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1、第第 2 章章弹性力学问题有限单元法弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式一般原理和表达式构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数的步骤构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数的步骤,以及插值函数的基本性质以及插值函数的基本性质.本章要点本章要点通过弹性力学平面问题和三角形单元阐述通过弹性力学平面问题和三角形单元阐述基于弹性力学最小位能原理基于弹性力学最小位能原理,建立有限元求解方程的建立有限元求解方程的步骤步骤.有限元方程求解前引入位移边界条件的必要性和方法有限元方程求解前引入位移边界条件的必要性和方法.有限元方法的收敛准则有限元方法的收敛准则.有限元方法求解弹性力学问题的一般原理和步骤有限元方
2、法求解弹性力学问题的一般原理和步骤.第第 2 章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式单元位移模式及插值函数单元位移模式及插值函数平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式典型典型 3 结点三角形单元结点编结点三角形单元结点编码为码为 i, j, m (逆时针逆时针方向为正方向为正)每个结点的位移每个结点的位移( 2 个个)每个单元的结点位移每个单元的结点位移( 6 个个)3 结点三角形单元位移模式选取结点三角形单元位移模式选取一次多项式一次多项式单元的位移模式及插值函数单元的位移模式及插值函数平面问题平面问题 3 结点三
3、角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 是待定系数是待定系数,称为称为广义坐标广义坐标,可以用单可以用单元的元的 6 个结点位移表示个结点位移表示结点结点 i ( xi,yi )的的x方向位移方向位移ui同理同理平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式求求广义坐标广义坐标线性代数方程系数行列式线性代数方程系数行列式A是三角形单元的面积是三角形单元的面积平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式其中其中下标可以轮换下标可以轮换平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式结点结点 i ( xi,
4、yi )的的y方向位移方向位移vi结点位移表示的位移函数结点位移表示的位移函数其中其中 称为单元的称为单元的插值函数或形函数插值函数或形函数,是是 x, y 的一次的一次函数函数.平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式结点位移表示的位移函数结点位移表示的位移函数N 称为称为插值函数矩阵或形函数矩阵插值函数矩阵或形函数矩阵平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式形函数形函数性质性质结点上结点上形函数形函数的值的值单元中任一点各单元中任一点各形函数形函数之和之和等于等于 1 x 方向有刚体位移方向有刚体位移 u0 ,则则若若形函
5、数形函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用这不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用这形函数求解就得不到正确结果形函数求解就得不到正确结果3 结点三角形单元的结点三角形单元的形函数形函数是是线性的线性的，在单元内部及边界上的，在单元内部及边界上的位移可由结点位移唯一确定位移可由结点位移唯一确定相邻单元公共边界上位移连续相邻单元公共边界上位移连续平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵单元位移单元位移单元应变单元应变B 称为称为应变矩阵应变矩阵，L 是平面问题的是平面问题的微分算子微分算子应力和应变应力和应变几何方程
6、几何方程物理方程物理方程平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵应变矩阵应变矩阵 B 的分块子矩阵的分块子矩阵平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵单元应力单元应力其中其中S 称为称为应力矩阵应力矩阵，其分块矩阵为，其分块矩阵为平面应力平面应力平面应变平面应变平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程最小位能原理的泛函总位能最小位能原理的泛函总位能对对离散模型离散
7、模型，系统位能是，系统位能是各单元位能的和各单元位能的和结构结点位移结构结点位移平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程其中其中 n 为结构的为结构的结点数结点数平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程离散形式的总位能离散形式的总位能单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元等效结点荷载列阵单元等效结点荷载列阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵结构结点荷载列阵结构结点荷载列阵平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形
8、单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程离散形式的总位能离散形式的总位能 p的未知变量是结构的结点位移的未知变量是结构的结点位移 a，泛函，泛函 p取驻值的条件为取驻值的条件为有限元求解方程有限元求解方程即即平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵特征3 结点三角形单元的应变矩阵是常量阵结点三角形单元的应变矩阵是常量阵单元刚度分块矩阵单元刚度分块矩阵对称性对称性平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵特征对称性对称性利用最小位能原理建立
9、单元的平衡方程利用最小位能原理建立单元的平衡方程单元刚度矩阵元素的物理意义单元刚度矩阵元素的物理意义平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵元素的物理意义单元刚度矩阵元素的物理意义单元结点平衡方程单元结点平衡方程令令第一列元素第一列元素的物理意义的物理意义:当当a1=1时，其他结点位移为零，需要在时，其他结点位移为零，需要在单元各结点位移方向上施加单元各结点位移方向上施加结点结点力力的大小的大小平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵元素的
10、物理意义单元刚度矩阵元素的物理意义单元在结点力作用下处于平衡状态单元在结点力作用下处于平衡状态元素元素 Kij 的物理意义的物理意义:当单元的第当单元的第 j 个结点位移为单位位移而个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需要在单元第其他结点位移为零时，需要在单元第 i 结点方向上施加的结点方向上施加的结点力结点力的大小的大小 x 方向方向 y 方向方向平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵特征奇异性奇异性单元刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵单元刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵 任意刚体位移任意刚体位移物理解释：单元平衡时，物理解释
11、：单元平衡时，结点力结点力相互相互不独立不独立，必须满足三个，必须满足三个平衡方程平衡方程单元的平衡方程单元的平衡方程平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵特征主元恒元主元恒元分块矩阵分块矩阵 Krs 当当 r=s=i,j,m 时，主元时，主元 K1 和和 K4 恒正恒正物理解释：要使结点位移物理解释：要使结点位移 ai=1 ,施加在施加在 ai 方向的方向的结点力结点力必须必须与位移与位移 ai 同向同向平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载单元等效结点荷载列阵
12、单元等效结点荷载列阵结构结点荷载列阵结构结点荷载列阵均质等厚单元的自重均质等厚单元的自重例例1yxoiPiyPixPmymPmxjPjyPjx平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载结点的等效结点荷载结点的等效结点荷载等效结点荷载列阵等效结点荷载列阵平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载单元等效结点荷载列阵单元等效结点荷载列阵均布侧压均布侧压q，作用在，作用在 ij 边边例例2yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyq L单元边界上的面积力单元边界上的面
13、积力平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载单元边界上取局部坐标单元边界上取局部坐标 s，沿，沿 ij边插值函数为边插值函数为yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyq Ls结点的等效结点荷载结点的等效结点荷载同理同理平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyq Ls结点的等效结点荷载结点的等效结点荷载同理同理平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点
14、荷载在在 ij 边上边上 x 方向均布力方向均布力 q例例3等效结点荷载等效结点荷载yxojPjxPjyPixiPiymPmxPmyq单元边界上的面积力单元边界上的面积力平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载在在 ij 边上边上 x 方向三角形布荷载方向三角形布荷载例例4等效结点荷载等效结点荷载单元边界上的面积力写成局部坐标单元边界上的面积力写成局部坐标的函数的函数yxojPjxPjyPixiPiymPmxPmyq平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成结构
15、刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成单元刚度矩阵的转换单元刚度矩阵的转换平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成单元刚度矩阵的转换单元刚度矩阵的转换其中其中 n 为结点总数；为结点总数；i、j、m为单元结点码为单元结点码.平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成单元等效结点荷载的转换单元等效结点荷载的转换平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式结构刚度矩阵
16、的特点结构刚度矩阵的特点对称性对称性奇异性奇异性稀疏性稀疏性非零元素呈带状分布（非零元素呈带状分布（结点编号合理结点编号合理）平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式引入位移边界条件引入位移边界条件求解位移场的问题，需要引入消除刚体位移的边界条件。求解位移场的问题，需要引入消除刚体位移的边界条件。直接代入法直接代入法将已知结点位移的自由度消去，得到修正方程，用以求解将已知结点位移的自由度消去，得到修正方程，用以求解其他结点位移。其他结点位移。重新组合方程重新组合方程待定结点位移待定结点位移已知结点位移已知结点位移为相应的刚度、荷载矩阵的分块矩阵为相应的刚度、荷
17、载矩阵的分块矩阵.平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式引入位移边界条件引入位移边界条件直接代入法直接代入法已知已知重组方程后，将重组方程后，将已知项已知项和和未知项未知项分别移置到方程的右边和左边。分别移置到方程的右边和左边。重组的方程阶数低了，但是结点位移的顺序已被破坏，导致程序重组的方程阶数低了，但是结点位移的顺序已被破坏，导致程序编制困难。编制困难。平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式引入位移边界条件引入位移边界条件给定位移值为零时，在给定位移值为零时，在 K 中将与零结点位移相对应的行列中，将中将与零结点位移相
18、对应的行列中，将主对角元素改为主对角元素改为1，其他元素改为，其他元素改为0；在荷载列阵中将与零结点位；在荷载列阵中将与零结点位移相对应的元素改为移相对应的元素改为0。对角元素改对角元素改 1 法法（不改变方程（不改变方程阶数阶数和结点和结点编号顺序，编号顺序，适用于适用于位移为零位移为零）平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式引入位移边界条件引入位移边界条件对角元素乘大数法对角元素乘大数法结点位移为给定值结点位移为给定值 时，第时，第 j 个方程作如下改动：对角元个方程作如下改动：对角元素素 中乘以大数中乘以大数 （ 左右量级），并左右量级），并将将 用用
19、 取代。取代。平面问题平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式引入位移边界条件引入位移边界条件对角元素乘大数法对角元素乘大数法修改后第修改后第 j 个方程个方程对于任意给定位移均适用，这种方法不改变方程的阶数和结点对于任意给定位移均适用，这种方法不改变方程的阶数和结点位移顺序，程序编制方便。位移顺序，程序编制方便。广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式选择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则位移模式位移模式以广义坐标以广义坐标 为待定参数的为待定参数的有限项多项式有限项多项式作为近似函数作为近似函数广义坐标个数与结点自由数相等广义坐标个数
20、与结点自由数相等有限项多项式选取的一般原则有限项多项式选取的一般原则单元单元结点自由数结点自由数广义坐标广义坐标u多项式多项式v多项式多项式3结点三角形结点三角形66334结点矩形结点矩形8844常数项和坐标的一次项必须完备常数项和坐标的一次项必须完备常数项和一次项反映单元刚体位移和常应变的特性，单元缩小于常数项和一次项反映单元刚体位移和常应变的特性，单元缩小于一点时，单元应变趋于一点时，单元应变趋于常应变常应变。位移模式能描述由于其他单元变。位移模式能描述由于其他单元变形而通过结点位移引起形而通过结点位移引起单元刚体位移单元刚体位移。广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式选
21、择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则位移模式位移模式以广义坐标以广义坐标 为待定参数的为待定参数的有限项多项式有限项多项式作为近似函数作为近似函数多项式选取应由低阶到高阶，尽量取完全多项式以提高精度多项式选取应由低阶到高阶，尽量取完全多项式以提高精度有限项多项式选取的一般原则有限项多项式选取的一般原则单元边单元边单元单元多项式多项式2个结点个结点3结点三角形结点三角形4结点矩形结点矩形8结点六面体结点六面体保证一次完全保证一次完全3个结点个结点6结点三角形结点三角形8结点矩形结点矩形20结点六面体结点六面体保证二次完全保证二次完全广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一
22、般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式1.以广义坐标以广义坐标 表示单元内位移表示单元内位移 u2 D 问题问题三角形常应变单元三角形常应变单元广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式2.以单元结点位移表示广义坐标以单元结点位移表示广义坐标 结点位移重写成结点位移重写成三角形常应变单元三角形常应变单元广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式3.以单元结点位移表示单元位移函数以单元结点位移表示单元位移函数u三角形常应变单元三角形常应变单元广义坐标有限单元
23、法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式4.以单元结点位移表示单元应力和应变以单元结点位移表示单元应力和应变三角形常应变单元三角形常应变单元有初应力有初应力 和初应变和初应变 时时广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式5.利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程系统总位能的离散形式系统总位能的离散形式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式5.利用最小位能原理建立离散体系的结
24、点平衡方程利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程其中其中是结点集中力列阵是结点集中力列阵广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式6.引入强制边界条件引入强制边界条件7.解方程得到结点位移解方程得到结点位移8.辅助计算辅助计算困难困难位移函数选择不当时，位移函数选择不当时， 可能不存在可能不存在结点较多时，解广义坐标比较繁琐。结点较多时，解广义坐标比较繁琐。利用利用自然坐标自然坐标构造单元的插值函数构造单元的插值函数有限元解的性质和收敛性有限元解的性质和收敛性有限元解的收敛准则有限元解的收敛准则准则准则 1 完备性要求完备性要求
25、如果在泛函中场函数的如果在泛函中场函数的最高阶导数最高阶导数 m 为，则有限元解的收敛条为，则有限元解的收敛条件之一是单元内场函数的试函数至少是件之一是单元内场函数的试函数至少是 m 次完全多项式次完全多项式。或者。或者说试探函数中必须包括说试探函数中必须包括本身和直至本身和直至 m 阶导数为常数的项阶导数为常数的项。待求标量场函数的微分方程待求标量场函数的微分方程相应泛函相应泛函准则准则 2 协调性要求协调性要求如果在泛函中场函数的如果在泛函中场函数的最高阶导数最高阶导数 m 为，则试函数在单元交为，则试函数在单元交界面上必须具有界面上必须具有 Cm-1 连续性连续性，即在相邻单元的交界面上
26、应有，即在相邻单元的交界面上应有函数直至函数直至 m-1 阶的连续导数阶的连续导数。矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元单元有单元有 8 个结点自由度个结点自由度相邻单元的边界公共点上有共同的结点位移值，因此位移在公共相邻单元的边界公共点上有共同的结点位移值，因此位移在公共边界的连续性。这种位移模式是边界的连续性。这种位移模式是完备、协调的完备、协调的。u1v1aau2v2u4v4u3v3bb2341y,x, 广义坐标广义坐标位移多项式位移多项式位移模式为双线性位移模式，具有完全一次式的非完全二次式。位移模式为双线性位移模式，具有完全一次式的非完全二
27、次式。矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元结点位移结点位移矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元位移模式位移模式令令矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元自然坐标自然坐标( , )与整体坐标与整体坐标(x,y)的的关系关系单元形心位置为（单元形心位置为（x0,y0）u1v1aau2v2u4v4u3v3bb2341 xy自然坐标自然坐标( , )单元内单元内单元边单元边单元角点单元角点令令矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元单
28、元应变单元应变单元位移单元位移矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元单元应力单元应力单元位移单元位移矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元应力矩阵的分块矩阵应力矩阵的分块矩阵单元刚度矩阵分块形式单元刚度矩阵分块形式矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元4 结点矩形单元结点矩形单元单元厚度单元厚度 t 是常量是常量其中其中矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元高精度三角形单元高精度三角形单元1.二次单元：二次单元：6 结点三角形单元结点三角形单元位移函数取完全的二次多项式位移函数取完全
29、的二次多项式563241位移函数中的常数项和完整的一次多项式满足收敛条件对完备位移函数中的常数项和完整的一次多项式满足收敛条件对完备性的要求。性的要求。单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公共结点正好保证相单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公共结点正好保证相邻单元位移的连续性，满足协调性的要求。邻单元位移的连续性，满足协调性的要求。矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元高精度三角形单元高精度三角形单元2.三次单元：三次单元：10 结点三角形单元结点三角形单元位移函数取完全的三次多项式位移函数取完全的三次多项式单元边界上位移按三次曲线分布，单元边界上位移按三次曲线分布，4 个公共
30、结点正好保证相邻个公共结点正好保证相邻单元位移的连续性，满足协调性的要求。单元位移的连续性，满足协调性的要求。563241789106 结点、结点、10结点三角形单元结点三角形单元求解广义求解广义坐标坐标以及刚度、等效结点以及刚度、等效结点荷载计算等很繁琐。如果采用荷载计算等很繁琐。如果采用面积坐标面积坐标作为自然坐标，则可以作为自然坐标，则可以很方便地建立单元的插值函数。很方便地建立单元的插值函数。矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标面积坐标j(0,1,0)i(1,0,0)m(0,0,1)AiAmAjpdidLi=0Lm=0Lj=0三角形中任一点三角形中任一点 P 与
31、其三个角点相与其三个角点相连形成三个子三角形。连形成三个子三角形。点点 P(x,y)的位置用三个比值确定的位置用三个比值确定矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标与直角坐标的转换关系面积坐标与直角坐标的转换关系j(xj,yj)i(xi,yi)m(xm,ym)AiAmAjP(x,y)xy三角形三角形 的面积的面积矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标与直角坐标的转换关系面积坐标与直角坐标的转换关系面积坐标面积坐标 Li , Lj , Lm 与与3结点三角形单元的形函数结点三角形单元的形函数 Ni , Nj , Nm 完完全相同。全相同。矩阵形式矩阵形式
32、矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标的微积分运算面积坐标的微积分运算矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标的微积分运算面积坐标的微积分运算面积坐标的幂函数在三角形全面积上的积分公式面积坐标的幂函数在三角形全面积上的积分公式面积坐标的幂函数在三角形某一边（面积坐标的幂函数在三角形某一边（ ij 边边 ）上的积分公式）上的积分公式有关积分有关积分矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标给出的三角形单元插值函数面积坐标给出的三角形单元插值函数线性单元：线性单元：3 结点三角形单元结点三角形单元132L3=0L2=0L1=0插值函数是线
33、性函数，即三角形插值函数是线性函数，即三角形单元的三个面积坐标。单元的三个面积坐标。矩形单元和高精度三角形单元矩形单元和高精度三角形单元面积坐标给出的三角形单元插值函数面积坐标给出的三角形单元插值函数二次单元：二次单元：6 结点三角形单元结点三角形单元对每个结点对每个结点 i，可选择通过可选择通过除除 i 点点以外以外的所有结点的两条直线，利的所有结点的两条直线，利用用直线方程的左部直线方程的左部作为线性函数作为线性函数来构造插值函数。来构造插值函数。132L3=0L2=0L1=0456角点角点 12-3直线和直线和4-6直线，并使结点直线，并使结点1 上上角点角点 2、3统一写作统一写作三个
34、边中点三个边中点轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式3 结点三角形环状单元的插值函数及结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵应力应变矩阵位移模式和插值函数位移模式和插值函数线性位移模式线性位移模式单元结点位移单元结点位移其中其中轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵位移模式和插值函数位移模式和插值函数插值函数插值函数单元内位移单元内位移矩阵形式矩阵形式轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵单元应变
35、和应力单元应变和应力其中其中应变应变轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式3 结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵单元应变和应力单元应变和应力应力分块矩阵应力分块矩阵应力应力轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式3 结点三角形环状单元的单元刚度矩阵结点三角形环状单元的单元刚度矩阵为了简化计算，单元中随点而变化的为了简化计算，单元中随点而变化的 r,z 用单元截面形心处的用单元截面形心处的坐标坐标 来近似。来近似。应变矩阵应变矩阵B应力矩阵应力矩阵S常量阵常量阵A是三角形环状单元的面积是三角形环状单元的面积轴对称问题的有限元格式轴对称问
36、题的有限元格式3 结点三角形环状单元的单元刚度矩阵结点三角形环状单元的单元刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵的每一子块的每一子块广义坐标有限单元法的一般格式广义坐标有限单元法的一般格式其中其中集中力应是作用在一圈结点上集中力的总量。集中力应是作用在一圈结点上集中力的总量。ri是结点是结点 i 的坐的坐标，标，Fir、Fiz作用在结点作用在结点 i 圆周每单位长度上的集中荷载在圆周每单位长度上的集中荷载在 r 和和 z 方向的分量。方向的分量。3 结点环状单元的等效结点荷载结点环状单元的等效结点荷载空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元位移函数位移函数以四个角点以四个角点 i、j、m
37、、p为结为结点。每个结点有点。每个结点有 3 个自由度，个自由度，一个单元有一个单元有 12 个自由度。个自由度。线性位移模式线性位移模式其中其中空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元位移函数位移函数其中其中空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元位移函数位移函数求出求出 后代入位移函数得后代入位移函数得其中其中空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元其中其中V是四面体是四面体ijmp的体积，单元结点的体积，单元结点编号编号 i, j, m, p 必须依照一定的顺必须依照一定的顺序，以保证不为负值。在右手坐序，以保证不为负值。在右手
38、坐标系中，当按照标系中，当按照 ij m 的方向的方向转动时，右手螺旋应向转动时，右手螺旋应向 p 的方向的方向前进。前进。空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元单元位移的矩阵表示单元位移的矩阵表示其中其中I 是三阶单位矩阵是三阶单位矩阵位移函数是线性的，相邻单元交界面上的位移是连续的，常应位移函数是线性的，相邻单元交界面上的位移是连续的，常应变四面体元是协调元。变四面体元是协调元。空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩阵 B 是常量阵是常量阵空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元单元刚度矩阵单元刚
39、度矩阵分块矩阵分块矩阵空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元单元刚度矩阵分块矩阵的元素单元刚度矩阵分块矩阵的元素空间问题有限元空间问题有限元六面体单元六面体单元一次单元一次单元以以8个角点为结点的六面体。每个结个角点为结点的六面体。每个结点有点有 3 个自由度，一个单元有个自由度，一个单元有 24 个个自由度。自由度。位移模式位移模式其中其中空间问题有限元空间问题有限元六面体单元六面体单元二次单元二次单元以角点以及每边中点为结点的六面以角点以及每边中点为结点的六面体，共有体，共有 20 结点。每个结点有结点。每个结点有 3 个个自由度，一个单元有自由度，一个单元有 60 个自由度。个自由度。位移模式位移模式其中其中
