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1、第八章 理想流体的无旋和有旋流动IIII第七章 理想流体的无旋流动和有旋流动l理想流体运动基本方程组l理想流体基本方程的定解条件及其积分l理想流体的有旋流动l有势流动速度势和流函数l几种简单的不可压缩流体的平面流动及其叠加l平行流绕过圆柱体的平面流动第一大部分理想流体运动基本方程组第一节微分形式的连续方程第二节流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动第三节理想流体的运动微分方程第四节 欧拉积分式和伯努利积分式第一节微分形式的连续方程l单位时间内ABCD面流入ABCDEFGH第一节微分形式的连续方程l单位时间内EFGH面流出ABCDEFGH第一节微分形式的连续方程l单位时间内x方向净质量流量ABCD
2、EFGH第一节微分形式的连续方程l同理：单位时间内y方向净质量流量lz方向：因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为: : 微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为： l单位时间内控制体内密度变化引起的质量变化量为：第一节微分形式的连续方程l由质量守恒：即：控制体内流体质量的增长率即：控制体内流体质量的增长率 通过界面流出控制体的质量流量通过界面流出控制体的质量流量0微分形式的连续方程微分形式的连续方程第一节微分形式的连续方程引入哈密顿算子引入哈密顿算子l连续方程：第一节微分形式的
3、连续方程用欧拉法分析流体运动时:当地导数当地导数迁移导数迁移导数展开并整理，得：展开并整理，得：第一节微分形式的连续方程l散度： 微分形式的连续方程适用于微分形式的连续方程适用于所有流体所有流体（粘性、理（粘性、理想），想），所有流态所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。（层、紊、亚音速、超音速等）。第一节微分形式的连续方程l对定常流动：l对不可压缩流体定常流动：l对不可压缩流体二维定常流动： 已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度 在在在在 ， 两个轴方向的分量为两个轴方向的分量为两个轴方向的分量为两个轴方向的分量为 ， 。且在。且在
4、。且在。且在 处，有处，有处，有处，有 。试求。试求。试求。试求 轴方向的速度分量轴方向的速度分量轴方向的速度分量轴方向的速度分量 。 【解】对不可压缩流体连续性方程为：【解】对不可压缩流体连续性方程为：【解】对不可压缩流体连续性方程为：【解】对不可压缩流体连续性方程为：将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有 又由已知条件对任何又由已知条件对任何又由已知条件对任何又由已知条件对任何 ， ，当，当，当，当 时，时，时，时， 。故有。故有。故有。故有 第二节流体微团运动的分解刚体的运动速度刚体任意参考点的平移速度刚体任意参考点的平移速度绕参考点的旋
5、转速度绕参考点的旋转速度流体任一质点速度质点上任意参考点的平移速度质点上任意参考点的平移速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度绕通过该点的瞬时轴旋转速度变形速度变形速度第二节流体微团运动的分解l流体微团的运动流体微团的运动平移平移转动转动变形运动变形运动第二节流体微团运动的分解ABCDEFGH第二节流体微团运动的分解第二节流体微团运动的分解移动移动线变形运动线变形运动角变形运动角变形运动旋转运动旋转运动第二节流体微团运动的分解l移动移动移动速度：移动速度：第二节流体微团运动的分解l线变形线变形速度：线变形速度：每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度
6、第二节流体微团运动的分解l角变形角变形速度的定义为角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量每秒内一个直角的角度变化量。记为：记为：第二节流体微团运动的分解l角变形 通过形心互相垂直的两条中心线直角夹角的通过形心互相垂直的两条中心线直角夹角的减小减小量量（即变化量）为（即变化量）为 ，于是得流体微，于是得流体微团在垂直于团在垂直于z轴的平面上的轴的平面上的角变形速度角变形速度分量分量流体微团角变形速流体微团角变形速度之半的三个分量度之半的三个分量第二节流体微团运动的分解l旋转运动 流体微团的旋转角速度的定义为流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋
7、转角度的平均值。轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。第二节流体微团运动的分解流体微团沿z轴的旋转角速度分量流体微团旋转角流体微团旋转角速度的三个分量速度的三个分量第二节流体微团运动的分解l把以上结果代入F点的速度公式 由此证明，在一般情况下流体微团的运动可分解为由此证明，在一般情况下流体微团的运动可分解为三部分：三部分：随流体微团中某一点一起前进的平移运动；随流体微团中某一点一起前进的平移运动；绕这一点的旋转运动；绕这一点的旋转运动；变形运动（包括线变形和变形运动（包括线变形和角变形）。角变形）。第二节有旋运动与无旋运动l流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动；l流体微团的旋转
8、角速度等于零的流动称为无旋流动。即即:第二节有旋运动与无旋运动l注意:有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发是否发生旋转生旋转来决定，而与流体微团本身的来决定，而与流体微团本身的运动轨迹运动轨迹无关无关。旋转角速度是一个空间三维矢量旋转角速度是一个空间三维矢量举例：举例：1.三个液体旋转的例子三个液体旋转的例子2.三个气体旋转的例子三个气体旋转的例子左图每个网格节点上的左图每个网格节点上的速度方向、大小都知道，速度方向、大小都知道，如何评价该截面旋转流如何评价该截面旋转流动。动。两种方法两种方法第三节 理想流体的运动微分方程在x方向：ABCDEFGH第三节
9、理想流体的运动微分方程在x方向：理想流体的欧拉理想流体的欧拉运动微分方程组运动微分方程组矢量形式：矢量形式：第三节 理想流体的运动微分方程l方程式左边展开：第三节 理想流体的运动微分方程l欧拉方程对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的。l当 时欧拉运动微分方程成为欧拉平衡微分方程。理想流体的运动微分方程的另一种形式此方程组称为此方程组称为兰姆（兰姆（H HLambLamb）运动微分方程）运动微分方程特点是把有旋流动凸现出来，无旋流动就大简化特点是把有旋流动凸现出来，无旋流动就大简化写成矢量形式写成矢量形式 （8-12a） 如果流体是在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则：如果流体是在有势的质
10、量力作用下，流场是正压性的，则： 此时存在一压强函数此时存在一压强函数: : （8-188-18） 将压强函数对坐标的偏导数有将压强函数对坐标的偏导数有: : 将上述关系代入式（将上述关系代入式（8-168-16），得），得: : （8-198-19） 写成矢量形关系式写成矢量形关系式 （8-208-20） 理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系l正压流体 如果流体的密度仅与压强有关，即如果流体的密度仅与压强有关，即= =(p) ，则这种流场
11、称为则这种流场称为正压性正压性的，流体称为的，流体称为正压流体。正压流体。这这时存在着一个压强函数时存在着一个压强函数pF(x,y,z,t)l常见的正压流体1）等温（）等温（TT1）流动中的可压缩流体）流动中的可压缩流体;2）绝热流动中的可压缩流体）绝热流动中的可压缩流体;对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，定解条件l方程组的封闭问题（能不能有唯一解）连续方程连续方程 1个个运动方程运动方程 3个个4个个未知量未知量5个个还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，对于密度仅是压强的函数的流体对于密度仅是压强的函数
12、的流体定解条件l方程组的定解条件（结果符合实际吗？）定解条件初始条件边界条件定解条件一、初始条件 初始条件是指在起始瞬时初始条件是指在起始瞬时t0所给定的流场中所给定的流场中每一点的流动参数。每一点的流动参数。 也就是说，求得的解在也就是说，求得的解在t0时所应分别满足的时所应分别满足的预先给定的坐标函数。预先给定的坐标函数。定常流动不需要给定初始条件。定常流动不需要给定初始条件。定解条件二、边界条件 边界条件是指任一瞬时运动流体所占边界条件是指任一瞬时运动流体所占空间的边界上必须满足的条件。空间的边界上必须满足的条件。 边界条件边界条件运动学条件：边界上速度运动学条件：边界上速度动力学条件：
13、边界上的力（压强）动力学条件：边界上的力（压强）定解条件l运动学条件，例如：固体壁面 流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零。即：应等于零。即：若固壁是静止的若固壁是静止的在两种不同流体交界面上在两种不同流体交界面上定解条件l动力学条件 流体在不同流体交界面或固体壁面上的动流体在不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件为：外界流体或壁面作用在流体上的力学条件为：外界流体或壁面作用在流体上的压强压强Pamb与位于交界面或壁面上该处流体质点与位于交界面或壁面上该处流体质点
14、的压强的压强P的绝对值必然相等。的绝对值必然相等。第四节 欧拉积分式和伯努利积分式l关于理想流体欧拉运动微分方程的积分，目前仅对几种特殊的流动可以进行，最常见的有定常无旋流动的欧拉积分和定常流动的伯努利积分。第四节 欧拉积分式和伯努利积分式l积分的前提条件：1.流动是定常的流动是定常的2.作用在流体上的质量力是有势的作用在流体上的质量力是有势的3.流体不可压缩流体不可压缩或为正压流体或为正压流体第四节 欧拉积分式和伯努利积分式l在以上三个前提条件下,兰姆运动微分方程可简化为:第四节 欧拉积分式和伯努利积分式一、欧拉积分在在无旋无旋流动中流动中欧拉积分式第四节 欧拉积分式和伯努利积分式 对于非粘
15、性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能、和动能的总和保持不变，而这三种机械能可以互相转换。第四节 欧拉积分式和伯努利积分式二、伯努利积分：对对有旋有旋流动，流动，沿某条流线沿某条流线求积分求积分第四节 欧拉积分式和伯努利积分式代入方程组，相加并积分，得： 由于是定常流动，流场中的流线和迹线重由于是定常流动，流场中的流线和迹线重合，因此合，因此dx、dy、dz就是在就是在dt时间内流体微团时间内流体微团的位移的位移dsvdt在三个轴向的分量。在三个轴向的分量。 对于对于非粘性的不可压缩流体非粘性的不可压缩流体和和可压缩的正压流体可压缩的正压流体，在在有势的质量力有势的质量力作用下作作用下作定常有旋定常有旋流动时，流动时，沿同一流线沿同一流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持常数值，而这三种机械能可以互相转换。的总和保持常数值，而这三种机械能可以互相转换。第四节 欧拉积分式和伯努利积分式三、伯努利方程质量力仅仅是重力质量力仅仅是重力不可压缩流体不可压缩流体不可压流体、与外界无不可压流体、与外界无热量交换伯努利方程热量交换伯努利方程（p71：3-43）
