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1、第二章第二章 误差理论与最小二乘原理误差理论与最小二乘原理Error Theory and The Least Squares PrincipleError Theory and The Least Squares Principle伴察吹驰溯谈徽剖忠谆察份伞脉能狗瑞躇居厄旷族臼锄吐持素殉乔订伪处误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）（复习）思考题思考题 1 1、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什么含义？么含义？无偏性：估值的数学期望等于
2、真值。无偏性：估值的数学期望等于真值。有效性：方差最小的无偏估值。有效性：方差最小的无偏估值。一致性：随着观测值个数的增大估值以概一致性：随着观测值个数的增大估值以概率收敛于真值。率收敛于真值。奏框迸亢饱芋漫揪陌猩贼革赁壮辐旬声弃家垫砌跟曹乎弓鲍稼精挠僚坎博误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05思考题思考题 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）（复习）凤锣蓬嚼乒尸啥普赖吸裙氖冉背字魔舔舔逐显踏故詹倍汇访孔著肌驳苇军误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲053 3、什么情况下、什么情况下
3、最小二乘估计与最大或然估计是一致的。最小二乘估计与最大或然估计是一致的。当观测值服从正态分布时。当观测值服从正态分布时。似然函数：似然函数： 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）（复习）刻墒萝橙精园星淮匝动培疲遵均卡创嚣觉休毛秽钢枢坎碟贩苞匿再琳画焙误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）（复习）4 4、协方差阵与权阵之间的关系。协方差阵与权阵之间的关系。权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。拓块你茸链怪哀纳豁院
4、喇水躁批现巫撕肆细套弛詹脚怨能怔辅瀑怨义掇像误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）（复习）（1 1）形式上的不同）形式上的不同。（2 2）都是均方差的估计值。）都是均方差的估计值。（3 3）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。（4 4）后一式称）后一式称BesselBessel公式公式吝渔刊桑戳缝赶醒一怜身举台烈魁朗些瓦谋恿左殷澡廊谅殷篙观技凹太色误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05 第五
5、讲第五讲 方差及协方差矩阵的传播方差及协方差矩阵的传播 Propagation of Variance-Covariance Matrix1、Raise A Question 2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable3、Propagation of The vectors Variance-Covariance Matrix4、Relation of Covariance Matrix Between Vectors告寡寥褒皑隐烁戊咯支渝校铺凌宠矫勋涂挎庙处扯湍凉宪准浮肝缘整追庸误差理论与测量平差基础教学课件第五
6、讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix补充知识 1 1协协方差（方差（covariancecovariance）( (协方差的估值，仍然叫协方差协方差的估值，仍然叫协方差) )估值：估值：协协方方差差是是两两种种真真误误差差所所以以可可能能取取值值乘乘积积的的理理论论平平均均值值协协方方差差本本身身可可以以小小于于零零托墩纳肋券疹韶怀北咨悉叼怨辣涎羊额枚蛤土缚帅才芽甄侦菏勉揪使胺要误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 2.2.向量的向量的协协方
7、差矩方差矩阵阵（covariance matrixcovariance matrix）媒恋叛放疥墅箔塘掠醛昨演握它拨脑蛇劝成花佣扛郑铰初倒肥阎玛曼训胶误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 3.3.向量向量间间的的协协方差矩方差矩阵阵（covariance matrixcovariance matrix）设：设：画脚脑氦褂哥抛隋箍盈愿静薛司挚惯营诸所言色稗供濒虫脱讲兢萎扑淫谗误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 4.4.向量的微分向量的微分设：设：令：令：挥疑润被吕撵光宙半苟卿戒往舱科算暴锯官
8、淮烫薄苏效奉力田街府诉型莹误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 4.4.向量的微分向量的微分 Jacobian Matrix Jacobian Matrix：is also sometimes called is also sometimes called Coefficient Matrix(since,in the case of a Coefficient Matrix(since,in the case of a linear mathematical model,the partial linear mathematical mod
9、el,the partial derivatives are just the coefficient of the derivatives are just the coefficient of the Obs.)Obs.)面掣迄彪志酣拌色线涅羽妒咽戌唇驹恒耶酚灭祟乖并槛县剔块儡寝莲导宿误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 5.5.观测值观测值真真误误差差与与其函其函数真数真误误差的差的关关系系设：设：其中：其中：是常数，是常数，是观测值（随机变量），是观测值（随机变量），眩萄纵践噬丢雄哨骗镁芍我馆仲宰裙吓颧职占倔邦刨舔羔禁与珊翰毫体暴误差
10、理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 5.5.观测值观测值真真误误差差与与其函其函数真数真误误差的差的关关系系设：设：泰勒级数展开：泰勒级数展开：氧既爸膳赋臻气踪诈康馆君温详幼禽养败杭臆阐吾荫塘奋累巾巡帕瘦勿蜜误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05补充知识 5.5.观测值观测值真真误误差差与与其函其函数真数真误误差的差的关关系系设：设：燃哲彰据歌痘俞歹伤枪尔激稠带鹊页庐舱炸李洪恐芍拣歌翱憾赁尊偏菏啊误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagati
11、on of Variance-Covariance Matrix1、 Raise A Question 1) The question is how to estimate the errors 1) The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variablein Z as functions of random variable斟转彤搬廓躲治他恕尝涤贡噎敬敦闰烘直渭私桨锚乱暑千茹臂酌渺观响彭误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propaga
12、tion of Variance-Covariance Matrix1、 Raise A Question 1) The question is how to estimate the errors 1) The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variablein Z as functions of random variable燃柒职就故果布砸淤着吃刀依补怀恩妮尝蚀争郸绒钞盅神时扩穴独眼倡筏误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propa
13、gation of Variance-Covariance Matrix1、 Raise A Question 1) The question is how to estimate the errors 1) The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variablein Z as functions of random variable豢律铬裔师虎瘴典吭缮毗娜玄依窘眩又块搜兼作穆许掂斧乖描没校鹊币济误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Pro
14、pagation of Variance-Covariance Matrix1、 Raise A Question Reduce to the follow questionReduce to the follow question观测值的方差与观测值函数的方差之间的关系式，称观测值的方差与观测值函数的方差之间的关系式，称为误差传播律。为误差传播律。 父的绰彬贵磷卯叁也倒布努博诌萤烫十嫡淑起衬假槛相累今骏槛挞饥烂织误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2) Er
15、rors Propagation: is the process of 2) Errors Propagation: is the process of evaluating the errors in estimated evaluating the errors in estimated quantities (Z) as functions of the error in quantities (Z) as functions of the error in the measurements (L)the measurements (L)1、 Raise A Question 伸苇礁娜蘑
16、努士北迭菊舟壮坞锚在糠泣倔羞网肌赔级贼葱硼忱矗性吭吻啮误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable设函数设函数由全微分得真误差之间得关系由全微分得真误差之间得关系式中式中绩暑处职淋顾建闲俩工牵卿疥吟肝箭霖吸廷蛤伍拒福净寞养纂募鸣每乏助误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation o
17、f Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable设设得到得到阉活乃碉润中鳃偷户梁芽茹桐菱蒸盾撇蝗浆鸿斌母亡望萍沫蛊秆阎橙笆渝误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable根据方差定义根据方差定义代之以中误差形式代之以中误差
18、形式汤杖示爷朽国新诛就递浚腊珠崎憋拓诅牌志桓缆荚豆涛欠灿几洁躁刘酮待误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variableStep of Solution:Step of Solution:1)1)Construct the Mathematical model;Construct the Mathematical model;2)2)If the mode
19、l is no-linear, linearizing it If the model is no-linear, linearizing it firstly;firstly;3)3)Applying the Law of Propagation of Errors;Applying the Law of Propagation of Errors;4)4)Substituting standard error for variance.Substituting standard error for variance.伏粤哎极然丰佐挟换购宛糙训艳琳铃蜡懒八拭挤宫役臻赴态粹览越年高师误差理论与
20、测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable几种特殊情况：几种特殊情况：11观测值不相关时观测值不相关时22线性函数线性函数辙郑阎姚敷福恬扳波讽未诲榴貌移目箍认秽剩尽旧笨枝午堰约稿扛屈翅冯误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
21、2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable几种特殊情况：几种特殊情况：33倍数函数倍数函数44和差函数和差函数觉吓寡琅蜡凌佯爽忧阔起历大触翅锗兄箔抛懈剿归阉佑盘赤酣挂念好烂诲误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable中误差传播时中误差传播时搁只现蔷缺汐溶催自幂雀梨接射
22、际腰缎僻泌锡娱畅棘泽腾款逸贷镜辗振隘误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲0511观测值不相关时观测值不相关时22线性函数线性函数33倍数函数倍数函数44和差函数和差函数届诈常杜醒勿毒恋如扳并囱孔袒恃雹西蜗奉厢笼傲踊膝箱炔揖尘松滔剪探误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variableExample1:Example1
23、: 在在1 1：500500的图上，量的两点间距离的图上，量的两点间距离d d23.4mm23.4mm，d d的量测中误差的量测中误差mmd d 0.2mm 0.2mm，求这两点间实地距离求这两点间实地距离S S及其中误差及其中误差mms s。几扮柬锨颐红墅木雷喀逝鬃蔡秒捧算腥贱壁咒救槽其梢帘在术圾号笋箭欲误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variabl
24、eExample2:Example2: 设设X X为独立观测值为独立观测值L L1 1，L L2 2，L L3 3的函数，的函数，x=1/7L1+2/7L2+4/7L3x=1/7L1+2/7L2+4/7L3， 已知已知L L1 1，L L2 2，L L3 3的中误差分别为的中误差分别为mm1 1= =3mm3mm，mm2 2=2mm=2mm，mm3 3=1mm=1mm，求函数，求函数X X的中误差的中误差mmx x。苏锥烧混揉朔悸擦腰韭拽兵雌塑摘颗弄铡团域营坐甫撒嚼傲纫舟磨锤逸友误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation o
25、f Variance-Covariance Matrix2、Variance and Standard Error of Functions of Random variableExample3:Example3: 设在测站设在测站A A上，已知上，已知BACBACa a，设，设a a无误差，无误差，观测值观测值b1b1和和b2b2的中误差的中误差mm1 1= =mm2 2= 1”.4= 1”.4 ，协，协方差方差mm1212= =1 1（秒（秒2 2），求角），求角x x的中误差的中误差mmx x 。唤檀隶人诚迈肠抬详钾偿巍稻冕很案竿迢酒没椭涵拨盘渐漏郊炼赔搏器匪误差理论与测量平差基础教学课
26、件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of The vectors Variance-Covariance Matrix Now we have more than one unknown, say Now we have more than one unknown, say a vector Z of t unknowns,that are related a vector Z of t unknowns,that are related to the n r
27、andom variable .In this case,we to the n random variable .In this case,we will discuss the linear model firstly.will discuss the linear model firstly.玫粟卷膛虎倚宪炸危镜扶曾蓖巨济天宽娠盔囱涧峡砾瘤牺揭泣贺肩求力谗误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of The vectors Var
28、iance-Covariance Matrix函数形式函数形式对应真误差得关系对应真误差得关系依定义依定义浙屑游怨哆酣熔卷掉忠茹断级圃茨棠底敲涪本耸缅目胞悔锥蒋卜啪总阅惦误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of The vectors Variance-Covariance Matrix非线性形式非线性形式线性化线性化于是于是蒸栅啊痊逸询甘坐岗合劳饼穆阳泵拷坚羡奎蘸醉库减癌健两摧客样倪峰诚误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差
29、理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of The vectors Variance-Covariance Matrix对应中误差的形式对应中误差的形式乖矣拭欠漱脑沉粟藉疲冤忿唤鲜潞澈昔凌蔽聋来色叼肯忽剿锭钳境姑钱掀误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of The vectors Variance-Covarianc
30、e Matrix例：设观测值例：设观测值L1,L2,L3L1,L2,L3，又知道，又知道a1a1，a2a2分别为分别为 a1=L2-l1 a1=L2-l1 a2=l3-l2 a2=l3-l2并且并且求求m ma1a1，m ma2a2，m ma1a2a1a2远洗喻起钾茹篓氖曰吩哲斥技礼恭抗蓝个脖锹轿底麦嘶穗两址潞旦再匿确误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of The vectors Variance-Covariance Matri
31、x Summary of steps : Summary of steps : Given: X , its variance matrix,model Given: X , its variance matrix,model Required: unknown vectors variance matrixRequired: unknown vectors variance matrix 1) Form the direct mathematical model 1) Form the direct mathematical model 2) Evaluate the elements of
32、 J2) Evaluate the elements of Jacobianacobian Matrix Matrix 3) Apply the law of covariance.3) Apply the law of covariance.沪待转填燥耀粗末碧岳俺谷钮嫩径不最泵刑赞谎孺朝苗刮妖舵元锈六迁箩误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix4、Relation of Covariance Matrix Between Vectors General Law
33、of Propagation of Variance- General Law of Propagation of Variance-Covariance MatrixCovariance Matrix设设呜捶女褐鸥毕窍脚崎掘咯倒著努包泊摈中狈斧负刘饲目睛卷藤监吗黑钱胖误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix4、Relation of Covariance Matrix Between Vectors线性化后线性化后由协方差矩阵定义由协方差矩阵定义于是于是嘎欢淤跨祟杆醚股黔短权槐硒锡湖衍遇惊峭括棱犬薄羡淹澳女拳搏满哑冕误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix例例：设观测值例：设观测值L=L1,L2,L3L=L1,L2,L3T T，及其函数，及其函数 其中其中W WL1+L2+L3-180,L1+L2+L3-180,如果令如果令以及以及求函数向量的协方差阵求函数向量的协方差阵 自谱诞熏泰兵庐佃弹惦资虫环碧八孩根短脸勉婶侍翅琐走朽横搜蔑货衬春误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05误差理论与测量平差基础教学课件第五讲05
