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1、7向量应用举例【题型示范题型示范】类型一类型一 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014苏州高一检测苏州高一检测) )过点过点P(1,1)P(1,1)，且法向量为，且法向量为n=(4,-3)=(4,-3)的的直线直线l的方程为的方程为_._.(2)(2)已知点已知点A(-1A(-1，2)2)，直线，直线l:4x-3y+9=0.:4x-3y+9=0.求：求：过点过点A A且与直线且与直线l平行的直线方程平行的直线方程. .过点过点A A且与直线且与直线l垂直的直线方程垂直的直线方程. .【解题探究解题探究】1.1.直线直线l的法向量与直线有什
2、么关系？的法向量与直线有什么关系？2.2.如何由直线如何由直线l方程中方程中x x，y y的系数确定题的系数确定题(2)(2)中直线方程的斜率中直线方程的斜率k k？【探究提示探究提示】1.1.垂直垂直. .2.2.由直线由直线l得到其方向向量得到其方向向量u= = 再定再定k.k.由直线由直线l得到其法向量得到其法向量n=(4,-3)=(4,-3)再确定再确定k.k.【自主解答自主解答】(1)(1)设设M(x,y)M(x,y)是直线是直线l上任一点，上任一点，则则 =(x-1,y-1),=(x-1,y-1),又又n ，故，故(4(4，-3)(x-1,y-1)=0-3)(x-1,y-1)=0，
3、即，即4x-3y-1=0.4x-3y-1=0.答案：答案：4x-3y-1=04x-3y-1=0(2)(2)方法一：直线方法一：直线l的斜率的斜率 向量向量u= = 与直线与直线l平行平行. .设设P P是过是过A A且与且与l平行的直线上的动点，平行的直线上的动点，P P的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)，则，则 =(x+1,y-2)=(x+1,y-2)，所求直线与，所求直线与l平行，当且仅当平行，当且仅当u , ,转化为转化为坐标表示，即为坐标表示，即为1(y-2)- (x+1)=0,1(y-2)- (x+1)=0,整理得整理得4x-3y+10=0,4x-3y+10=0,这就是所求的过这就
4、是所求的过A A且与且与l平行的直线方程平行的直线方程. .设设Q(x,y)Q(x,y)为直线为直线l上一动点，则上一动点，则 =(x+1,y-2)=(x+1,y-2)，点，点Q Q在过在过A A且垂直于且垂直于l的直线上，当且仅当的直线上，当且仅当u =0, =0,转化为坐标表示，即转化为坐标表示，即为为1(x+1)+ (y-2)=0,1(x+1)+ (y-2)=0,整理得整理得3x+4y-5=0,3x+4y-5=0,这就是所求的过这就是所求的过A A且与且与l垂直的直线方程垂直的直线方程. .方法二：因为向量方法二：因为向量(4(4，-3)-3)与直线与直线l垂直，垂直，所以所以n=(4,
5、-3)=(4,-3)是是l的法向量的法向量. .设设P(x,y)P(x,y)为直线为直线l上一动点，则上一动点，则 =(x+1,y-2).=(x+1,y-2).点点P P在与在与l平行平行的直线上，当且仅当的直线上，当且仅当n =0. =0.转化为坐标表示即为转化为坐标表示即为4(x+1)+4(x+1)+(-3)(y-2)=0,(-3)(y-2)=0,整理得整理得4x-3y+10=04x-3y+10=0，这就是所求的过，这就是所求的过A A且与且与l平行平行的直线方程的直线方程. .设设Q(x,y)Q(x,y)为一动点，则为一动点，则 =(x+1,y-2),=(x+1,y-2),点点Q Q在与
6、在与l垂直的直垂直的直线上，当且仅当线上，当且仅当 与与n共线，即共线，即n , ,转化为坐标表示即为转化为坐标表示即为4(y-2)+3(x+1)=0,4(y-2)+3(x+1)=0,整理得：整理得：3x+4y-5=0,3x+4y-5=0,即为过即为过A A且与且与l垂直的直线方程垂直的直线方程. .【延伸探究延伸探究】若把题若把题(2)(2)的直线换成的直线换成4x-5y+1=0,4x-5y+1=0,其他条件不其他条件不变，怎样求过点变，怎样求过点A A且与直线且与直线l垂直的直线方程垂直的直线方程. .【解析解析】取直线取直线l的法向量的法向量n=(4=(4，-5)-5)，设点设点P(x,
7、y)P(x,y)在所求直线上，且在所求直线上，且 =(x+1,y-2).=(x+1,y-2).由题意知由题意知 与与n平行，即平行，即4(y-2)-(-5)(x+1)=0,4(y-2)-(-5)(x+1)=0,所以所以5x+4y-3=0.5x+4y-3=0.【方法技巧方法技巧】1.1.直线的法向量直线的法向量n2.2.利用方向向量及法向量求直线方程的关键及常用结论利用方向向量及法向量求直线方程的关键及常用结论(1)(1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系向量的关系. .(2)(2)常用结论如下常用结论如下: :所求直线
8、与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直和已知直线的法向量垂直. .所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行和已知直线的法向量平行. .【变式训练变式训练】求通过点求通过点A(A(2,1)2,1)，且平行于向量，且平行于向量a(3,1)(3,1)的直的直线方程线方程【解题指南解题指南】在直线上任取一点在直线上任取一点P(xP(x，y)y)，则，则 (x(x2 2，y y1)1)，由，由 a，利用向量平行的条件可写出方程，利用向量平行
9、的条件可写出方程【解析解析】设设P(xP(x，y)y)是所求直线上的任一点，是所求直线上的任一点， (x(x2 2，y y1)1)因为因为 a，所以，所以(x(x2)12)13(y3(y1)1)0.0.即所求直线方程为即所求直线方程为x x3y3y5 50.0.【补偿训练补偿训练】求证直线求证直线l1 1:y=3x-1:y=3x-1与与l2 2: : 互相垂直互相垂直. .【证明证明】在在y=3x-1y=3x-1中，分别令中，分别令x x1 1=0,x=0,x2 2=1=1，得，得y y1 1=-1,y=-1,y2 2=2.=2.则则A(0,-1),B(1,2)A(0,-1),B(1,2)是直
10、线是直线l1 1上的两个点，类似地，可得上的两个点，类似地，可得l2 2上的两点上的两点C(0,2)C(0,2)，D(3,1).D(3,1).所以所以 =(1,2)-(0,-1)=(1,3) =(1,2)-(0,-1)=(1,3)， =(3 =(3，1)-(0,2)=(3,-1),1)-(0,2)=(3,-1), =(1,3)(3,-1)=0, =(1,3)(3,-1)=0,所以所以ABCD,ABCD,故故l1 1l2 2. .类型二类型二 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知正方形已知正方形ABCDABC
11、D的边长为的边长为2 2，E E为为CDCD的中点，则的中点，则 =_.=_.(2)(2)如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别是分别是ADAD，DCDC边的中边的中点，点，BEBE，BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R，T T两点，你能发现两点，你能发现ARAR，RTRT，TCTC之间之间的关系吗？的关系吗？【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中能否用简易方法求中能否用简易方法求2.2.向量向量 与与 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？【探究提示探究提示】1.1.建立坐标系，用坐标法求建立坐标系，用坐标法求2.2.向量向量 与与 与与
12、 分别共线分别共线. .【自主解答自主解答】(1)(1)以点为原点，以以点为原点，以 的方向为的方向为x x轴，轴，y y轴轴的正方向建立平面直角坐标系，则的正方向建立平面直角坐标系，则A(A(, ,) )，E(E(, ,) )，D(D(, ,) )，B(B(, ,) )，所以，所以 =(2,-1), =(2,2)=(2,-1), =(2,2)，所以，所以=2.=2.答案：答案：2 2(2)(2)设设 则则 = =a+ +b. .由由 与与 共线，因此，存在实数共线，因此，存在实数m m，使得，使得 =m(=m(a+ +b).).又由又由 与与 共线，共线，因此，存在实数因此，存在实数n n，
13、使得，使得由由 得得m(m(a+ +b)=)=a+ +整理得整理得由于向量由于向量a, ,b不共线，不共线，所以所以解得解得 所以所以同理同理 于是于是所以所以AR=RT=TC.AR=RT=TC.【方法技巧方法技巧】1.1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)(1)向量的线性运算法的四个步骤：向量的线性运算法的四个步骤：选取基底选取基底;用基底表示相关向量用基底表示相关向量;利用向量的线性运算或利用向量的线性运算或数量积找相应关系数量积找相应关系;把几何问题向量化把几何问题向量化. .(2)(2)向量的坐标运算法的四个步骤：向量的坐标运算法的四个步骤：
14、建立适当的平面直角坐标系；建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化把相关向量坐标化;用向用向量的坐标运算找相应关系量的坐标运算找相应关系;把几何问题向量化把几何问题向量化. .2.2.用向量解决平面几何问题的常用策略用向量解决平面几何问题的常用策略(1)(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义行四边形法则，有时也用到向量减法的定义. .(2)(2)证明线段平行、三角形相似、判断两直线是否平行，常运证明线段平行、三角形相似、判断两直线是否平行，常运用向量平行的条件：用向量平行的条件：aba=
15、b( (b0) )，或者，或者abx x1 1y y2 2- -x x2 2y y1 1=0.=0.(3)(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线是否垂直等，常运用向量垂直的条件：断两直线是否垂直等，常运用向量垂直的条件：abab=0=0，或者，或者abx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.(4)(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos = cos = 如求三角形的面积用公式如求三角形的面积用公式S= absin CS= absin C时，可
16、能会利用时，可能会利用夹角公式求出夹角公式求出cos Ccos C，进而求出，进而求出sin C.sin C.(5)(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如矩形、正方形、向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如矩形、正方形、直角三角形等，可建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，直角三角形等，可建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题通过代数运算解决几何问题. .【变式训练变式训练】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值角的余弦值. .【解析解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为如图，分别以等腰直角三角形的两直
17、角边为x x轴、轴、y y轴轴建立直角坐标系，建立直角坐标系，设设A(2a,0),B(0,2a)A(2a,0),B(0,2a)，则则D(a,0),C(0,a)D(a,0),C(0,a)，从而可求：从而可求： =(=(2a,a),2a,a), =(a, =(a,2a),2a),不妨设不妨设 , , 的夹角为的夹角为,则则cos =cos = = =故所求钝角的余弦值为故所求钝角的余弦值为【补偿训练补偿训练】已知已知DEDE是是ABCABC的中位线，用向量的方法证明：的中位线，用向量的方法证明：DE= BCDE= BC，且，且DEBC.DEBC.【证明证明】易知易知所以所以即即DE= BCDE=
18、BC，又，又D D不在不在BCBC上，所以上，所以DEBC.DEBC.类型三类型三 向量在物理中的应用向量在物理中的应用【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014安庆高一检测安庆高一检测) )用两条成用两条成6060角的绳索拉船，每条角的绳索拉船，每条绳的拉力是绳的拉力是12 N12 N，则合力为，则合力为( )( )(2)(2)一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向向10 n mil10 n mile e处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东南偏东7575，以，以9
19、 n9 n milmile e/h/h的速度向前航行，货船以的速度向前航行，货船以21 n21 n milmile e/h/h的航速前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，的航速前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货船的位移求货船的位移.(.(其中其中c cos 2147= )os 2147= )【解题探究解题探究】1.1.合力与每条绳的拉力有什么关系？合力与每条绳的拉力有什么关系？2.2.货船的位移指什么？货船的位移指什么？【探究提示探究提示】1.1.合力为两个拉力的和合力为两个拉力的和. .2.2.位移指货船与渔船相遇时所经过的路程和方向位移指货船与渔船相遇时所经过的路程和方向. .【自主解
20、答自主解答】(1)(1)选选D.D.设两拉力分别为设两拉力分别为F1 1和和F2 2，则，则F1 1与与F2 2的夹角的夹角为为60.60.合力合力F合合, ,则则F合合= =F1 1+ +F2 2, ,所以所以| |F合合|=|= = =(2)(2)如图，设渔船在如图，设渔船在A A处遇险，货船在处遇险，货船在B B处发现渔船遇险，两船处发现渔船遇险，两船在在C C处相遇，所经时间为处相遇，所经时间为t(h).t(h).由已知，由已知，BAC=45+75=120BAC=45+75=120，因为因为所以所以即即所以所以(21t)(21t)2 2=(9t)=(9t)2 2-29t10cos 12
21、0+100.-29t10cos 120+100.化简得化简得36t36t2 2-9t-10=0,-9t-10=0,即即(3t-2)(12t+5)=0.(3t-2)(12t+5)=0.因为因为t t0 0，所以，所以所以所以又又所以所以即即所以所以36=196-21410cosABC+100.36=196-21410cosABC+100.由此解得由此解得cosABC=cosABC=所以所以ABC=2147.ABC=2147.故货船的位移是北偏东故货船的位移是北偏东66476647，距离为，距离为14 14 n n mile.mile.【方法技巧方法技巧】向量解决物理问题的步骤向量解决物理问题的步
22、骤【变式训练变式训练】某人骑车以每小时某人骑车以每小时a a千米的速度向东行驶，感到千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时风从正北方向吹来，而当速度为每小时2 2a a千米时，感到风从东千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向北方向吹来，试求实际风速和方向. .【解析解析】设设a表示此人以每小时表示此人以每小时a a千米的速度向东行驶的向量，千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为无风时此人感到风速为- -a，设实际风速为设实际风速为v，那么此时人感到的风速为那么此时人感到的风速为v- -a，设设因为因为所以所以 这就是感到由正北方向吹来的风速，这就是感到由正
23、北方向吹来的风速，因为因为 所以所以于是当此人的速度是原来的于是当此人的速度是原来的2 2倍时所感受到由东北方向吹来的倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是风速就是由题意：由题意：PBO=45,PABO,BA=AOPBO=45,PABO,BA=AO，从而，从而，POBPOB为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形，所以PO=PB=PO=PB=即：即：| |v|=|=所以实际风速是每小时所以实际风速是每小时 千米的西北风千米的西北风. .【补偿训练补偿训练】已知两个恒力已知两个恒力F1 1= =i+2+2j, ,F2 2=4=4i-5-5j，作用于同一质，作用于同一质点，此质点从点，此质点从A(20
24、A(20，15)15)移动到移动到B(7B(7，0)0)，其中，其中i, ,j分别是分别是x x轴，轴，y y轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量. .试求：试求：(1)(1)F1 1, ,F2 2分别对质点所做的功分别对质点所做的功. .(2)(2)F1 1，F2 2的合力的合力F对质点所做的功对质点所做的功. .【解析解析】因为因为A(20A(20，15),B(715),B(7，0),0),所以所以 =(7-20=(7-20，0-15)=-130-15)=-13i-15-15j. .因为因为i，j分别是分别是x x轴，轴，y y轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量. .所以所以ij
25、=0=0，i2 2=1,=1,j2 2=1.=1.(1)(1)F1 1对质点所做的功对质点所做的功W W1 1= = =(=(i+2+2j)(-13)(-13i-15-15j) )=-13=-13i2 2-41-41ij-30-30j2 2=-13-30=-43.=-13-30=-43.F F2 2对质点所做的功对质点所做的功W W2 2= = =(4=(4i-5-5j)(-13)(-13i-15-15j) )=-52=-52i2 2+5+5ij+75+75j2 2=-52+75=23.=-52+75=23.(2)(2)因为因为F= =F1 1+ +F2 2=5i-3j,=5i-3j,所以所以
26、F对质点所做的功对质点所做的功W=W= =(5=(5i-3-3j)(-13)(-13i-15-15j) )=-65=-65i2 2-36-36ij+45+45j2 2=-65+45=-20.=-65+45=-20.【易错误区易错误区】应用向量解决平面几何问题中的误区应用向量解决平面几何问题中的误区 【典例典例】(2014(2014合肥高一检测合肥高一检测) )在在ABCABC中，中，= = 则则ABCABC的形状一定是的形状一定是( )( )A.A.等边三角形等边三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解析解析】选选C.C.由由得
27、得所以所以所以所以即即所以所以所以所以所以所以A=90.A=90.所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. .【常见误区常见误区】错解错解 错错 因因 剖剖 析析 选选A A或选或选B B或选或选D D 在在处忽视处忽视a2 2=|=|a| |2 2的应用致误的应用致误 在在处将向量数量积运算律用错致误处将向量数量积运算律用错致误 在在处将相反向量的定义用错而致误处将相反向量的定义用错而致误【防范措施防范措施】1.1.正确将平面几何中的边角关系与向量的运算进行转化正确将平面几何中的边角关系与向量的运算进行转化理解平面几何中垂直、平行、边长、夹角等几何关系与向量平理解平面几何中垂直、平行、
28、边长、夹角等几何关系与向量平行、垂直、模、夹角等概念与运算间的关系，能正确将几何关行、垂直、模、夹角等概念与运算间的关系，能正确将几何关系与向量运算结果之间进行相互转化，如本例中，由向量关系系与向量运算结果之间进行相互转化，如本例中，由向量关系推得推得A=90.A=90.2.2.熟练掌握向量的有关概念与运算熟练掌握向量的有关概念与运算向量的有关概念与运算是将几何问题向量化后求解的关键，若向量的有关概念与运算是将几何问题向量化后求解的关键，若理解错误，或运用不当都将造成失误，如本例理解错误，或运用不当都将造成失误，如本例处处. .【类题试解类题试解】(2013(2013浙江高考浙江高考) )设设
29、ABCABC，P P0 0是边是边ABAB上一定上一定点，满足点，满足P P0 0B= ABB= AB，且对于边，且对于边ABAB上任一点上任一点P P，恒有，恒有 则则( )( )A.ABC=90 B.BAC=90A.ABC=90 B.BAC=90C.AB=AC D.AC=BCC.AB=AC D.AC=BC【解析解析】选选D.D.设设 (01)(01)，因为因为所以所以所以所以即即当当1 1 时，时，+ + 对对1 1 恒成立，即恒成立，即 所以所以cos Bcos B当当00 时，时，+ + 恒成立，恒成立，所以所以cos B cos B 综上可得综上可得cos B=cos B=又又cos B=cos B=所以所以 即即AC=BC.AC=BC.
