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1、习题课习题课 一、一阶微分方程一、一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 类型类型 解法解法本章内容本章内容 2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 类型类型 解法解法 3.齐次方程齐次方程 类型类型 解法解法 令令 则原方程转变则原方程转变此此为可分离变量的微分方程为可分离变量的微分方程.为为 4.伯努利方程伯努利方程 类型类型解法解法 令令 则原方程变为则原方程变为为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程. 二、可降阶的二阶微分方程二、可降阶的二阶微分方程 1.类型类型方法方法 做做 次积分次积分. 2.类型类型方法方法 令令 则原方程转变为则原方程转变为新新方程是一个一阶微
2、分方程方程是一个一阶微分方程. 3.类型类型 方法方法 令令 则原方程转变为则原方程转变为新新方程是一个一阶微分方程方程是一个一阶微分方程. 三、二阶线性微分方程的解的结构三、二阶线性微分方程的解的结构 设设二阶二阶线性微分方程线性微分方程而而方程方程称其为方程称其为方程所对应的齐次方程所对应的齐次方程. 有有1.若若 是方程是方程的线性无关解的线性无关解, 则方程则方程有通解有通解2.若若 是方程是方程的特解的特解, 则方程则方程有通解有通解解的叠加定理解的叠加定理 四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程 1.二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程 设方程设方程相
3、应的特征方程为相应的特征方程为则则: 若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 则方程的通解为则方程的通解为若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 则方程的通解为则方程的通解为若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 则方程的通解则方程的通解为为 2.二阶常系非齐次数线性微分方程二阶常系非齐次数线性微分方程 设方程为设方程为则则方程有特解方程有特解其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式同次的多项式, 而而若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,若若 是特征方程的单根是特征方程的单根,若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根.另另: 若令若令 则则 满足满足设方程设方程则则方程有特
4、解方程有特解按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0.其中其中 是是 次的多项式次的多项式, 而而 例例 题题 选选 讲讲例例1 求解微分方程求解微分方程解解 此方程为一个可分离变量的微分方程此方程为一个可分离变量的微分方程. 分离变量后分离变量后因因得得两边积分后得两边积分后得即即此即为原此即为原方程的通解方程的通解.例例2 求解初值问题求解初值问题解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程做做变换变换 则有则有移项后得移项后得两边积分后得两边积分后得将将 代入代入, 有有由由初始条件初始条件 得得即即满足初始条件的解为满足初始条件的解为即原方程的解为即原方
5、程的解为例例3 求微分方程求微分方程解解 原方程变形为原方程变形为即即此是此是关于函数关于函数 的一阶非齐次线性微分方程的一阶非齐次线性微分方程,的通解的通解.由求解公式得由求解公式得例例4 求解方程求解方程解解 令令 则原式为则原式为此此方程为贝努利方程方程为贝努利方程, 由由积分公式积分公式, 得该方程的通解为得该方程的通解为再作变换再作变换 则有方程则有方程从而得到原方程的通解从而得到原方程的通解例例5 求解微分方程求解微分方程解解 由方程由方程得得解解 作变换作变换 则原方程为则原方程为令令 则有则有相应的通解为相应的通解为将将 代入上式代入上式, 得原方程的通解为得原方程的通解为解解
6、 所求曲线为所求曲线为 于是在点于是在点 处的曲率为处的曲率为（因曲线是向下凸的（因曲线是向下凸的, 故故 ）.例例6 在上半平面求一条向下凸的曲线在上半平面求一条向下凸的曲线, 其任一点其任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段处的曲率等于此曲线在该点的法线段 长度的倒数长度的倒数是法线与是法线与 轴的交点）轴的交点）, 且曲线在点且曲线在点 处的切线与处的切线与 轴平行轴平行.曲线曲线 在点在点 处的法线方程为处的法线方程为它它与与 轴的交点轴的交点 的坐标为的坐标为 于是于是由题由题设设 即即由此得由此得方程的解为方程的解为由由初始条件得初始条件得 即即令令于是方程为于是方程为这是不显含这
7、是不显含 的方程的方程. 初始条件为初始条件为积分得积分得再由再由初始条件得初始条件得 故所求曲线为故所求曲线为即即例例7 设在设在 时所定义的可微函数时所定义的可微函数 满足条件满足条件求求证证 原方程变形为原方程变形为两边求导两边求导, 得得证明证明 当当 时满足不等式时满足不等式令令 则原方程化为则原方程化为由由条件所设条件所设 即即 方程方程即即两边积分两边积分, 并由初始条件并由初始条件, 得得函数函数 在在 满足拉格郎日中值定理的条件满足拉格郎日中值定理的条件, 从而有从而有 故当故当 时时, 又当又当所以所以 当当 时单调增加时单调增加, 于是于是因此因此时时, 令令 则则即即
8、综合以上得综合以上得, 当当 时有时有,例例8 求解微分方程求解微分方程解解1 此方程为齐次方程此方程为齐次方程, 作代换作代换 则有则有分离变量后得分离变量后得,积分后得积分后得:即方程的通解为即方程的通解为从而有从而有 解解2 方程变形为方程变形为此方程为伯努利方程此方程为伯努利方程, 此时令此时令 则有则有故方程的通解为故方程的通解为代回原变量得代回原变量得, 例例9 求解下列方程求解下列方程1. 2.解解 1.此方程不含变量此方程不含变量即即方程的解为方程的解为为为故令变换故令变换此时方程此时方程变形为变形为即即所以所以, 方程的通解为方程的通解为2.此方程中不含变量此方程中不含变量
9、作变换作变换方程变形为方程变形为即有即有从而有从而有 由由 得方程的解为得方程的解为 由由即有即有从而从而积分得积分得从而得方程的通解从而得方程的通解例例10 求解初值问题求解初值问题解解 由方程由方程 得得方程两边同乘以方程两边同乘以 得得 即有即有积分得积分得 由初始条件得由初始条件得 故故从而得从而得 即即两边平方后得两边平方后得由条件由条件解为解为 且符号取正且符号取正, 即方程的特即方程的特例例12 求下列方程的通解求下列方程的通解1. 2.3.解解 1.特征方程为特征方程为由此得到方程的通解由此得到方程的通解: 2. 特征方程为特征方程为 因而齐次方程的通解为因而齐次方程的通解为由
10、于由于 为单根为单根, 故方程有特解故方程有特解:求导后得求导后得 代入方程后得代入方程后得其中其中比较系数后得比较系数后得所以所以,因而方程的通解为因而方程的通解为3.解解 特征方程为特征方程为 所以齐次方程所以齐次方程注意到注意到 不是特征方程的根不是特征方程的根, 故方程的特解故方程的特解可可求一阶及二阶导数后代入到原方程得求一阶及二阶导数后代入到原方程得 设为设为的通解为的通解为比较系数得比较系数得故原方程的通解为故原方程的通解为例例12 求解微分方程求解微分方程 解解 方程对应的特征方程为方程对应的特征方程为方程的解为方程的解为对方程对方程 设方程有解设方程有解解为解为所以齐次方程的
11、通解所以齐次方程的通解将将 代入上式代入上式, 得代数方程得代数方程, 有有比较同次项系数有比较同次项系数有,最后考虑方程最后考虑方程 假设方程有解假设方程有解经计算得经计算得 得得 从而方程的通解为从而方程的通解为例例13 设设解解 因因两边求导两边求导, 得得再次求导再次求导, 得得其中其中 为为连续函数连续函数, 求求即即并有并有初始条件初始条件 对应的齐次方程的通对应的齐次方程的通设非设非齐次方程的特解是齐次方程的特解是解是解是由待定系数法得由待定系数法得:由初始条件由初始条件, 得得即即 即原方程的通解为即原方程的通解为例例14 小船从河边点小船从河边点 出发驶向对岸（两岸为平行线）
12、出发驶向对岸（两岸为平行线）比（比例系数为比（比例系数为 ）, 求小船的航行路线求小船的航行路线.解解 建立坐标系统如图建立坐标系统如图, 设时刻设时刻 时时, 小船位于小船位于设船速为设船速为 船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为又设河宽为河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正并使水流方向与并使水流方向与 轴正向一致轴正向一致.处处, 由题意有由题意有从第二式中解得从第二式中解得 再由初始条件得再由初始条件得 将将 代入到第一个方程中代入到第一个方程中, 即有即有再由初始条件得再由初始条件得 即小船的航行曲线为即
13、小船的航行曲线为消去参数消去参数 得曲线为得曲线为练练 习习1.求下列方程的通解求下列方程的通解2. 设设 是连续函数是连续函数, 且满足且满足求求3. 设曲线设曲线 上任意一点上任意一点 满足满足 又又 过点过点 求求 的方的方程程.4. 求解下列微分方程求解下列微分方程:5. 求下面初值问题的解求下面初值问题的解:6. 求解下列微分方程求解下列微分方程:7. 设设 为连续函数为连续函数, 且满足方程且满足方程求求8. 光滑曲线光滑曲线 过原点和点过原点和点 任取曲线上的点任取曲线上的点过点过点 做两坐标轴的平行线做两坐标轴的平行线 与与 轴及曲线所轴及曲线所围成的面积等于围成的面积等于 与
14、与 轴及曲线围成的面积的轴及曲线围成的面积的2倍倍, 求求曲线的方程曲线的方程.9. 一长度为一长度为 的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的桌面上桌面上, 滑动开始时滑动开始时, 链条在桌边挂下来的长度为链条在桌边挂下来的长度为 问问链条全部滑离桌面需要多少时间链条全部滑离桌面需要多少时间?简简 答答1.通解通解通解通解 令令 则原方程为则原方程为方程通解方程通解通解通解令令 得得 方程之解为方程之解为方程的通解为方程的通解为2. 两边求导两边求导, 得得并注意到并注意到以以 乘方程的两端乘方程的两端, 得得通解通解代入初始条件代入初始条件, 得方程之解得方
15、程之解3. 建立切线方程建立切线方程得得初始条件为初始条件为 此方程为齐次方程，解为此方程为齐次方程，解为再由初始条件，得解为再由初始条件，得解为4.5.先求方程的通解先求方程的通解:即即 由条件得由条件得再积分得再积分得由条件得由条件得 所以方程之解为所以方程之解为6. 齐次方程通解齐次方程通解方程方程 的解为的解为方程方程 的解为的解为原方程的通解为原方程的通解为齐次方程的通解为齐次方程的通解为方程方程 的解为的解为方程方程 的解为的解为方程方程 的解为的解为故原方程的通解为故原方程的通解为7. 将积分方程经求导后化为微分方程将积分方程经求导后化为微分方程:初始条件为初始条件为 原方程的通解为原方程的通解为由条件得由条件得 故方程之解为故方程之解为8. 设曲线方程为设曲线方程为 则由条件得方程则由条件得方程求导后化为微分方程求导后化为微分方程, 并有初始条件并有初始条件方程之解为方程之解为9. 设下垂的长度为设下垂的长度为 则有则有初始条件为初始条件为方程的通解为方程的通解为由条件得由条件得从而得到方程之解为从而得到方程之解为由此得由此得当当 时时, 有有
