里叶
6、级数 目录 上页 下页 结束 8/2/202410一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单简单的周期运动的周期运动 :(谐波函数谐波函数)( A为为振幅振幅, 复杂复杂的周期运动的周期运动 :令令得函数项级数得函数项级数 为为角频率角频率, 为为初相初相 )(谐波迭加谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数. 目录 上页 下页 结束 8/2/202411证证:同理可证同理可证 :正交正交 ,上的积分等于上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在 目录 上页 下页 结束 定理定理 1.1. 三角级数的函数系三
7、角级数的函数系8/2/202412上的积分不等于上的积分不等于 0 . 且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 结束 8/2/202413二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有证证: 由定理条件由定理条件,对对在在逐项积分逐项积分, 得得 目录 上页 下页 结束 8/2/202414( (利用正交性利用正交性) )类似地类似地, 用用 sin k x 乘乘 式两边式两边, 再逐项积
8、分可得再逐项积分可得 目录 上页 下页 结束 8/2/202415叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式由公式 确定的确定的以以的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数称为函数 目录 上页 下页 结束 8/2/202416定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限
9、个极值点, 则则 f (x) 的的傅傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且且有有 x 为间断点为间断点其中其中( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多. 目录 上页 下页 结束 8/2/202417例例1. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 目录 上页 下页 结束 8/2/202418 目录 上
10、页 下页 结束 8/2/2024191) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时, ,级数收敛于级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近说明说明:f (x) 的情况见右图的情况见右图. 目录 上页 下页 结束 8/2/202420例例2.上的表达式为上的表达式为将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 目录 上页 下页 结束 8/2/202421说明说明: 当当时时, 级数收敛于级数收敛于 目录 上页 下页 结束 8/2/202422周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开上的傅上的傅里里叶
11、级数叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开的傅氏级数展开法法其它其它 目录 上页 下页 结束 8/2/202423例例3. 将函数将函数级数级数 .则则解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶2 为为周期周期的函数的函数 F(x) , 目录 上页 下页 结束 8/2/202424利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得说明说明: 目录 上页 下页 结束 8/2/202425设设已知已知又又 目录 上页 下页 结束 8/2/202426三、正弦级数和余弦级数三、正
12、弦级数和余弦级数1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为对周期为 2 的的奇函数奇函数 f (x) , 其傅里叶其傅里叶级数级数为为周期为周期为2 的的偶函数偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级余弦级数数 ,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为 目录 上页 下页 结束 8/2/202427例例4. 设设的的表达式为表达式为 f (x)x ,将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级叶级数数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在解解: 若不计若不计周期为周期为 2
13、的奇函数的奇函数, 因此因此 目录 上页 下页 结束 8/2/202428n1根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f (x) 的的正弦级数正弦级数:级数的部分和级数的部分和 n2n3n4逼近逼近 f (x) 的情况见右图的情况见右图.n5 目录 上页 下页 结束 8/2/202429例例5. 将周期函数将周期函数展成傅里叶级数展成傅里叶级数, 其其中中E 为正常数为正常数 .解解:是周期为是周期为2 的的周期偶函数周期偶函数 , 因此因此 目录 上页 下页 结束 8/2/2024302. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级上的函数展成正弦级数与余弦级数数周期延拓周期延拓 F (x) f (x
14、) 在在 0 , 上展上展成成周期延拓周期延拓 F (x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0 , 上展上展成成 目录 上页 下页 结束 8/2/202431例例6. 将函数将函数分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先先求正弦级数求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延作奇周期延拓拓, 目录 上页 下页 结束 8/2/202432注意注意:在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 , 与与给定函数给定函数因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 目录 上页 下页 结
15、束 8/2/202433再求余弦级数再求余弦级数.将将则有则有作偶周期延拓作偶周期延拓 , 目录 上页 下页 结束 8/2/202434说明说明: 令令 x = 0 可得可得即即 目录 上页 下页 结束 8/2/202435内容小结内容小结1. 周期为周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中其中注意注意: 若若为间断点为间断点,则级数收敛于则级数收敛于 目录 上页 下页 结束 8/2/2024362. 周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数3. 在在 0 , 上函数的傅里叶
16、展开法上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓作奇周期延拓 , 展开为正弦级数展开为正弦级数 作偶周期延拓作偶周期延拓 , 展开为余弦级数展开为余弦级数1. 在在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习8/2/202437处收敛于处收敛于2.则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在在在处收敛于处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为 , 目录 上页 下页 结束 8/2/202438备用题备用题 1.叶
17、级数展式为叶级数展式为则其中系则其中系提示提示:利用利用“偶倍奇偶倍奇零零”(93 考研考研)的的傅里傅里 目录 上页 下页 结束 8/2/2024392. 设设是是以以 2 为周期的函数为周期的函数 ,其傅氏系数为其傅氏系数为则则的傅氏系数的傅氏系数提示提示:令令 目录 上页 下页 结束 8/2/202440傅里叶傅里叶 (1768 1830)法国数学家法国数学家. 他的他的著作著作热的解析热的解析 理论理论(1822) 是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分三角积分, 他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅
18、里叶积分里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献文献, 他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响都产生了深远的影响. 目录 上页 下页 结束 8/2/202441狄利克雷狄利克雷 (18 05 1859)德国数学家德国数学家. 对对数论数论, 数学分析和数学分析和数学物理有突出的贡献数学物理有突出的贡献, 是解析数论是解析数论 他是他是最早提倡严格化最早提倡严格化方法的数学家方法的数学家.函数函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质举例说明条件收敛级数不具有这样的性质. 他的他的主要主要的创始人之一的创始人之一, 并并论文都收在论文都收在狄利克雷论文集狄利克雷论文集 (1889一一1897)中中. 1829年他得到了给定年他得到了给定证明证明 目录 上页 下页 结束 8/2/202442
