线性代数16方阵的行列式ppt课件

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1、第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 回想回想: 1.5一开一开场提出的提出的问题. 习题1(B)第第17题: a11 a12 a21 a22A = 可逆可逆 一一阶阶方方阵阵a可逆可逆 a 0. a11a22 a12a21 0 a11 a12 a21 a22 D = 0. 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 1.6 方方阵的行列式的行列式 历史上史上, 行列式因行列式因线性方程性方程组的求解而被的求解而被发明明 G. W. Leibniz德德 (1646.7.11

2、716.11.14) (1646.7.11716.11.14) S. Takakazu日日 (1642?1708.10.24) (1642?1708.10.24) 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 (a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21 当当a11a22 a12a21 0时,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2 b1a

3、21.消元法消元法由方程由方程组的四个系数确定的四个系数确定. 由四个数排成二行二列横排称行、由四个数排成二行二列横排称行、竖排排称列的数表称列的数表定定定定义义即即一一. 行列式行列式(determinant)的定的定义 主对角线主对角线副对角线副对角线对角角线法那么法那么二阶行列式的计算二阶行列式的计算假假设记对于二元于二元线性方程性方程组系数行列式系数行列式第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 a11 a12 a21 a22记D = , b1 a12 b2 a22D1 = , a11 b1a21 b2D2 = ,那么当那么当

4、D = a11a22 a12a21 0时,=D1D=D2D.a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22a12a21有独一确定的解有独一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2 b1a21例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定定定定义义记记6 6式称式称为数表数表5 5所确定的三所确定的三阶行列式行列式. .(1)(1)沙路法沙路法三三阶行列式的行列式的计算算. .列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对对角角角角线线法那么法那么法那么法那么留意留意 红线上三元素的乘上三元素的乘积冠以正号，冠以正

5、号，蓝线上三上三元素的乘元素的乘积冠以冠以负号号阐明明1 对角角线法那么只适用于二法那么只适用于二阶与三与三阶行列式行列式第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例2. 1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2= = 14.14.第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 普通地普通地, 在在n阶行列式中行列式中, 把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去, 留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素行列式叫做元素aij的余子

6、式的余子式(minor), 记作作Mij, 令令Aij = (1)i+jMij, 并称之并称之为aij的代数余子式的代数余子式(cofactor). 例如例如, 四四阶阶行列式行列式中中中中a32a32的余子式的余子式的余子式的余子式为为 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a34a34a41 a42 a43 a41 a42 a43 a44a44a11 a13 a11 a13 a14 a14 a21 a23 a21 a23 a24 a24 a41 a43

7、a41 a43 a44a44M32=M32=, ,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A32 = (A32 = (1)3+2M32 = 1)3+2M32 = M32. M32. a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33a11的余子式的余子式: a22 a23 a32 a33M11 =代数余子式代数余子式: A11 = ( 1)1+1M11 a12的余子式的余子式: a21 a23 a31 a33

8、M12 =代数余子式代数余子式: A12 = ( 1)1+2M12 a13的余子式的余子式: M13 =代数余子式代数余子式: A13 = ( 1)1+3M13 a21 a22 a31 a32a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 3阶方方阵A = 的行列式的行列式|A|定定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33|A| =a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11A11 + a12A12 + a

9、13A13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 补充充. . 数学数学归纳法法(Principle of mathematical induction) (Principle of mathematical induction) 1. 第一数学第一数学归纳法原理法原理: 那么那么P P对于恣意的自然数于恣意的自然数n n n0n0成立成立. . 设P是一个关于自然数是一个

10、关于自然数n的命的命题, 假假设 P对于于n = n0成立成立. 当当nn0时, 由由“n = k时P成立可推出成立可推出 “n = k+1时P成立成立,第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 2. 第二数学第二数学归纳法原理法原理: 设P为一个关于自然数一个关于自然数n的命的命题, 假假设 P对于于n = n0成立成立, 由由“n0 n k时P成立可推出成立可推出 “n = k+1时P成立成立,那么那么P对于恣意的自然数于恣意的自然数nn0成立成立.第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列

11、式的行列式的行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann= a11A11+a12A12+a1nA1n 假假设n1阶行列式曾行列式曾经定定义, = a11(= a11( 1)1+1M11 + a12(1)1+1M11 + a12( 1)1+2M12 + + a1n (1)1+2M12 + + a1n ( 1)1+nM1n 1)1+nM1n n1阶行列式行列式 (Laplace Expansion of Determinants) (Laplace Expansion of Determinants) P.-S. Laplace P.-S. Laplace法法法法

12、 (1749.3.231827.3.5) (1749.3.231827.3.5) 那么定那么定义n阶行列式行列式 阐明阐明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数一程个数和未知量个数一样的一次方程的一次方程组的需求而的需求而定定义的的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为的符号为第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.

13、6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例2. 1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2= = 14.14.第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例3. 下三角形下三角形(lower triangular)行列式行列式 a11 0 0a21 a22 0 an1 an2 ann = a11 a22ann .例例4. 上三角形上三角形(upper triangular)行列式行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann= a11 a22ann . 第一章 (determ

14、innt) (determinnt)教学目的和要求教学目的和要求 ：1 1、了解行列式的性质。、了解行列式的性质。2 2、掌握行列式的计算方法。、掌握行列式的计算方法。3 3、了解伴随矩阵的定义及性质。、了解伴随矩阵的定义及性质。4 4、了解行列式的运用。、了解行列式的运用。本节重难点本节重难点 ：重点是掌握行列式的计算方法重点是掌握行列式的计算方法 ；伴随矩阵的定义及性质；伴随矩阵的定义及性质；难点是伴随矩阵的性质；难点是伴随矩阵的性质；第六节 行列式2第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 二二. 行列式的性行列式的性质 性性质

15、1. 1. 互互换行列式中的两列行列式中的两列, , 行列式行列式变号号. . 推推论. 假假设行列式行列式 D 中有两列完全一中有两列完全一样, 那么那么 D = 0.a11 a12 a21 a22例如例如 = a11a22 a12a21, a12 a11 a22 a21= a12a21 a11a22. 1 1 2 2 D = = 1 1 2 2 = D D = 0. 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 性性质2. (2. (线性性性性质) ) (1) det( (1) det(1, , k1, , kj, , j, , n)

16、 n) = kdet( = kdet(1, , 1, , j, , j, , n); n); (2) det( (2) det(1, , 1, , j+j+j, , j, , n) n) = det( = det(1, , 1, , j, , j, , n) n) + det( + det(1, , 1, , j, , j, , n). n). 现学学现用用 (1) 设A为n阶方方阵, 那么那么det(A) = _ det(A). ( 1)n (2) a+b c+d u+v x+y = . a c a c u x u x + + b d b d v y v y , , a c a c u x

17、u x + + a d a d u y u y + + b c b c v x v x + + b d b d v y v y . . 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 推推论. 假假设行列式行列式 D 中有两列元素成比例中有两列元素成比例, 那么那么 D = 0.a11 a1i ka1i a1n a11 a1i ka1i a1n a21 a2i ka2i a2na21 a2i ka2i a2n an1 ani kani annan1 ani kani ann= k0 = 0.= k0 = 0.= k= ka11 a1i a1

18、i a1n a11 a1i a1i a1n a21 a2i a2i a2na21 a2i a2i a2n an1 ani ani annan1 ani ani ann例例第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 性性质3. 把行列式的某一列的把行列式的某一列的k倍加到另一列倍加到另一列 上去上去, 行列式的行列式的值不不变.a11 (a1i + ka1j) a1j a1n a11 (a1i + ka1j) a1j a1n a21 (a2i + ka2j) a2j a2na21 (a2i + ka2j) a2j a2n an1 (ani

19、 + kanj) anj annan1 (ani + kanj) anj ann= =a11 a1i a1j a1n a11 a1i a1j a1n a21 a2i a2j a2na21 a2i a2j a2n an1 ani anj annan1 ani anj ann+ +a11 ka1j a1j a1n a11 ka1j a1j a1n a21 ka2j a2j a2na21 ka2j a2j a2n an1 kanj anj annan1 kanj anj ann第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例1. 1 2 1

20、2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 ( ( 2) 2) 1 0 1 0 4 4 =- =- 2 6 1 2 6 1 3 10 3 10 2 2 1 0 0 1 0 0 =- 2=- 2 ( ( 7) 7) 2 3 1 2 3 1 3 5 23 5 2 1 0 0 1 0 0= 14 = 14 2 0 12 0 1 3 3 1 2 1 2 1 0 0 1 0 0=- 14 =- 14 2 1 02 1 0 3 2 3 2 1 1= = 14.14. 4 4 1 0 0 1 0 0 =- =- 2 6 2 6 7 7 3 10 3 10 1414 ( ( 3) 3) 注注:

21、 此此题也可以用定也可以用定义或或对角角线法那么法那么计算算. 2 1 2 1 4 4 2 -2 1 2 -2 1 4 -3 4 -3 2 2=-=-第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 性性质4. 设A, B为同同阶方方阵, 那么那么|AB| = |A|B|. 性性质5. |AT| = |A| . 注注: 根据方根据方阵的性的性质5, 前面几条关于列的前面几条关于列的 性性质可以翻可以翻译到行到行 的情形的情形. 例如例如: 性性质1. 1. 互互换行列式中的两行行列式中的两行, , 行列式行列式变号号. . A. L. Cau

22、chyA. L. Cauchy法法法法 (1789.8.211857.5.23) (1789.8.211857.5.23) 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 定理定理1.7. n阶行列式行列式D等于它的恣意一行等于它的恣意一行 (列列) 的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘的代数余子式乘积 之和之和. 即即 D = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + + a2nA2n = = an1An1 + an2An2 + + annAnn = a11A11 + a21A21

23、 + + an1An1 = a12A12 + a22A22 + + an2An2 = = a1nA1n + a2nA2n + + annAnn . 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 性性质6. ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (i j). 定理定理1.8.设D = |aij|, 那么那么 aikAjk = D ij , k=1k=1n n akiAkj = D ij . k=1k=1n n注注: 克克罗内克内克记号号 ij

24、= 1, i = j,0, i j. L. KroneckerL. Kronecker德德德德 (1823.12.71891.12.29)(1823.12.71891.12.29)第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 三三. 行列式的行列式的计算算 1. 二二, 三三阶行列式行列式对角角线法那么法那么. 例例例例2 2 2 2 解解解解按按对角角线法那么，法那么，有有第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 2. 按某一行按某一行(列列)展开展开降降阶. 例例例例2 2

25、2 2例例3计算算解解评注此题是利用行列式的性质将所给行列评注此题是利用行列式的性质将所给行列式的某行列化成只含有一个非零元素，然后式的某行列化成只含有一个非零元素，然后按此行列展开，每展开一次，行列式的阶数按此行列展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进展，直到行列式能直接阶，如此继续进展，直到行列式能直接计算出来为止普通展开成二阶行列式这种计算出来为止普通展开成二阶行列式这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用练习计算算 见 P52 253第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式

26、 (其中其中n 2,x a). Dn= x a a a x a a a x 例例4. 计算算n阶行列式行列式 3. 利用初等利用初等变换化化为三角形三角形. 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 Dn=x a a a x a a a xx+(n1)a a a x+(n1)a x a x+(n1)a a x = 解解: : (1) 1) x+(n1)a a a a a 0 xa 0 0 0 0 0 xa 0 0 0 0 0 xa 0 0 0 0 0 xa = = x+(n1)a(xa)n1. 练习 计算算解法一解法二解法二第一章第一

27、章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 4. 递推推/归纳. (未写出的元素都是未写出的元素都是0). 例例5. 计算算2n阶行列式行列式 D2n = a b a b c d c d 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 解解解解: D2n= : D2n= : D2n= : D2n= = a = a . . . . . . . . . . . . .a a a a b b b 0 b 0 c c c c 0 0 d d d 0 d 0 0 d 0 d . . . . . . .

28、. . . . . . . . .0 a 0 a a a b b b b c c 0 c 0 c c 0 c 0 d d d d 0 0 . . . .+(+( 1)2n+1b 1)2n+1b . . . . . . . . . . . . .a 0 a 0 0 a 0 a a a b b c c d d d 0 d 0 0 d 0 d . . . .0 b 0 b b 0 b 0 0 c 0 c c 0 c 0 . . . . . . . . . .第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 = a= a. . . . . . . .

29、 . . . . .a a a a b b b 0 b 0 c c c c 0 0 d d d 0 d 0 0 d 0 d . . . . . . . . . . . . . . . .0 a 0 a a a b b b b c c 0 c 0 c c 0 c 0 d d d d 0 0 . . . .+(+( 1)2n+1b 1)2n+1b = ad D2(n= ad D2(n1) 1) bc D2(n bc D2(n1) 1) = (ad = (ad bc) D2(n bc) D2(n1) 1) = (ad = (ad bc)2D2(n bc)2D2(n2) 2) = (ad = (ad

30、bc)3D2(n bc)3D2(n3) 3) = = (ad = = (ad bc)n bc)n1 D2 1 D2 = (ad = (ad bc)n. bc)n. 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例6. 证明明n阶级(n 2)范德蒙行列式范德蒙行列式 Dn = Dn = 1 1 1 1 1 1a1 a2 ana1 a2 ana12 a22 an2a12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1 a1n-1 a2n-1 an n-1 = = (ai (ai aj). aj). n n i j i j 1 1 Al

31、exandre-Thophile Vandermonde Born: 28 Feb 1735 in Paris, France Died: 1 Jan 1796 in Paris, France 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 四四. 行列式的运用行列式的运用 设A = aijnn为方方阵, 元素元素aij的代数余子的代数余子 式式为Aij, 那么称如下矩那么称如下矩阵 A* =A11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 为方方阵A的伴随矩的伴随矩阵(adjoint). 1. 伴随矩伴随矩阵与逆矩

32、与逆矩阵 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例7. 求求A = a b c d 的伴随矩的伴随矩阵. 解解: A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a. A* = A11 A21 A12 A22 = d b c a . 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例8. 设A为方方阵, A*为其伴随矩其伴随矩阵. 证明明: AA* = A*A = |A|E.证明明: AA* = a11 a1n an1 ann A11 An1A1n Ann

33、 = n n n n a1kA1k a1kA1k a1kAnk a1kAnk k=1 k=1 k=1 k=1 n n n n a1kA1k a1kA1k a1kAnk a1kAnk k=1 k=1 k=1 k=1 = |A| |A| . 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 定理定理1.9.方方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A| 0. 当当|A| 0时, 有有 A1 =|A| 1A*. 推推论. 设A, B为方方阵, 假假设AB = E(或或BA = E), 那么那么B = A1. 现实上上, AB = E |A|

34、 0 A可逆可逆 B = EB = (A 1A)B = A1(AB) = A1E = A1. A非奇特非奇特(nonsingular) 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例9. 求以下方求以下方阵的逆矩的逆矩阵.(1) A = (1) A = 1 2 1 2 3 4 3 4 , , 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 2 1 3 4 3 3 4 3 (2) B = (2) B = . . 解解解解: (1): (1) A A1 = 1 = |A| |A| 1 1A* A* = = 2 2 1 1 4 4 2 2 3 1

35、3 1 . . (2) |B| = 2 (2) |B| = 2 0, 0, B B1 = 1 = |B| |B| 1 1B* B* B11 = (B11 = (1)1+1 1)1+1 2 12 14 34 3= 2, = 2, B21 =6, B21 =6, B31 = B31 = 4, B12 = 4, B12 = 3, B22 = 3, B22 = 6, B32 = 5, 6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2. 2. = = 2 2 1 1 2 6 2 6 4 4 3 3 6 5 6 5 2 2 2 2

36、2 2 . . 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例10. 设方方阵A满足足A2+3AE = 0. 证明明: A及及A2E可逆可逆, 并求它并求它们的逆矩的逆矩阵. 定理定理1.10. 分分块对角矩角矩阵A =diag(A1, A2, , As) 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是: A1, A2, , As都可逆都可逆. 当当A1, A2, , As都可逆都可逆时, A1 = diag(A11, A21, , As1). 类似题 P54 34n n例例例例10 10 P47 4P47 4n n知知知知 ，求，求，求，

37、求A-1A-12. 克拉默法那么克拉默法那么(Cramers Rule) 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 G. CramerG. Cramer瑞士瑞士瑞士瑞士 (1704.7.311752.1.4) (1704.7.311752.1.4) C. MaclaurinC. Maclaurin英英英英 (1698.21746.6.14) (1698.21746.6.14) 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 可以表示可以表示为Ax = b. 那么那么线性方程性方程组

38、 x1x1x2x2xn xn 记x = , ,b1b1b2b2bm bm b = b = , , A = A = a11 a12 a1na11 a12 a1na21 a22 a2na21 a22 a2n am1 am2 amn am1 am2 amn , ,下面下面讨论A为n阶方方阵的情形的情形. 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 对于于n元元线性方程性方程组记记D = D = a11 a12 a1n a11 a12 a1n a21 a22 a2na21 a22 a2n an1 an2 annan1 an2 ann, D1 =

39、, D1 =b1 a12 a1n b1 a12 a1n b2 a22 a2nb2 a22 a2n bn an2 ann bn an2 ann , ,D2 =D2 =a11 b1 a1n a11 b1 a1n a21 b2 a2n a21 b2 a2n an1 bn ann an1 bn ann , , Dn =, , Dn =. .a11 a12 b1 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a21 a22 b2 an1 an2 bn an1 an2 bn 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 定理定理1.11. 设A为n阶方

40、方阵, |A| 0, 那么方程那么方程组 有独一解有独一解: Ax = b , x1 = D1 D x2 = D2 D , , xn =Dn D . 证明明: |A| 0 1 D A*b x = A 1b = = 1 D A11 An1 A1n Ann b1 bn x1 xn n总结n(1)(1)行列式的行列式的6 6个性个性质n(2)(2)计算行列式常用方法：算行列式常用方法：n 利用定利用定义; ;n 利用性利用性质把行列式化把行列式化为上三角形行列上三角形行列n式，从而算得行列式的式，从而算得行列式的值n作业33，第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列

41、式的行列式的行列式的行列式 例例6. 证明明n阶级(n 2)范德蒙行列式范德蒙行列式 Dn = Dn = 1 1 1 1 1 1a1 a2 ana1 a2 ana12 a22 an2a12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1 a1n-1 a2n-1 an n-1 = = (ai (ai aj). aj). n n i j i j 1 1 Alexandre-Thophile Vandermonde Born: 28 Feb 1735 in Paris, France Died: 1 Jan 1796 in Paris, France 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1

42、.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 =1 1 1 11 1 1 10 a20 a2 a1 a3a1 a3 a1 an a1 an a1 a10 a2(a20 a2(a2 a1) a3(a3a1) a3(a3 a1) an2 (ana1) an2 (an a1) a1) 0 a2n-2(a20 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(ana1) ann-2(an a1) a1) 现设现设等式等式等式等式对对于于于于(n(n 1)1)阶阶范德蒙行列式成立范德蒙行列式成立范德蒙行列式成立范德蒙行列式成立, , 那么那么那么那么

43、证证明明明明: : 当当当当n =2n =2时时, D2 = (a2, D2 = (a2 a1). a1). Dn = Dn = 1 1 1 1 1 1a1 a2 ana1 a2 ana12 a22 an2a12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1 a1n-1 a2n-1 an n-1 ( ( a1) a1) ( ( a1) a1) ( ( a1) a1) 第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩阵阵 1.6 1.6 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) 1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1) a3(a3 a1) an2 (an a1) 0 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) (ai aj)n n i j i j 2 2= (ai aj).n n i j i j 1 1