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1、高等动力学高等动力学 Lecture 1 序言，序言， 动量定理动量定理Introduction about advanced dynamics本课程的目的: 在牛顿力学框架下，研究和学习处理相对于质点对象更为复杂的对象：刚体动力学问题。主要有两类对象 2D刚体动力学问题 3D刚体动力学主要方法： 微分方程组（首次积分形式） 动量定理 动量矩定理 能量定理数值计算方法一些特殊问题的处理方法 碰撞问题 变质量问题陀螺系统 小振动系统 Lagrange 力学与Hamilton力学初步 约束与流形Langrange力学中的基本原理：虚位移原理和达朗伯原理 Hamilton力学质点系点系对象：对象：单
2、个质点的动力学转向多个质点的复杂系统；理论基础：理论基础：牛顿力学的框架下（三个基本定律） 采用力矢量反映物体之间的相互作用。 （注意： 物体之间的相互作用可以采用另外的形式来表达：将约束作为建立动力学模型的基本要素分析动力学）质点系的基本概念及受力的基本分质点系的基本概念及受力的基本分类类质点系：质点系：将多个质点作为一个力学系统进行分析。质点系受力的分析： 外力与内力Comments: 1: 质点系是认识物理对象的基本概念；既可以关注整体性质，也可以关注局部性质；2. 外力和内力：伴随质点系的概念而产生，区分外力和内力的概念有助于对系统整体动力学行为的研究。刚体与体与质点系点系刚体：可以看
3、做由无数质点组成的质点系系统。只是该系统中各个质点之间满足如下的约束：变形体：如果质点之间不满足以上约束方程，则为变形体。质点系内力的性点系内力的性质性质1：质点系的全部内力力系的主向量为零。质点编号为：1，2，。，n, 质点i上的内力为Fij, j=1,2,n and j = i时，Fii=0.其它质点作用在质点i上的所有内力的合力为：各个质点内力合力的主向量为改变求和次序，主向量R应保持不变根据牛顿第三定律，总有质点系内力的性点系内力的性质性质2：全部内力对任意共同点的主矩等于零。对质点j, 定义如下的相对于空间点O的位置矢量：rj,第i个质点对j质点的内力为Fij. 一对内力总表示为：对
4、这一对内力，求对O点的力矩通常情况下，质点间相对位置的矢量方向与质点间相互作用力的方向在同一条直线上（某些基本粒子之间的相互作用并不满足以上假设）。则有质点系点系动量定理量定理质点的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理：包含n个质点的质点系的总动量p表示为当n ,质点系可表示某一连续的物体利用上式，对n个质点求和质点系点系动量定理量定理质点系动量定理的微分形式：质点系的动量定理的微分形式：质点系的动量对时间的微分等于外力作用在该质点系上主向量。提出了质点系总动量的物理量建立质点系的运动与外部力之间的关系。质点系的冲量定理（积分形式）质点系的冲量定理（积分形式）：质点系在某一时间间隔内动量的
5、改变量等于外力的主向量的在该时间间隔内的冲量。与质点系动量定理相关联的守恒定律质点系的动量定律提供了从整体到局部分析的基本过程。我们总是可以选择感兴趣的某一部分进行分析，进而得到作用在该部分上的外部力系与运动变化（动量）之间的联系。质点系点系动量定理量定理应用：例子用：例子1传动皮带段AB长s，与水平夹角为。梯上等距离地站立n个体重均为P的乘客。乘客被带到最高点A时无相对速度地离开传动带。与此同时，有另一体重相同的乘客无初速地踏上传动带的B处。通过半径为R的滚轮使传动带保持等速u0，求滚轮上所需的平均力矩。 质点系点系动量定理量定理应用：例子用：例子1分析对象： 皮带与皮带上的n个乘客与将踏上
6、皮带的一个乘客。t1时刻； 一乘客刚离开A点，这时皮带上有n个乘客。t2时刻：后面一个乘客刚离开A点，同时第n+1个乘客已踏上楼梯 该时间间隔内，皮带所走过的距离为s/n。质点系在t1时刻的动量:质点系在t2时刻的动量:质点系点系动量定理量定理应用：例子用：例子1质点系在t1至t2时间间隔内的动量变化与外部冲量之间的关系为F为滚轮对皮带拉力的大小。考虑在平均意义上滚轮对皮带的拉力根据动量定理的表达式所需要的平均力矩为例子例子2：流体弯管：流体弯管动压力力设管道内有不可压不可压的流动，流动是定常定常的（管内每一点处液体的速度不随时间变化）。流量是Q，密度是 管子截面积是A。求由于流体的流动，弯管
7、对流体的附加反力R。例子例子2：流体弯管：流体弯管动压力力选择质点系。 t 时刻占据a1b1c1d1空间内的流体；动量为p1t+t 时刻，以上流体到达新的空间位置a2b2c2d2;动量为p2定常流体的特性使得在a1b1c2d2内的流体的动量没有变化。不可压缩流体使a2b2a1b1和c2d2d1c1内的流体速度为Q/A. 体积均为Qt作用在该质点系上的外力: 重力W; 两流体截面处的压力P1和P2, 弯管的压力N.例子例子2：流体弯管：流体弯管动压力力t 时间间隔内的动量的变化为动量定理：设弯管对静止流体提供的约束反力为N0,附加反力 例子例子3：气体：气体压力力设气体单位体积内有n个分子，每个
8、分子的质量为m，每个分子碰到容器壁以后弹跳回来的速度大小不变速度大小不变。先考虑x方向的运动。假设分子的平均速度是vx，分子的动量是mvx，碰撞前后动量的增量大小为2mvx，在单位时间内，碰在面积为A的壁面上的分子个数是nAvx/2. （1/2是概率分布得到的结果） 统计力学：在平均意义上考虑气体压力的产生。例子例子3：气体：气体压力力在x方向上的动量的变化率壁面对气体的作用力 沿x面上的压力 在y和z方向上气体的压力应与方向无关 气体的压力(在能量意义上的平均) 例子例子4：炮：炮弹发射射Uv一辆炮车停在光滑水平导轨上。炮弹的质量为m，炮车总质量为M。炮身的倾角为，炮弹出口的相对速度为V。求
9、：炮弹离开炮身时的绝对速度及跑车反冲的速度U.例子例子4：炮：炮弹发射射炮弹运动学分析:UVv运动学关系水平方向动量守恒（在惯性参考系下考虑问题）由速度分析图知根据余弦定理分析对象：炮弹 + 跑车绝对速度相对速度质心运动定理质心与重心的概念重心：重力合力的简化中心质心：质点系各点位置矢量的加权平均对均匀重力场来说，重心和质心是一致的。质心的概念适应于任何质点系系统。质心运动定理根据质心的定义，并微分质点系质心系质心的运动好象是一个质点的运动，这个质点的质量等于整个系的质量，受到的力是所有外力的主向量。 质心运动定理在平均意义上考虑质点系的运动，并大大简化了对刚体运动的处理。根据质点系的动量定理
10、外力系的主矢量定义质心的速度质心运动定理：举例m甲m乙r乙r甲rC飞石索的运动飞石索质心的运动轨迹总是一条抛物线。爆竹、烟花等虽然可以展现丰富多彩的景象，但其在平均意义上的轨迹方程是简单的。质心运动定理：举例电机总质量为M：转动部分（转子）的质量为m。转子的质心偏离中心轴O的偏心距为e。假定电机固定部分的质心近似地在转动轴上。电机的转速为匀速，且角速度为。电机放在水平地面上。分析电机转动时地面对电机提供的约束反力。exymgO(M-m)gPPxPy质心运动定理：举例分析对象：电机中的固定部分+转子质点系的质心位置应用质心运动定理分量形式物理或工程意义讨论：当e或较大时，Py可能出现负值，需要提
11、供可承受拉力的部件。水平方向如果仅受静摩擦的作用，要求的条件为有水平振动的条件为两体两体问题两体问题：将各个星体之间的相互作用忽略，仅考虑太阳对星体的相互作用，这样行星的运动可以看做一个两个质点相互作用的孤立系统。分析内容：是否可以将太阳作为惯性参考系，建立其它行星的运动方程？（将两体问题转化为单体问题）应用： 航天工程中的某些轨道动力学问题的分析，粒子的散射等Mm两体的质心C质心平动参考系rmrM两体两体问题Mm两体的质心C质心平动参考系rmrM建立质心平动参考系。质点m到质心C的位置矢量为：其中：r为M到m之间的矢量。两质点之间的相互作用力为f. 定义：则即为当以太阳作为不动点参考系时，考
12、虑地球在万有引力作用下的折合质量。由于地球的质量远远小于太阳的质量，所以，可近似认为=1质心平动参考系为惯性参考系质心平动参考系为惯性参考系，质点m的动力学方程为粒子的散射rcrv1设质量为m1的质点以速度v1被一质量为m2的静止质点散射。受与距离平方呈反比的排斥力的作用，在质心坐标系质心坐标系中观测，粒子的散射角度为c求：实验室坐标系求：实验室坐标系:静止坐标系，r粒子的散射建立质心平心平动参考系参考系。质心的速度方向必定沿v1的方向。质心平动参考系m1m1m2m2V1V2V2V1c质点1相对质心平动参考系的速度V1质点2相对质心平动参考系下的速度V2在质心参考坐标系中，动量守恒。故散射后质点1和2的速度方向必定沿相反方向。粒子的散射在实验室参考系参考系。质点1散射前后的速度为v1， v1质点2散射前后的速度0， v2m1m1m2m2v1实验室坐标系v2v1rVv1V1cr两种坐标系下的速度关系：写成分量形式后，可得到粒子的散射实验室坐标系xm1rcm2Cr2r1ry根据质心的定义，有如下关系对上式微分散射后，当两质点远离到无引力场的作用时，因系统是保守的，这时两质点相对速度的大小必定与其起始时两粒子的相对速度的大小相等。即：则机械能守恒条件导致的结果。由于质心速度则散射过程，在机械能保持守恒的条件下，能够使动能转移。作业作业n1，6，7，9，12，13
