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1、1.1.1 1.1.1 正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理 某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆，需测量河两岸点A与点B之间的距离请同学们思考一下，如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离？AB SinA= SinB= SinC=1RtABC中，中，则则c=猜想：任意猜想：任意ABCABC中中？1.1.1 正弦定理正弦定理1、回忆一下直角三角形的边角关系、回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcbacsinB=bsinC 同理可得D过点A作ADBC于D,此时有若三角形是锐角三角形, 如图1,AcbCB图1asinB=ADcsinC=ADb则 AD=正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
2、相等。 =2R（R为为ABCABC的外接圆半径）的外接圆半径）SinCcSinBbSinAa= = =正弦定理的常见变形正弦定理的常见变形(1)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.(2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a b csin A sin B sin C.一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A,B,C和和他们的边他们的边A,B,C叫做三角形的元素，叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形素的过程叫做解三角形.利用正弦定理可以解决一些
3、怎样的解三角形问题呢？题型一已知三角形的两角及一边解三角形题型一已知三角形的两角及一边解三角形 在在ABC中，已知中，已知a8，B60，C75，求，求A，b，c.思路探索思路探索 先求角先求角A，再用正弦定理求，再用正弦定理求b和和c. 【例例1】在在ABC中，中，a5，B45，C105，求边，求边c.【变式变式1】 例例2、在、在ABC中，已知中，已知 b=28 A=40 求求B (精确到精确到1 )和和c（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）ACB1abB2D 在在ABC中，分别根据下列条件解三角形：中，分别根据下列条件解三角形：思路探索思路探索 解题的关键是判断解的个数解题的关键是判断
4、解的个数题型题型二二已知两边及一边的对角解三角形已知两边及一边的对角解三角形【例例2】 利用正弦定理解决利用正弦定理解决“已知三角形的任意已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时，的问题时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合可能出现一解、两解或无解的情况，应结合“三角三角形大边对大角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍来判断解的情况，做到正确取舍如在如在ABC中，已知中，已知a，b和角和角A时，解的情况如下：时，解的情况如下：A为锐角角A为钝角或直角角或直角图形形关关系系式式absin Absin Aababab解解的的个个数数一解一
5、解两解两解一解一解一解一解 满足满足a4，b3和和A45的的ABC的个数为的个数为 ()A0个个 B1个个 C2个个 D无数多个无数多个ba，B有一解，故有一解，故ABC的个数为的个数为1个个答案答案B【变式变式2】 小小 结结正弦定理用途：正弦定理用途：解斜三角形解斜三角形 1.已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两角和任一边，求其它两边和一角；2.已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。其他的边和角。实现三角形当中边角之间的转化实现三角形当中边角之间的转化 在在ABC中，若中，若sin A2sin Bcos C，且，且sin2Asi
6、n2Bsin2C，试判断，试判断ABC的形状的形状思路探索思路探索 首先利用正弦定理将首先利用正弦定理将sin2Asin2Bsin2C中的中的角的关系转化为边的关系，再利用内角和角的关系转化为边的关系，再利用内角和ABC及及三角函数的知识判断形状三角函数的知识判断形状题型题型三三利用正弦定理判断三角形的形状利用正弦定理判断三角形的形状【例例3】A90，BC90.由由sin A2sin Bcos C，得，得sin 902sin Bcos(90B)，ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且是直角三角形且A90.A180(BC)，sin
7、 A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0，即即sin(BC)0.BC0，即，即BC.ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 在在ABC中，已知中，已知a2tan Bb2tan A，试判断，试判断ABC的形状的形状sin Acos Asin Bcos B，即，即sin 2Asin 2B.2A2B或或2A2B，即即AB或或AB .ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形【变式变式3】 1 1、在、在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） C C随堂练习随堂练习 2、在ABC中 已知a=18，B=60，C=75， 求b=五、小结五、小结1、这节课我们主要学习了正弦定理、这节课我们主要学习了正弦定理,以及两类应用正以及两类应用正弦定理解决的解三角形问题弦定理解决的解三角形问题.2.2.通过本节课学习通过本节课学习, ,在研究数学问题时要掌握从特殊在研究数学问题时要掌握从特殊到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想. .
