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1、陕西省西安市5校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1若,当取最小值时,x的值等于( )A.B.C.D.2如图,在平行六面体中,若,则有序实数组( )A.B.C.D.3已知空间中三个点、组成一个三角形，分别在线段、上取D、E、F三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为( )A.B.C.D.4已知直线和直线，下列说法不正确的是( )A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限5已知直线与圆,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )A.1B.C.D.6过圆上的动点作圆的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆C
2、不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.B.C.D.7已知椭圆,则下列关于椭圆C的说法正确的是( )A.离心率为B.焦点为C.长轴长为4D.椭圆C上的点的横坐标取值范围为8意大利数学家斐波那契在1202年所著的算盘全书中,记载有数列,.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列,则数列的前100项和为( )A.100B.99C.67D.669设数列的前n项和为,则“对任意,”是“数列为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件10已知,函数,若在上是单调减函数,则a的取值范围是( )A.B.C.D.11设点P在曲线
3、上,点Q在曲线上,则的最小值为( )A.B.C.D.二、多项选择题12若函数,则( )A.函数只有极大值没有极小值B.函数只有最大值没有最小值C.函数只有极小值没有极大值D.函数只有最小值没有最大值三、填空题13圆的圆心到直线的距离_.14已知N为抛物线上的任意一点,M为圆上的一点,则的最小值为_15定义在R上的奇函数的导函数满足,且,若,则不等式的解集为_.四、双空题16在四棱锥中,面,四边形为直角梯形,则平面与平面夹角的余弦值为_,异面直线与的距离为_五、解答题17如图,三棱柱的侧棱底面,E是棱上的动点,F是的中点,（1）当E是棱的中点时,求证：平面;（2）在棱上是否存在点E,使得二面角的
4、余弦值是？若存在,求出的长;若不存在,请说明理由18已知圆心为C的圆经过点,.（1）求圆C的标准方程;（2）已知在圆C外,求a的取值范围.19如图1,已知抛物线的方程为,直线l的方程为,直线l交抛物线于,两点,O为坐标原点.（1）若,求的面积的大小;（2）的大小是否是定值？证明你的结论;（3）如图2,过点A,B分别作抛物线的切线和（两切线交点为P）,分别与x轴交于M,N,求面积的最小值.20已知等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,若,且,成等差数列（1）求数列,的通项公式;（2）记,数列的前n项和为,数列的前n项和为,若对任意正整数n,恒成立,求实数m的取值范围21已知函数（1）求函数的单
5、调区间与极值;（2）求函数在区间上的最值参考答案1答案：C解析：因为, ,所以,则,当时,取最小值,故选：C.2答案：C解析：由题意得,结合可得,故,故选：C.3答案：B解析：如图所示：先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点，利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心O，从而，即，不妨设垂心，坐标原点为，则，所以有，即垂心O的坐标满足，又A，B，C，O四点共面，从而由四点共面的充要条件可知，从而，结合，解得，.故选：B.4答案：B解析：，即始终过定点，故A正确.若，当则与重合，故B错误.或，故C正确.当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：B.5答案：
6、B解析：圆, 圆心为,半径,圆心到直线的距离为,直线和圆相离,故圆C上的点到直线l的距离的最小值为.故选:B.6答案：A解析：设圆的动点为,过P作圆C的切线,切点分别为A,B,则过P,A,B的圆是以直径的圆,该圆的方程为：.由可得的直线方程为：.原点到直线的距离为,故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为,故选：A.7答案：C解析：由椭圆方程,可知,所以,所以,故A错误;由方程可知,焦点在x轴上,故焦点坐标为,故B错误;长轴长为,故C正确;因焦点在x轴上,所以椭圆C上的点的横坐标的取值范围是,即为,故D错误.故选：C.8答案：C解析：因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1,偶数除以2所得的
7、余数都是0,因为,且,所以为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,所以,所以数列是周期数列,周期为3,所以数列的前100项和为：.故选：C.9答案：A解析：数列中,对任意,则,所以数列为递增数列,充分性成立;当数列为递增数列时,即,所以,如数列-1,2,2,2,不满足题意,必要性不成立;所以“对任意,”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.10答案：C解析：因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时,恒成立当时,令,可知双刀函数,在上为增函数,所以即所以选：C.11答案：B解析：函数与函数互为反函数,函数与函数的图象关于直线对称,的最小值是点P
8、到直线的最短距离的2倍,设曲线上斜率为1的切线为,由得,即切点为,切线到直线的距离,P,Q两点间的最短距离为故选：B12答案：CD解析：,单调递增,由,则,;,函数有唯一极小值,即最小值,没有极大值、最大值.故选：CD.13答案：3解析：由已知可得圆的标准方程为,圆心为,所以圆心到直线的距离,故答案为：3.14答案：解析：根据题意可得抛物线与圆都关于y轴对称,且圆的圆心坐标为,半径为2.因为,圆下方与y轴交点坐标为,取线段中点E,中点D,可得,连接,画出示意图如上图所示.因为C、E分别为和的中点,所以,所以,又因为,所以,所以,因为,所以,所以,当且仅当D、M、N三点共线时取到等号,此时M点为
9、线段与圆的交点.所以的最小值即为的最小值.因为N为抛物线上的任意一点,设,因为,则,当时,即的最小值为.故答案为：.15答案：解析：令,则,所以在R上递减,又,则,即,所以是以4为周期周期函数,又,则,所以,则,所以不等式的解集为,故答案为：.16答案：.解析：第一空,面,面,又, ,两两垂直以A为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,设,分别为平面与平面的法向量,则,即,令,取,即,令,取,则,设平面与平面的夹角为,则,平面与平面夹角的余弦值为第二空,如图,取中点M,连接,四边形为平行四边形,面,面,面,与的距离为到面的距离,即点C到面的距离设
10、点C到面的距离为h,由,得,解得,异面直线与的距离为故答案为：,.17答案：（1）证明见解析;（2）存在,.解析：（1）证明：取的中点G,连接、G分别是、的中点,且,在三棱柱中,且,为中点,则且,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,平面;（2）以C为坐标原点,射线、分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则、,设,平面的一个法向量为,则,由,得,令,可得,易得平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,即整理得,解得.因此,在棱上存在点E,使得二面角的余弦值是,此时18答案：（1）;（2）.解析：（1）设圆C的标准方程为：,代入,得,解得：,所以圆C的标准方程为：;（2
11、）因为在圆C外,所以,又因为,所以,解得或,所以a的取值范围为：.19答案：（1）1（2）见解析（3）解析：（1）当时,直线l的方程为,由解得,所以的面积为.（2）由（1）中发现等腰直角三角形,猜测.证明：,得,即,所以,所以为定值.（3）,对函数求导得到,所以方程为,整理得,同理方程为,分别令得到,解得,由第（2）小题,得到,所以,所以面积的最小值为.20答案：（1）,（2）解析：（1）因为,成等差数列,所以,又因为,成等差数列,所以,得,由得,所以,.（2）,.令,则,则,所以,当时,当时,所以的最小值为.又恒成立,所以,21答案：（1）单调递增区间是,单调递减区间是,极大值是,极小值是（2）最大值为,最小值为解析：（1）令,得或;令,得,所以的单调递增区间是,单调递减区间是所以的极大值是,的极小值是（2）因为,由（1）知,在区间上,有极小值,所以函数在区间上的最大值为,最小值为
