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1、第五、六章习题课第五、六章习题课1.设设A=a, b, 为半群，且为半群，且a*a=b. 证明证明：(1)a*b=b*a; (2) b*b=b. 2. 设G=|a,b为实数，数，a 0, 定定义*=. 证明：明：是群。是群。3. 设是一个是一个满足消去律的有限独异点，足消去律的有限独异点，证明：明：是一个群。是一个群。思考题思考题4. 设f和和g都是群都是群到到的同的同态映射，令映射，令 G1=x|x G, f(x)=g(x)证明：明：是是的子群。的子群。5.设是独异点，是独异点，对 a G,有有a*a=e. 证明：明： 是交是交换群。群。 6. 设是是的子群，的子群，G中关系中关系R定定义为
2、aRba*b-1 H，证明明R为等价关系。等价关系。思考题思考题 b也为也为幺元，幺元，思考题思考题思考题思考题1 1设设A=a, b, 为半群，且为半群，且a*a=b. 证明证明：(1)a*b=b*a; (2) b*b=b. 证：证：(1)(2)a*(a*a)=(a*a)*a =b*a,a*b=假假设b*b=a, 则则a*(a*b)=(a*a)*b=b*b =ab*(a*b)=(b*a)*b=a*a=b=(a*b)*b=a*(b*b)又由又由可交换知，可交换知，所以所以可交换。可交换。a*b为幺元，且幺元，且a*b=a或或b.设设a*b=a,则则a为幺元，为幺元， 由由a*a=b知，知，从而
3、从而a=b, 这与这与a b矛盾。矛盾。 a也为也为幺元，幺元，设设a*b=b,则则b为幺元，为幺元， 由由b*b=a知，知，从而从而a=b, 这与这与a b矛盾。矛盾。所以假所以假设不成立，即不成立，即b*b=b.思考题思考题思考题思考题2 2设G=|a,b为实数，数，a 0, 定定义*=. 证明：明：是群。是群。证：证： (1) , G, 有有a,b,c,d R且且a 0,c 0.从而从而ac,ad+b R且且ac 0.即即 G.所以运算所以运算*封封闭。(2) , G, 有有(*)*=*=而而*(*)=*=从而从而(*)*= *(*),所以运算所以运算*满足足结合律。合律。思考题思考题思
4、考题思考题2 2设G=|a,b为实数，数，a 0, 定定义*=. 证明：明：是群。是群。证（续）：证（续）：(3) G, 由由 G,且且*=*知知为G的幺元。的幺元。(4) G, 有有 G, 且且*=*所以所以为的逆元。的逆元。思考题思考题思考题思考题3 3设是一个是一个满足消去律的有限独异点，足消去律的有限独异点，证明：明：是一个群。是一个群。证：证： x G, 由运算由运算*的封的封闭性可知，性可知，因因为是一个是一个满足消去律的有限独异点，足消去律的有限独异点，x2=x*x G, x3= x*x2 G, 因因G是一个有限集合，所以存在整数是一个有限集合，所以存在整数 ji, 使使xi=x
5、j 即即xi=xi*xj-i.由消去律知，由消去律知， xj-i=e(1).a)若若j-i1, b)若若j-i=1, 则由式则由式(1)得得x*x j-i-1=e, 故故x的逆元为的逆元为x j-i-1 G;则由式则由式(1)得得x =e , 故故x的逆元为的逆元为x S.所以所以是一个群是一个群. 因因为f和和g都都是同是同态映射，映射， 设群群和和的幺元分的幺元分别是是e和和e1,则有有思考题思考题思考题思考题4 4设f和和g都是群都是群到到的同的同态映射，映射，令令G1=x|x G, f(x)=g(x)证明：明：是是的子群。的子群。 证：证： 显见，G1 G.f(e)=g(e)=e1即即
6、e G1,所以所以G1. a,b G1, 有有f(a)=g(a), f(b)=g(b),所以有所以有f(b-1)= f(b)-1, g(b-1)= g(b)-1.由由f(b)= g(b)可得，可得，f(b-1)=g(b-1). 从而有从而有f(a*b-1)=故故a*b-1 G1. 所以所以是是的子群。的子群。f(a) f(b-1)=g(a) g(b-1)= g(a*b-1)思考题思考题思考题思考题5 5设是独异点，是独异点，对 a G,有有a*a=e. 证明：明： 是交是交换群。群。 证：证： 因因为是独异点，是独异点，对 a G,有有a*a=e. 即即a以自身以自身为逆元，逆元， 故故是群。
7、是群。又因又因为 a,b G,有有b*a G,从而从而(b*a)* (b*a)=e故故a*b=所以所以是交是交换群。群。 (b*b)*a*b*(a*a)= b*(b*a)*(b*a)*a= b*e*a= b*a思考题思考题思考题思考题6 6设是是的子群，的子群，G中关系中关系R定定义为aRba*b-1 H，证明明R为等价关系。等价关系。 证：证：因为因为是是的子群，所以的子群，所以(1) a G, 有有所以所以R是自反的。是自反的。即即aRa.a*a-1=e H,(2) a,b G, 若若aRb,则则a*b-1 H, 从而从而(a*b-1)-1 H,b*a-1=即即bRa.所以所以R是是对称的。称的。(3) a,b,c G, 若若aRb, bRc,则则a*b-1 H, b*c-1 H,从而从而(a*b-1)*( b*c-1) Ha*(b-1*b)*c-1=a*c-1=即即aRc.所以所以R是是传递的。的。综上，上，R是是G中的一个等价关系。中的一个等价关系。
