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1、第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化第六章第六章 矩阵相似对角矩阵相似对角Part 1 特征值与特征向量特征值与特征向量Part 2 相似矩阵与矩阵的相似对角化相似矩阵与矩阵的相似对角化Part 3 向量空间的正交性向量空间的正交性Part 4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化方阵的特方阵的特征值和征值和特征向量特征向量第四章第四章第四章第四章 n n维
2、向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化一一一一. . . . 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 A = n阶方阵阶方阵 非零非零向量向量 特征值特征值 特征向量特征向量 对应对应 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.1 若一个三阶方阵若一个三阶方阵A的每行元素之和为的每行元素之和为b, 试试 求求矩阵矩阵A的一个特征向量，并求与之相应的特征值。的一个特征向量，并求与
3、之相应的特征值。分析分析 从而，从而， =(1,1,1)T为矩阵A的一个特征向量，b为与特征向量为与特征向量 相应的特征值。相应的特征值。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化说明说明同一特征值的特征向量不唯一同一特征值的特征向量不唯一.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化A = ( I A) = 0 | I A| = 0 特征方程特征方程 | I A| = a11 a12 a1n a21 a2
4、2 a2n an1 an2 ann 特征多项式特征多项式记作记作f( ) 特征值特征值 特征向量特征向量 非零向量非零向量 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化亦即特征方程的根为特征值。亦即特征方程的根为特征值。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定理定理
5、6.1 设设A是是n阶矩阵阶矩阵(1) 0 为为A的一个特征值当且仅当的一个特征值当且仅当 0 是是A的的特征多项式特征多项式 | I- -A|的一个根；即的一个根；即(2) 为为A 的属于特征值的属于特征值 0 的一个特征向量的一个特征向量当且仅当当且仅当 是是齐次线性方程组齐次线性方程组( 0 I- -A)x=0的一个非零解。的一个非零解。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.2 解解二、特二、特征值和特征向量的求法征值和特征向量的求法第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向
6、量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化初等行变换初等行变换第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化初等行变换初等行变换注：表述特征向量时一定要分别对应相应的特征值表述注：表述特征向量时一定要分别对应相应的特征值表述.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.3求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量. 解解第四章第四章第四章第四章 n n维向
7、量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化初等行变换初等行变换第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化得基础解系为：得基础解系为：初等行初等行变换变换第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化注：实矩阵未必有实的特征值，如k重特征值未必有k个线性无关的特征向量。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩
8、阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.4 设设A为为n阶矩阵，试证齐次线性方程组阶矩阵，试证齐次线性方程组Ax=0有有 非零解的充分必要条件是非零解的充分必要条件是A有零特征值有零特征值.证证: 设设Ax=0有非零解，有非零解， 故故 A =0，从而，从而 0IA =0， 即即0是是A的特征值。的特征值。 反之反之，设，设0是是A的特征值，则的特征值，则 0IA =0， 故故 A =0，所以，所以 A =0， 于是齐次线性方程组于是齐次线性方程组Ax=0有非零解。有非零解。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩
9、阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.5 设设 A 是是 n 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解注注第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定理定理6.3推论推论：若：若A可逆，则所有特征值均非零可逆，则所有特征值均非零.A的的迹迹, 记为记为tr(A) 三、特三、特征值和特征向量的性质征值和特征向量的性质第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 a11 a12 a1n a21
10、 a22 a2n an1 an2 ann中含有一项中含有一项 ( a11)( a22)( ann) a0= f(0) = | A| = ( 1)n|A|. f( ) = | I A| = f( ) = n (a11+a22+ann) n 1 + + a0又又 f( ) = ( 1)( 2)( n), = n ( 1+ 2+ n) n 1 + +( 1)n 1 2 n 则则 1+ 2+ n = tr(A), 1 2 n = |A|. 分析分析第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化(3) (3) m
11、m 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A Am m 的特征值，的特征值，的特征值，的特征值，对应的特征向量对应的特征向量 ; ;定理定理6.2 设设 是是n阶方阵阶方阵A的特征值，对应的特征向量为的特征值，对应的特征向量为 ，则则(1) (1) 对常数对常数对常数对常数k k，k k 是是是是 k kA A 的特征值，的特征值，的特征值，的特征值，对应的特征向量对应的特征向量 ; ;(2) (2) 若若若若A A可逆，则可逆，则可逆，则可逆，则 0 0，且，且，且，且1/1/ 是是是是A A-1-1 的特征值，的特征值，的特征值，的特征值，|A|A|/ / 是是是是 A A* * 的特征值的特征值的特征
12、值的特征值对应的特征向量对应的特征向量 .(4) (4) 若若若若 ( (x x)=)=a ammx xmm+ +a amm-1-1x xmm-1-1+a a1 1x x+ +a a0 0，则，则，则，则 ( ( ) )为为为为 ( (A A) ) 的特征值，的特征值，的特征值，的特征值，对应的特征向量对应的特征向量 ; ;第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化A = A2 = A(A )= = A( ) = A = 2 Am = m 数学归纳法得数学归纳法得数学归纳法得数学归纳法得 例例6.6
13、 设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足A2 = A，证明，证明A的特征值只能的特征值只能 为为0或或1. 返回返回第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.7 设三阶方阵设三阶方阵A有特征值有特征值 - - - -1, 1, 2，求：，求：(1) 矩阵矩阵的特征值及行列式的值；的特征值及行列式的值； (2) 矩阵矩阵的特征值及行列式的值；的特征值及行列式的值； (3) 矩阵矩阵A*的特征值及行列式的特征值及行列式(amAm + a1A + a0I) = amAm + a1A + a0 = am m
14、+ a1 + a0 = (am m + a1 + a0) (A) = = ( ) 返回返回第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定理定理6.4 属于不同特征值的特征向量线性无关属于不同特征值的特征向量线性无关 1, 2, , m A A的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量 1, 2, , m A A的互异的特征值的互异的特征值的互异的特征值的互异的特征值 结论结论: 条件条件: 1, 2, , m线性无关线性无关 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六
15、章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定理证明：数学归纳法定理证明：数学归纳法当当m=1时，时，只有一个特征值，结论显成立；只有一个特征值，结论显成立；假设对假设对m=k成立，下证对成立，下证对m=k+1时结论也成立：时结论也成立：设设第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 1 1 1, , , , s s 1 1, , , , t t 2 A 线性无关线性无关线性无关线性无关 线性无关线性无关线性无关线性无关 1, , s, 1, , t 线性无关线性无关 推论推论 设设
16、 1 , 2 是 n 阶矩阵A的两个不同特征值， 1, 2, , s与 1, 2, , t 分别为对应于特征值 1, 2的线性无关的特征向量，则 1, 2, , s , 1, 2, , t 线性无关.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例 6.8 设设设设 1 1, , 2 2是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，的两个不同的特征值， 1 1 2 2分别是分别是分别是分别是 1 1, , 2 2对应的特征向量，证明对应的特征向量，证明对应的
17、特征向量，证明对应的特征向量，证明 1 1+ + 2 2 不是不是不是不是A A的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量. .证明证明证明证明反证法反证法. 假设假设 1+ 2 是是A的特征向量，对应的特征值为的特征向量，对应的特征值为 0 .即即A( 1+ 2) = 0 ( 1+ 2 ) .又又 A 1= 1 1 , A 2 = 2 2 ,则则 A( 1+ 2) = 1 1+ 2 2 = 0 1+ 0 2 .于是于是 ( 1- - 0) 1 + ( 2- - 0) 2 =0 .因为因为 1 2 线性无关，所以线性无关，所以 1- - 0 = 0， 2- - 0 = 0 .从而从而 1= 2
18、，矛盾，矛盾.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 相似矩阵和 矩阵的对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵P P使得使得使得使得 P P 1 1AP AP = = B B 1. 1. A A与与与与B B相似相似相似相似( (记为记为记为记为A A B B): ): 可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵P P：相似变换矩阵相似变换矩阵 显然显然，矩阵的相似作为一种等价关系矩
19、阵的相似作为一种等价关系, 满足满足 (1) 反身性反身性 AA； (2) 对称性对称性 若若AB, 则则BA； (3) 传递性传递性 若若AB, BC, 则则AC。一、一、一、一、 相似矩阵及性质相似矩阵及性质相似矩阵及性质相似矩阵及性质第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化与与与与A A相似的矩阵不唯一相似的矩阵不唯一相似的矩阵不唯一相似的矩阵不唯一. . 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角
20、化矩阵相似的必要条件矩阵相似的必要条件 | I B |= |P| 1 | I A| |P| = |P 1| | I A| |P| = |P 1( I A)P | = | I P 1AP | = |P 1 I P P 1AP | = | I A| 性质性质6.1 P 1AP = B | I B|. | I A| =第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 1+ 2+ n 1 2 n tr(A) = tr(B) |A| = = |B| 矩阵相似的必要条件矩阵相似的必要条件 性质性质6.1 P 1AP
21、= B | I B|. | I A| = 从而矩阵从而矩阵A与与B具有相同的特征值具有相同的特征值 1, , 2, , n 例例. 0 1 x 3 2 5 0 y 0+3 = 2+y x = 2y x = 2, y = 1. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化注注: 特征多项式相同的矩阵未必相似特征多项式相同的矩阵未必相似. 例如例如 A = 1 0 1 1 , B = 1 0 0 1 , 假若假若P 1AP = B, 则则A = PBP 1 = B. 矛盾矛盾!| I A| = | I B
22、| = = ( 1)2. 1 1 0 1 = ( 1)2. 1 0 0 1 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化性质性质 6.2 (1)(1) P P 1 1AP AP = = B B A A与与与与B B等价等价等价等价, r(, r(A A) = ) = r(r(B B). ). (2) (2) A A B B ( (A A) ) ( (B B), ), 其中其中其中其中 ( (x x)=)=a ammx xmm+a a1 1x x+ +a a0 0. .P P 1 1AP AP = =
23、B B P P 1 1A A2 2P P = = P P 1 1A APPPP 1 1APAP = = B B2 2 P P 1 1A AmmP P = = B Bmm P P 1 1 ( (A A) )P P = = a ammP P 1 1A AmmP P+a a1 1P P 1 1APAP+ +a a0 0 P P 1 1I IP P = = P P 1 1( (a ammA Amm+a a1 1A A+ +a a0 0I I) )P P = = a ammB Bmm+a a1 1B B+ +a a0 0I I = = ( (B B) ) 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向
24、量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化(3) (3) 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵A A B B A A 1 1 B B 1 1. .P 1AP = B (P 1AP) 1 = B 1 P 1A 1P = B 1 (1)(1) P P 1 1AP AP = = B B A A与与与与B B等价等价等价等价, r(, r(A A) = ) = r(r(B B). ). (2) (2) A A B B ( (A A) ) ( (B B), ), 其中其中其中其中 ( (x x)=)=a ammx xmm+a a1 1x x+ +a a0 0.
25、 .性质性质 6.2 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化二二. . 相似相似对角化角化问题 求求A11. 设设P 1AP = , P = , = 1 41 1 1 0 0 2, A = P P 1 A11 = (P P 1)(P P 1)(P P 1)(P P 1) 11 = 1 0 0 211= P 11P 1 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化A = 即即 = P 1AP 1 0 0
26、0 2 0 0 0 nP = ( 1, , n)可逆可逆 1, , n线性无关线性无关 P 1AP = AP = P (A 1, , A n) = ( 1 1, , n n) 称称A可以可以对角化对角化对角化对角化， 称为称为A的的相似相似相似相似标准形标准形标准形标准形 A i = i i , ( i=1, 2, , n). 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定理定理6.5. An n相似于对角矩阵相似于对角矩阵 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 推论推论1若若n阶方阵阶
27、方阵A = , 1 0 0 0 2 0 0 0 n 则则 1, 2 , n 为矩阵为矩阵A的的n个特征值个特征值.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化推论推论2. An n有有n个互异的特征值个互异的特征值 1, 2, , n A . n 1 2 注：注： 此推论是可对角化的此推论是可对角化的充分非必要充分非必要条件。条件。定理定理6.6. A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 k重重特征值对应特征值对应 k个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向
28、量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定理定理6.5也告诉我们下述三个事实：也告诉我们下述三个事实：如果一个矩阵如果一个矩阵如果一个矩阵如果一个矩阵A A可以对角化则：可以对角化则：可以对角化则：可以对角化则：1. 1. 对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是A A的特征值构成的；的特征值构成的；的特征值构成的；的特征值构成的；2. 2. 相似变换矩阵是特征值对应的特征向量构成的；相似变换矩阵是特征值对应的特征向量构成的；相似变换矩阵是特征值对应的特征向量构成的；相似变换矩阵是特征值对应的特征向量构成的；3. 3. 若求出的线性无关的特征向
29、量若求出的线性无关的特征向量若求出的线性无关的特征向量若求出的线性无关的特征向量 n n个，则个，则个，则个，则 不能对角化不能对角化不能对角化不能对角化. .特别注意：特别注意：第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例 6.6 设设解解 A的与的与对应的特征值为对应的特征值为 ，则，则( I I A A) = =0, 0, 得到得到 (1) 参数参数a,b的值及的值及A的与的与对应的特征值；对应的特征值；(2) A是否可以相似对角化是否可以相似对角化.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维
30、向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 得得A的特征值为的特征值为 (2)r(- -I- -A)=2.考虑齐次方程组考虑齐次方程组(- -I- -A)x=0.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.7 设设 （1）证明）证明 可对角化；可对角化； （2）求相似变换阵）求相似变换阵 ，使，使 为对角矩阵；为对角矩阵； （3）求）求 解解 （1） 因因 的特征多项式为的特征多项式为 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维
31、向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化故故 的特征值为的特征值为 对于对于 ，对应的齐次线性方程组为，对应的齐次线性方程组为 它的基础解系它的基础解系 是是A的属于的属于 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量 对于对于 ,对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组: 得基础解系得基础解系 ，它是，它是 A的属于的属于 的特征向量的特征向量.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化又由定理又由定理6.4知，属于不同特征值的特征向量线性知，属于不同特征
32、值的特征向量线性无关，故无关，故 线性无关线性无关因此因此A可对角化可对角化 （2）设）设那么那么 为对角矩阵为对角矩阵 特征值组成的矩阵特征值组成的矩阵注意顺序注意顺序第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化于是于是 （3）由（）由（2）可得）可得第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化向量空间的正交性向量空间的正交性第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章
33、矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化定义定义内积内积.一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化说明说明1. n (n4) 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化内积的运算性质内积的运算性质第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相
34、似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化二、二、n维向量的长度维向量的长度( (模模) )定义定义长度长度或（或（模模）.令令对于任意一个向量对于任意一个向量 ,向量的单位化向量的单位化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 性质性质 (1) (1) 任何非零向量的长度为正实数任何非零向量的长度为正实数 (2) (2) 零向量的长度为零零向量的长度为零称称 为为n维向量维向量 与与 的的夹角夹角.定义定义 即即( , ) =0, 那么称那么称 与与 正正交交.零向量与任意向量正交零向量
35、与任意向量正交 规定规定第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例1 设向量设向量 计算计算 间的夹角间的夹角 解：解： 间的夹角为间的夹角为 又又 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化1. 正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法若一非零向量组若一非零向量组 中的向量两两正中的向量两两正交，则称向量组交，则称向量组 为为正交向量组正交向量组，特别，特别地，如果地
36、，如果 中全是单位向量，那么正交中全是单位向量，那么正交向量组向量组 称为称为标准正交向量组标准正交向量组. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例如例如 为正交向量组为正交向量组， 为标准正交向量组为标准正交向量组 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化证明证明2. 正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相
37、似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化3. .向量空间的标准正交基向量空间的标准正交基正交基正交基. .标准正交基（规范正交基）标准正交基（规范正交基）. .定义定义定义定义第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例2第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 同理可知同理可知第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵
38、相似对角化矩阵相似对角化4. 求规范正交基的方法求规范正交基的方法第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化(1) 正交化正交化这样可以得到这样可以得到正交向量组正交向量组 容易验证容易验证 施施施施密密密密特特特特正正正正交交交交化化化化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化(2) 单位化单位化取取第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相
39、似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例1 已知已知 中的向量组中的向量组 解解 取取 试用施密特正交化过程把这个向量组规范正交化试用施密特正交化过程把这个向量组规范正交化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化等价的标准正交向量组等价的标准正交向量组 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化
40、矩阵相似对角化矩阵相似对角化四、正交矩阵四、正交矩阵定义定义正交矩阵正交矩阵正交矩阵的性质正交矩阵的性质第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列（行）向的列（行）向量都是单位向量且两两正交量都是单位向量且两两正交( (一个标准正交基一个标准正交基) )定理定理第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交
41、阵解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于(1)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例3 维实列向量，且维实列向量，且 证明证明是对称的正交矩阵是对称的正交矩阵证证 因因 维实列向量，维实列向量， 故故 矩阵矩阵 为为 阶实矩阵又阶实矩阵又 即即 为实对称矩
42、阵而为实对称矩阵而 所以所以 是正交矩阵是正交矩阵 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例例例 设设设设A A为为为为n n阶正交矩阵，求证：阶正交矩阵，求证：阶正交矩阵，求证：阶正交矩阵，求证：(1) (1) 对于对于对于对于R Rn n中的任意两个列向量中的任意两个列向量中的任意两个列向量中的任意两个列向量 1 1, , 2 2 ，总有，总有，总有，总有 ( (A A 1 1, , A A 2 2 )= ( )= ( 1 1, , 2 2 ); );(2) (2) 如果列向量如果列向量如
43、果列向量如果列向量 1 1, , 2 2 , . , , . , n n 是是是是R Rn n 的一组标准正交基，的一组标准正交基，的一组标准正交基，的一组标准正交基， 则则则则A A 1 1, , A A 2 2 , . , , . , A A n n也是也是也是也是R Rn n 的一组标准正交基的一组标准正交基的一组标准正交基的一组标准正交基. .第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化实对称阵的相似对角化实对称阵的相似对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章
44、第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化一、实对称阵的特征值和一、实对称阵的特征值和一、实对称阵的特征值和一、实对称阵的特征值和特征向量的性质特征向量的性质特征向量的性质特征向量的性质定义定义如果如果对称对称方阵方阵A为为实矩阵实矩阵，则称，则称A为为实对称阵实对称阵. .定理定理实对称矩阵的特征值一定为实数实对称矩阵的特征值一定为实数. .证明证明于是于是定理定理实对称矩阵的实对称矩阵的对应于对应于不同特征值的特征向量不同特征值的特征向量相互正交相互正交. .第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似
45、对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化二、实对称阵的正交对角化二、实对称阵的正交对角化二、实对称阵的正交对角化二、实对称阵的正交对角化定理定理特征向量标准正特征向量标准正特征向量标准正特征向量标准正交后摆成的矩阵交后摆成的矩阵交后摆成的矩阵交后摆成的矩阵特征值按顺序摆特征值按顺序摆特征值按顺序摆特征值按顺序摆成的对角矩阵成的对角矩阵成的对角矩阵成的对角矩阵我们知道一般的一个矩阵不一定能对角化我们知道一般的一个矩阵不一定能对角化但是，一个实对称矩阵一定可以对角化但是，一个实对称矩阵一定可以对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对
46、角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化实对称矩阵正交对角化的具体步骤实对称矩阵正交对角化的具体步骤第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例6.12 已知矩阵已知矩阵 ，求正交矩阵，求正交矩阵Q使使 为对角矩阵为对角矩阵 解解 （1） 求特征值求特征值故故A的特征值为的特征值为 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化即即它的一个基础解系为它的一个基础解系为 把把 标准正交化标准正交化，得，得 （2）对于
47、对于 ，对应的齐次线性方程组为，对应的齐次线性方程组为 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化对于对于 ，对应的齐次线性方程组为，对应的齐次线性方程组为 它的一个基础解系为它的一个基础解系为 把把 单位化单位化，得，得 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 (3). 记记 那么那么Q为正交矩阵，且为正交矩阵，且 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩
48、阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例 6.13 已知矩阵已知矩阵 与与 相似相似, 求求(1) a,b 的值的值; (2) 正交矩阵正交矩阵Q, 使得使得Q- -1AQ=B.解解(1) 因为因为A与与B相似，故相似，故tr(A) = tr(B) , |A| = |B| 所以所以 a=3, b=5.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例 6.13 已知矩阵已知矩阵 与与 相似相似, 求求(1) a,b 的值的值; (2) 正交矩阵正交矩阵Q, 使得使得Q- -1AQ=B.
49、解解(2) 因为因为A的特征值是的特征值是1, 2, 5. 1 1=1时，解时，解(I- -A)x = 0得基础解系得基础解系: 1 1 = (0, 1, - -1)T第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化 2 2=2时，解时，解(2I- -A)x = 0得基础解系得基础解系: 2 2 = (1, 0, 0)T 3 3 = 5时，解时，解(5I- -A) x = 0得基础解系得基础解系: 3 3 = (0, 1, 1)T第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第
50、六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化直接将直接将 1, 2, 3 单位化单位化 (?) ，得，得e e2 2 = (1, 0, 0)T ,e e1 1 = (0, 1, - -1)T ,12e e3 3 = (0, 1, 1)T .12令令则则Q为正交阵，且为正交阵，且第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化例例 6.15 设设- -1
51、, 1, 1为实对称矩阵为实对称矩阵A的特征值，且属于特征的特征值，且属于特征值值- -1的特征向量为的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T, 求求(1) 属于特征值属于特征值1的特征向量的特征向量; (2) 求矩阵求矩阵A. (1) 因为因为A是实对称矩阵，所以属于不同特征值的特是实对称矩阵，所以属于不同特征值的特征向量必正交，设属于特征值征向量必正交，设属于特征值1的特征向量为的特征向量为 = (x1, x2 , x3 )T解解则则 T 1 = 0即即 x2 + x3= 0得基础解系得基础解系: 2 = (1, 0, 0)T , 3 = (0, 1, - -1)T属于特征值属于特征值1的特征向量为：的特征向量为：k2 2 + k3 3 (k2, k3 不全为零不全为零).第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量第六章第六章第六章第六章 矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化解解 (2) 直接将直接将 1, 2, 3 单位化单位化 (?) ，得，得e2 = (1, 0, 0)T ,e e1 1 = (0, 1, 1)T ,12e e3 3 = (0, 1, - -1)T .12 2令令且且
