医用物理学：ch-3流体运动

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1、第三章 流体动力学1 1一、本章的基本要求一、本章的基本要求1 1、理解流体力学中的几个基本概念：、理解流体力学中的几个基本概念：理想流体理想流体、流、流线、流管、流动性、粘滞性、可压缩性、线、流管、流动性、粘滞性、可压缩性、稳定流动稳定流动、层流、湍流等。层流、湍流等。2 2、掌握、掌握连续性原理连续性原理和和理想流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程，并能，并能熟练应用。熟练应用。3 3、了解实际流体运动时的、了解实际流体运动时的内摩擦力、牛顿粘滞定律、内摩擦力、牛顿粘滞定律、泊肃叶定律，泊肃叶定律，了解运动流体对物体的作用。了解运动流体对物体的作用。2 2流体运动的规律不仅在航空、水利、化

2、工流体运动的规律不仅在航空、水利、化工、建筑等工程技术上有着广泛的应用，而且、建筑等工程技术上有着广泛的应用，而且在人体内部也起着十分重要的作用。例如，在人体内部也起着十分重要的作用。例如，人体中养分的输送和废物的排泄就是通过血人体中养分的输送和废物的排泄就是通过血液循环和呼吸过程完成的。液循环和呼吸过程完成的。 在药物的合成和制造过程中，流体的输送、在药物的合成和制造过程中，流体的输送、测量和控制都是必不可少的。测量和控制都是必不可少的。 掌握流体运动的规律是了解这些生理过程的掌握流体运动的规律是了解这些生理过程的基础基础下面先对静止流体中压强的概念进行讨论下面先对静止流体中压强的概念进行讨

3、论。二、二、流体动力学的流体动力学的应用应用3 3相对惯性系静止的流体内的压强分布相对惯性系静止的流体内的压强分布 等高各点压强相等等高各点压强相等 表明：表明：流体内等高各点压强相等流体内等高各点压强相等, , 即等压面与竖直方向垂直即等压面与竖直方向垂直PASPBSAB在流体中取一柱状体积在流体中取一柱状体积元，在水平方向应用平元，在水平方向应用平衡方程衡方程4 4xzydypS（p+dp）Sw如有自由表面，如有自由表面，令令p2=p0 p1=p 则则 p = p0+gh 设设、g与与y无关无关压强沿竖直方向的分布压强沿竖直方向的分布 取一高为取一高为dydy的柱状体元，的柱状体元，在竖直

4、方向在竖直方向 应用平衡条件：应用平衡条件：5 5例例例例 求大气压随高度的变化规律。设求大气压随高度的变化规律。设求大气压随高度的变化规律。设求大气压随高度的变化规律。设g g g g为恒量，大气密为恒量，大气密为恒量，大气密为恒量，大气密度与压强成正比，即度与压强成正比，即度与压强成正比，即度与压强成正比，即 ，为海平面大，为海平面大，为海平面大，为海平面大气的密度和压强气的密度和压强气的密度和压强气的密度和压强解解: : 以海平面为原点建立图示坐标以海平面为原点建立图示坐标o-yo-y 6 63-1 3-1 理想流体的定常流动理想流体的定常流动拉格朗日的追踪法拉格朗日的追踪法拉格朗日的追

5、踪法拉格朗日的追踪法 追踪每个流体微元的运动，根据动力学方程和初始条追踪每个流体微元的运动，根据动力学方程和初始条追踪每个流体微元的运动，根据动力学方程和初始条追踪每个流体微元的运动，根据动力学方程和初始条件求得微元的运动学方程和运动轨迹。件求得微元的运动学方程和运动轨迹。件求得微元的运动学方程和运动轨迹。件求得微元的运动学方程和运动轨迹。流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微元，由于初始条流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微元，由于初始条流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微元，由于初始条流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微元，由于初始条件不同，流迹也不同件不同，流迹也不同件不同，流迹也不同件不同，流迹也不同

6、。优缺点优缺点优缺点优缺点： 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 欧拉的速度场法欧拉的速度场法欧拉的速度场法欧拉的速度场法 该方法把注意力放在流体流动的空间，观察各个流体该方法把注意力放在流体流动的空间，观察各个流体该方法把注意力放在流体流动的空间，观察各个流体该方法把注意力放在流体流动的空间，观察各个流体微元经过空间各点的流速，每一点都对应一个流速矢微元经过空间各点的流速，每一点都对应一个流速矢微元经过空间各点的流速，每一点都对应一个流速矢微元经过空

7、间各点的流速，每一点都对应一个流速矢量，这些流速矢量构成量，这些流速矢量构成量，这些流速矢量构成量，这些流速矢量构成流速场流速场流速场流速场。 本章采用欧拉的流速场的概念研究流体的运动。本章采用欧拉的流速场的概念研究流体的运动。本章采用欧拉的流速场的概念研究流体的运动。本章采用欧拉的流速场的概念研究流体的运动。7 7实际流体 绝对不可压缩、完全没有粘性的流体。绝对不可压缩、完全没有粘性的流体。绝对不可压缩、完全没有粘性的流体。绝对不可压缩、完全没有粘性的流体。一、理想流体一、理想流体一、理想流体一、理想流体( ( ( (ideal fluidideal fluid) ) ) )流动性流动性 (

8、 (fluidity) )可压缩性可压缩性 (compressibility)(compressibility)粘滞性粘滞性 (viscosity)(viscosity)理想流体理想流体: :在研究流体问题时，在研究流体问题时，在研究流体问题时，在研究流体问题时，突出流体的流动性突出流体的流动性突出流体的流动性突出流体的流动性, , , ,其其其其可压缩性、可压缩性、可压缩性、可压缩性、粘性处于次要地位，粘性处于次要地位，粘性处于次要地位，粘性处于次要地位，可把实际流体视为理想流体，可把实际流体视为理想流体，可把实际流体视为理想流体，可把实际流体视为理想流体，从而使问题变得简单。从而使问题变得

9、简单。从而使问题变得简单。从而使问题变得简单。实际流体并非不可压缩实际流体并非不可压缩实际流体并非不可压缩实际流体并非不可压缩, , , ,在在在在(1)(1)(1)(1)压缩系数小压缩系数小压缩系数小压缩系数小 如如如如10101010的水的水的水的水, , , ,加加加加1000atm,1000atm,1000atm,1000atm,体积只体积只体积只体积只改变改变改变改变5%.5%.5%.5%.可看作不可压缩可看作不可压缩可看作不可压缩可看作不可压缩, , , ,气体虽易压缩气体虽易压缩气体虽易压缩气体虽易压缩, , , ,但在但在但在但在T T T T、P P P P不变时不变时不变时

10、不变时,v,v,v,v亦不变亦不变亦不变亦不变. . . .(2)(2)(2)(2)粘性小粘性小粘性小粘性小 气体的内摩檫小气体的内摩檫小气体的内摩檫小气体的内摩檫小; ; ; ;水水水水、酒精亦小。酒精亦小。酒精亦小。酒精亦小。8 8二、定常流动二、定常流动1 1、稳定流动（、稳定流动（Steady FlowSteady Flow） 稳定流动又称为定常流动。指稳定流动又称为定常流动。指流场中各空间点上的速度流场中各空间点上的速度不随时间变化，只是坐标的函数不随时间变化，只是坐标的函数 ，如下图左所示。，如下图左所示。2 2、非稳定流动（、非稳定流动（Unsteady FlowUnsteady

11、 Flow） 非稳定流动又称为非定常流动。指流场中各空间点上非稳定流动又称为非定常流动。指流场中各空间点上的运动参数（全部或个别）随时间变化的运动参数（全部或个别）随时间变化, ,如下图右所示。如下图右所示。9 9（1 1）流线流线（3）流线的特性：流线的特性：定常流动时，定常流动时，a. a. 流线和流迹线重合；流线和流迹线重合；b. b. 流线不流线不能相交；能相交；c. c. 流线的形状保持不流线的形状保持不变。流线只能是一条光滑曲线。变。流线只能是一条光滑曲线。3 3 、流线流线(stream line)(stream line)（2 2）稳定流动稳定流动如果如果流线上各点流体微粒的速

12、流线上各点流体微粒的速度都不随时间而改变度都不随时间而改变, ,这种流动这种流动称为称为定常流动或稳定流动。定常流动或稳定流动。在流场中画一些曲线，使曲线在流场中画一些曲线，使曲线上每点切线方向与该点的流速方上每点切线方向与该点的流速方向相同，这些曲线就叫作向相同，这些曲线就叫作流线流线. .1010在定常流动中在定常流动中, ,将流体看成由许多流管组成将流体看成由许多流管组成, ,只要掌只要掌握一个流管中流体运动的规律握一个流管中流体运动的规律, ,便知道整个流体运动便知道整个流体运动的规律。的规律。4 4、流管：流管：在流速场中在流速场中, , 由一束流线组成的管状体叫由一束流线组成的管状

13、体叫作作流管（流管（tube of flowtube of flow）。）。 sls因为流线不能相交因为流线不能相交, ,所以所以管内外流体不能通过管壁管内外流体不能通过管壁互流，一般流管形状随时互流，一般流管形状随时间而变，只有在稳定流动间而变，只有在稳定流动中，流管形状才不随时间中，流管形状才不随时间变化。变化。如图所示如图所示21111三三.流体的连续性方程流体的连续性方程 （equationofcontinuity） 在稳定流动的理想流体中在稳定流动的理想流体中在稳定流动的理想流体中在稳定流动的理想流体中, , , , 任取一细流管，由于体积不可压任取一细流管，由于体积不可压任取一细流

14、管，由于体积不可压任取一细流管，由于体积不可压缩，流管形状不随时间变化，流迹与流线重合，故单位时间缩，流管形状不随时间变化，流迹与流线重合，故单位时间缩，流管形状不随时间变化，流迹与流线重合，故单位时间缩，流管形状不随时间变化，流迹与流线重合，故单位时间内通过截面内通过截面内通过截面内通过截面SSSS1 1 1 1的流体体积与通过截面的流体体积与通过截面的流体体积与通过截面的流体体积与通过截面SSSS2 2 2 2的流体体积（质的流体体积（质的流体体积（质的流体体积（质量）必然相等，即量）必然相等，即量）必然相等，即量）必然相等，即V1 S1V2 S2上式表明：上式表明：截面大处，流速小截面大

15、处，流速小，流线疏；截面小流线疏；截面小处，流速大，流线密处，流速大，流线密。这一关系对任何垂直于流。这一关系对任何垂直于流管的截面都是成立的，即管的截面都是成立的，即1212单位时间内通过某截面流体的体积单位时间内通过某截面流体的体积当不可压缩流体做稳定流动时，沿同一流管当不可压缩流体做稳定流动时，沿同一流管流量守恒。流量守恒。流体的连续性方程流体的连续性方程流体的连续性方程流体的连续性方程（equationofcontinuity） 连续性方程不仅适用于理想流体连续性方程不仅适用于理想流体, ,对于实际流体对于实际流体, ,只要只要不可压缩并作定常流动也是适用的不可压缩并作定常流动也是适用

16、的, ,只是速度为截面上的只是速度为截面上的平均速度平均速度。连续性方程的应用连续性方程的应用连续性方程的应用连续性方程的应用: : : :(1)(1)(1)(1)浇花时怎样做才能使远处的花浇上水？浇花时怎样做才能使远处的花浇上水？浇花时怎样做才能使远处的花浇上水？浇花时怎样做才能使远处的花浇上水？(2)(2)(2)(2)从主动脉到毛细血管为什麽从主动脉到毛细血管为什麽从主动脉到毛细血管为什麽从主动脉到毛细血管为什麽v v v v越来越小？见下图越来越小？见下图越来越小？见下图越来越小？见下图Q称为通过该截面的流量，连续性方程可表述为：称为通过该截面的流量，连续性方程可表述为：13131414

17、3-2 伯努利方程及其应用 伯努利方程是理想流体稳定流动的基本动力学方程，伯努利方程是理想流体稳定流动的基本动力学方程，伯努利方程是理想流体稳定流动的基本动力学方程，伯努利方程是理想流体稳定流动的基本动力学方程，它是在理想流体中应用它是在理想流体中应用它是在理想流体中应用它是在理想流体中应用功能原理功能原理功能原理功能原理推导出来的结果。推导出来的结果。推导出来的结果。推导出来的结果。一.伯努利方程(Bernoulli equation)Bernoulli equation) 在稳定流动的理想流体中取一在稳定流动的理想流体中取一细流管细流管, , 任选任选abab这一段流体作为这一段流体作为研

18、究对象研究对象, , 在在tt时间内从时间内从abab移移动到动到a a b b v2,S2l1l2v1,S1aabbP1P2h1h2功能功能原理：原理：1515v2,S2l1l2v1,S1aabbP1P2h1h2根据连续性方程：根据连续性方程：根据连续性方程：根据连续性方程：能量的变化能量的变化能量的变化能量的变化1616v2,S2l1l2v1,S1aabbP1P2h1h2代入代入 两边消去两边消去mm，同时乘，同时乘, 把脚标相同的项放在把脚标相同的项放在一起一起对有限细管，对有限细管，p,v,hp,v,h应理解为平均值应理解为平均值, ,令令s0s0，流管，流管趋于流线。趋于流线。称为势

19、能（静压强）称为势能（静压强）称为动能（动压强）称为动能（动压强）由上式可知对于任意截面有由上式可知对于任意截面有1717方方方方程程程程的的的的物物物物理理理理意意意意义义义义：不不不不可可可可压压压压缩缩缩缩的的的的理理理理想想想想流流流流体体体体作作作作定定定定常常常常流流流流动动动动时时时时，在在在在同同同同一一一一流流流流线线线线的的的的不不不不同同同同点点点点上上上上或或或或者者者者同同同同一一一一微微微微元元元元流流流流管管管管的的的的不不不不同同同同截截截截面面面面上上上上，每每每每单单单单位位位位体体体体积积积积流流流流体体体体的的的的动动动动能能能能、势势势势能能能能和和和

20、和压压压压强强强强之之之之和和和和为为为为一一一一常常常常量。量。量。量。 方方方方程程程程的的的的适适适适用用用用条条条条件件件件：理理理理想想想想流流流流体体体体在在在在同同同同一一一一流流流流管管管管中中中中作作作作定定定定常常常常流流流流动动动动。流流流流管管管管不不不不同同同同，相相相相应应应应的的的的常常常常量量量量也也也也不不不不同同同同，对对对对于于于于实实实实际际际际流流流流体体体体该该该该方方方方程程程程仍仍仍仍具指导意义。具指导意义。具指导意义。具指导意义。 伯伯伯伯努努努努利利利利方方方方程程程程是是是是瑞瑞士士物物理理学学家家、数数学学家家、医医学学家家伯伯努利在努利

21、在17381738年推导出来的年推导出来的年推导出来的年推导出来的, , , ,故称为故称为故称为故称为伯努利方程。伯努利方程。伯努利方程。伯努利方程。1818伯努利，伯努利，D D(Daniel Bernoulli 1700(Daniel Bernoulli 17001782)1782)生平简介：生平简介： 伯努利，伯努利，D D(Daniel Bernoulli 1700(Daniel Bernoulli 17001782)1782)瑞士瑞士物理学家、数学家、医学家物理学家、数学家、医学家。17001700年年2 2月月8 8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族

22、中最杰出的一位。努利家族中最杰出的一位。他是数学家他是数学家J.J.伯努利的次子，和他的父辈一样，违背伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，家长要他经商的愿望，坚持学医坚持学医，他曾在海得尔贝格，他曾在海得尔贝格和巴塞尔等大学学习哲学、伦理学、医学。和巴塞尔等大学学习哲学、伦理学、医学。17211721年获年获医学硕士学位。在医学硕士学位。在2525岁时岁时(1725)(1725)就应聘为圣彼得堡科就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。学院的数学院士。8 8年后回到瑞士的巴塞尔，年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖先任解剖学教授，后任动力学教授，学教授，后任动力学教授，17501750年

23、成为物理学教授。年成为物理学教授。1919在在1725172517491749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。17821782年年3 3月月1717日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年8282岁。岁。 伯努利的伯努利的贡献涉及到贡献涉及到贡献涉及到贡献涉及到医学、力学、数学医学、力学、数学医学、力学、数学医学、力学、数学等各个方面。等各个方面。等各个方面。等各个方面。二、二、伯努利方程的应用伯努利方程的应用1.1.水平管中水平管中p p与与v v的关系的关系对于对于水平流管水平流管，或在气体中高度差效应不显著的情况

24、，或在气体中高度差效应不显著的情况，则伯努利方程为则伯努利方程为下面分析几个实际应用：下面分析几个实际应用：方方方方程程程程表表表表明明明明：沿沿沿沿流流流流线线线线速速速速度度度度和和和和压压压压强强强强的的的的变变变变化化化化是是是是相相相相互互互互制制制制约约约约的的的的，流流流流速速速速高高高高的的的的点点点点上上上上压压压压强强强强低低低低，流流流流速速速速低低低低的的的的点点点点上上上上压强高压强高压强高压强高。2020(1)文丘利流量计原理P1,S1,v1P2,S2,v2hP1P2解：解：取图示流线上取图示流线上1 1、2 2两点，由伯努两点，由伯努利方程有利方程有 由连续性方程

25、有由连续性方程有 求得求得 由压强公式：由压强公式：122121将将代入代入中：中： 流量：流量： P1,S1,v1P2,S2,v2hP1P2所以根据所以根据h h即可求出流速和即可求出流速和流量流量 。均为定值，均为定值，212222(2) (2) (2) (2) 比托管比托管比托管比托管 测量流速测量流速测量流速测量流速如图如图如图如图, , , ,沿流线沿流线沿流线沿流线B B A A 列伯努利方程：列伯努利方程：列伯努利方程：列伯努利方程：测压管测压管测压管测压管比托管比托管比托管比托管驻点，测总压驻点，测总压驻点，测总压驻点，测总压测静压测静压测静压测静压总压和静压之差总压和静压之差

26、总压和静压之差总压和静压之差 称为动压强。称为动压强。称为动压强。称为动压强。 法国人法国人法国人法国人比托，比托，比托，比托，17731773年年年年原原原原理理理理：测测测测量量量量时时时时将将将将静静静静压压压压孔孔孔孔和和和和总总总总压压压压孔孔孔孔感感感感受受受受到到到到的的的的压压压压强强强强分分分分别别别别和和和和差差差差压压压压计计计计的的的的两两两两个个个个入入入入口口口口相相相相连连连连，在在在在差差差差压压压压计计计计上上上上可可可可以以以以读读读读出出出出总总总总压压压压和和和和静静静静压压压压之之之之差差差差，从从从从而而而而求求求求得得得得被被被被测点的流速。测点的

27、流速。测点的流速。测点的流速。2323例例 用于测气体流速的比托管原理用于测气体流速的比托管原理P1,v1P2hP2P1v解：比托管附近的流线都来自流速相同的解：比托管附近的流线都来自流速相同的空间，因而对空间各点都相等空间，因而对空间各点都相等式中式中是是U U形管中所装液体的密度，形管中所装液体的密度，为流动气体的为流动气体的密度，密度，g g是重力加速度，是重力加速度，h h是是U U形管中液面的高度差。形管中液面的高度差。 对对1,21,2两点列方程：两点列方程：2424(3) 小孔流速 解：解：由于容器线度远由于容器线度远大于小孔，在短时间大于小孔，在短时间内可视为理想流体稳内可视为

28、理想流体稳定流动定流动, , 且且v vA Av vB B, , 可可认为认为v vA A00 由伯努利方程由伯努利方程： ABhP0,vP0,v0可见可见, ,从小孔流出的速度与物体自由下落从小孔流出的速度与物体自由下落h h高度时的速高度时的速度是相同的。如遇图示情况度是相同的。如遇图示情况, ,均可按小孔流速问题处均可按小孔流速问题处理，如理，如输液器输液器等。等。2525例例 如如 图图(a)(a)所示是一虹吸管示意图。把一根充满水的所示是一虹吸管示意图。把一根充满水的粗细均匀的虹吸管插入水桶中，于是水就从虹吸管中粗细均匀的虹吸管插入水桶中，于是水就从虹吸管中流出。虹吸管的出口处比桶中

29、水面低流出。虹吸管的出口处比桶中水面低 H H ，管管 CD CD 比水比水面高面高 h h 。设水桶很大而虹吸管很细，设水桶很大而虹吸管很细，求求:(1):(1)虹吸管中虹吸管中水流的速度；水流的速度；(2)B(2)B、C C、D D三点的压强。三点的压强。EHhDCAB(4) (4) 虹吸管虹吸管 ( (2.v2.v与与h h的关系的关系) )(a)解解 设设水桶很大而虹吸管很细，水桶很大而虹吸管很细，则桶内水面下降速度很小，所以则桶内水面下降速度很小，所以水的流动看作稳定流动。在流体水的流动看作稳定流动。在流体中取一条流线中取一条流线 ABCDEABCDE，先对先对 A A、E E 两点

30、应用伯努利方程，两点应用伯努利方程，并规定并规定E E点为零势能点，列方程点为零势能点，列方程2626（1）图（图（b b），），近似认为小孔附近的流线是平近似认为小孔附近的流线是平行的，同一条流线的两点行的，同一条流线的两点 E E、F F，可近似，可近似认为压强相等认为压强相等, ,即即将此代入（将此代入（1 1）式即可得到）式即可得到虹吸管出口处流速虹吸管出口处流速说明说明:当当由此可见由此可见, ,水从虹吸管口流水从虹吸管口流出的速度与小孔流出的速度出的速度与小孔流出的速度是相同的是相同的. .如遇图示情况如遇图示情况, ,均均可按小孔流速问题处理。可按小孔流速问题处理。EF图图(b)

31、2727 为了求出为了求出 B B、C C、D D 三点的压强，由于三点的压强，由于虹吸管的粗细是均匀的，根据连续性方程虹吸管的粗细是均匀的，根据连续性方程可知虹吸管中可知虹吸管中 B B、C C、D D 三点的流速亦为三点的流速亦为，这样对这样对 B B、C C、D D、E E 四点应四点应用伯努利方程就得到用伯努利方程就得到EHhDCAB2828结果表明，结果表明，在粗细均匀的虹吸管中等高的在粗细均匀的虹吸管中等高的 C C、D D 两点的两点的压强是相等的压强是相等的： ；而；而 A A、B B 两点虽然是等高两点虽然是等高的，但由于的，但由于 A A 点在水桶水面上，而点在水桶水面上，

32、而 B B 点在虹吸管中，点在虹吸管中，它们的压强却是不相等的：它们的压强却是不相等的： 水水之所以能通过虹吸管源源不断地流出，是由于之所以能通过虹吸管源源不断地流出，是由于虹吸管外水桶中的水压比虹吸管内等高点的水压大，虹吸管外水桶中的水压比虹吸管内等高点的水压大，水在该压强差的驱使下由水桶流向虹吸管，产生虹吸水在该压强差的驱使下由水桶流向虹吸管，产生虹吸现象。有人在解释虹吸现象时认为：水之所以能从虹现象。有人在解释虹吸现象时认为：水之所以能从虹吸管中流出，是由于虹吸管中吸管中流出，是由于虹吸管中 C C 点比等高的点比等高的D D 点的点的压强大。从上面的讨论中可以看出这个解释是错误的。压强

33、大。从上面的讨论中可以看出这个解释是错误的。当虹吸管的粗细均匀时，虹吸管中等高的当虹吸管的粗细均匀时，虹吸管中等高的 C C、D D 两点两点的压强是相等的。当虹吸管粗细不均匀时，如的压强是相等的。当虹吸管粗细不均匀时，如 D D 点点处虹吸管的截面比处虹吸管的截面比 C C 点粗，则点粗，则 D D 点处的压强反而比点处的压强反而比 C C 点大，尽管水是由点大，尽管水是由 C C 点流向点流向 D D 点的。点的。29293.P3.P与与h h的关系的关系如果流体在管中流动的流速不变如果流体在管中流动的流速不变如果流体在管中流动的流速不变如果流体在管中流动的流速不变, , , ,或者流速的

34、改变可或者流速的改变可或者流速的改变可或者流速的改变可忽略不计时忽略不计时忽略不计时忽略不计时, , , ,压强与高度的关系为压强与高度的关系为压强与高度的关系为压强与高度的关系为在此情况下：在此情况下：在此情况下：在此情况下：即高处压强低即高处压强低, ,低处压强高。低处压强高。3030P P P P与与与与h h h h的关系可用来解释体位因素对测血压的影响。的关系可用来解释体位因素对测血压的影响。的关系可用来解释体位因素对测血压的影响。的关系可用来解释体位因素对测血压的影响。3131(5)(5)(5)(5)空吸作用（喷雾器）空吸作用（喷雾器）空吸作用（喷雾器）空吸作用（喷雾器）火车、双层

35、纸p0ab3232 航空中，在速航空中，在速度较快的一侧出现度较快的一侧出现一个一个“负压负压”，这，这样使得物体两侧出样使得物体两侧出现现“压力差压力差”，对，对飞机就是一种飞机就是一种升力升力。V1V03333例题例题3-1 设有流量为设有流量为0.12m0.12m3 3ss-1-1的水流过如图所示的的水流过如图所示的管子。管子。A A点的压强为点的压强为5 5P Pa a，点的截面积为点的截面积为100cm100cm2 2, ,点的截面积为点的截面积为60cm60cm2 2, ,点比点高点比点高2 2。假。假设水的内摩擦可以忽略不计，求、点的流速和设水的内摩擦可以忽略不计，求、点的流速和

36、点的压强。点的压强。3434解解：已知已知= 0.12m3s-1,100cm2=10m2,= 0cm2=10-4 m2,=210-5,= 0 ,= 2 。根据连续性方程有：根据连续性方程有：流量流量流速流速3535由由A A、B B两点列伯努利方程两点列伯努利方程可得可得：先代先代数式数式再代再代入数入数值和值和单位单位3636首先根据题意画出草图；首先根据题意画出草图；选取合适的选取合适的流管和参考面；流管和参考面；在流管中选定两点，一在流管中选定两点，一点与给定的已知条件有关，一点和待求的点与给定的已知条件有关，一点和待求的未知量有关，写出伯努利方程；未知量有关，写出伯努利方程；代入已代入

37、已知量，统一单位，计算出结果。知量，统一单位，计算出结果。在流体动力学中，伯努利方程十分重要，应用在流体动力学中，伯努利方程十分重要，应用也非常广泛。伯努利方程解题的一般步骤是：也非常广泛。伯努利方程解题的一般步骤是：3737第三章 流体动力学作业： 1-5注意：抄题，画图、统一单位。注意：抄题，画图、统一单位。38383-3 3-3 粘性流体的流动粘性流体的流动一、层流和湍流一、层流和湍流一、层流和湍流一、层流和湍流 1 1 1 1、层流：、层流：、层流：、层流：( ( ( (现象现象现象现象) ) ) )V V V V较小时，较小时，较小时，较小时，流体分层流动的流体分层流动的流体分层流动

38、的流体分层流动的状态状态状态状态2 2、湍流：、湍流：V V较大较大, ,不再保持不再保持分层流动状态，即垂直于流分层流动状态，即垂直于流层方向存在分速度，因而各层方向存在分速度，因而各流层混淆起来。整个流动杂流层混淆起来。整个流动杂乱不稳定乱不稳定。3939 湍流特点：湍流特点： 1.1. 流体不再保持分层流动状态，即垂直流体不再保持分层流动状态，即垂直于流层方向存在分速度，流动杂乱不稳定。于流层方向存在分速度，流动杂乱不稳定。2. 2. 消耗的能量比层流多。消耗的能量比层流多。3. 3. 能发出声音。能发出声音。医学应用医学应用: : 流体作湍流所消耗的能量比层流体作湍流所消耗的能量比层流

39、多流多. .湍流与层流的主要区别之一就是发湍流与层流的主要区别之一就是发声声, ,使医师能够用听诊器来辨别血流是否使医师能够用听诊器来辨别血流是否正常正常. .4040它是由分子间的相互作用力引起的，它是由分子间的相互作用力引起的，液体的液体的内摩擦力远内摩擦力远大于气体的。大于气体的。二二.牛顿粘滞定律牛顿粘滞定律1.1.1.1.粘性力：粘性力：粘性力：粘性力：（Viscous forceViscous forceViscous forceViscous force）如图如图, ,设粘性流体分层流动设粘性流体分层流动, ,相邻相邻两层流体沿层面以不同速度运动，两层流体沿层面以不同速度运动，即

40、两层流体具有相对速度即两层流体具有相对速度。相邻两层流体间将互相作用以沿层面的切向力，即相邻两层流体间将互相作用以沿层面的切向力，即“快拉慢快拉慢”、 “慢阻快慢阻快”。这一对力就是流体层间的摩这一对力就是流体层间的摩擦力，故称为擦力，故称为内摩擦力内摩擦力（internal frictioninternal friction）。）。ff 4141在层流中，在层流中，内摩擦力内摩擦力的大小与从一层到另一层流速变化的快慢的大小与从一层到另一层流速变化的快慢程度有关。如图，相距程度有关。如图，相距x x的两层，其流速分别为的两层，其流速分别为 2.2.2.2.速度梯度（速度梯度（速度梯度（速度梯度

41、（Velocity gradientVelocity gradientVelocity gradientVelocity gradient）：）：）：）：它反映了速度随空间位置变化的情况它反映了速度随空间位置变化的情况。流速在与速度垂直方向上的变化率。流速在与速度垂直方向上的变化率。流速在与速度垂直方向上的变化率。流速在与速度垂直方向上的变化率。3.3.牛顿粘性定律牛顿粘性定律0 0x比值比值表示在表示在x x距离内距离内的平均速度变化率的平均速度变化率速度差为速度差为v,v,4242式中式中称为粘滞系数称为粘滞系数（coefficient of viscositycoefficient of

42、 viscosity）或黏度。或黏度。实验证明，实验证明，粘性流体作层流时粘性流体作层流时, ,内摩擦力内摩擦力f f的大小的大小是与相邻两层的接触面积是与相邻两层的接触面积S S和速度梯度和速度梯度dv/dxdv/dx成正成正比比，即，即 的大小的大小取决于取决于物质的性质物质的性质，并和并和温度温度有关，可有关，可由实验测定。由实验测定。 粘度表示流体两层间的速度梯度为粘度表示流体两层间的速度梯度为1 1时，时，单位面积流单位面积流体层上所受内摩擦力的大小。体层上所受内摩擦力的大小。4343凡是服从上式的流体称为凡是服从上式的流体称为牛顿流体（牛顿流体（Newtonian Newtonia

43、n fluidfluid）。在温度恒定的条件下，不服从以上关系式。在温度恒定的条件下，不服从以上关系式的流体称为的流体称为非牛顿流体非牛顿流体。水和血浆是牛顿流体，而血。水和血浆是牛顿流体，而血液因含有血细胞，不是牛顿流体，它们的粘滞系数不液因含有血细胞，不是牛顿流体，它们的粘滞系数不是常数。是常数。在在SISI单位制中，单位制中，粘滞系数的单位为粘滞系数的单位为帕斯卡帕斯卡秒秒（PaPas s）。）。 液体液体的粘滞系数随的粘滞系数随温度的升高而减小温度的升高而减小，气体气体则则反之反之。4444式中式中=f=fs s为切应力为切应力，表示作用在流层单，表示作用在流层单位面积上的内摩擦力；位

44、面积上的内摩擦力；牛顿粘滞定律还可改写为牛顿粘滞定律还可改写为实际上血实际上血液是一种具有粘弹性的非均匀液体，分析液是一种具有粘弹性的非均匀液体，分析血液的粘性，对于某些疾病的诊断具有重要的参考血液的粘性，对于某些疾病的诊断具有重要的参考价值。这种方法称为价值。这种方法称为血液流变学方法。血液流变学方法。4545三、三、层流层流 湍流湍流雷诺数雷诺数1.1.层流层流 如图如图 当阀门当阀门当阀门当阀门K K K K开小时，管内流速小，出现层流，即开小时，管内流速小，出现层流，即开小时，管内流速小，出现层流，即开小时，管内流速小，出现层流，即各层间不互相混杂，分层流动，速度按层分布。各层间不互相

45、混杂，分层流动，速度按层分布。各层间不互相混杂，分层流动，速度按层分布。各层间不互相混杂，分层流动，速度按层分布。 2.2.湍流湍流 当阀门当阀门当阀门当阀门k k k k开大时，管内流速大，出现湍流，即流线开大时，管内流速大，出现湍流，即流线开大时，管内流速大，出现湍流，即流线开大时，管内流速大，出现湍流，即流线混混混混 杂、紊乱，有垂直管轴方向的分速度，出现漩涡。杂、紊乱，有垂直管轴方向的分速度，出现漩涡。杂、紊乱，有垂直管轴方向的分速度，出现漩涡。杂、紊乱，有垂直管轴方向的分速度，出现漩涡。 3.3.3.3. 是湍流还是层流，与流体的粘性、流速、和管子尺寸有是湍流还是层流，与流体的粘性、

46、流速、和管子尺寸有是湍流还是层流，与流体的粘性、流速、和管子尺寸有是湍流还是层流，与流体的粘性、流速、和管子尺寸有关，关，关，关，雷诺数雷诺数雷诺数雷诺数可作为判据。可作为判据。可作为判据。可作为判据。KK46461 1、ReRe1000 1000 层流层流2 2、ReRe1500 1500 湍流湍流3 3、10001000ReRe1500 1500 过渡态过渡态雷诺数（雷诺数（Reynold number）由英国人雷诺於由英国人雷诺於由英国人雷诺於由英国人雷诺於1883188318831883年给出：年给出：年给出：年给出： 式中式中式中式中,为流体密度，为流体密度，为流体密度，为流体密度，

47、为流体的粘为流体的粘为流体的粘为流体的粘性系数，性系数，性系数，性系数，v v v v为流速，为流速，为流速，为流速，r r r r为管子的半径为管子的半径为管子的半径为管子的半径4747例题例题例题例题3-23-23-23-2设主动脉的内半径为设主动脉的内半径为设主动脉的内半径为设主动脉的内半径为0.01m0.01m0.01m0.01m，血流的速度，血流的速度，血流的速度，血流的速度v=0.25m/sv=0.25m/sv=0.25m/sv=0.25m/s，血，血，血，血液的粘滞系数为液的粘滞系数为液的粘滞系数为液的粘滞系数为=3.010Pas=3.010Pas=3.010Pas=3.010P

48、as，密度，密度，密度，密度=1.0510=1.0510=1.0510=1.0510/m/m/m/m求求求求雷诺数并指出血液流动是否为片流？雷诺数并指出血液流动是否为片流？雷诺数并指出血液流动是否为片流？雷诺数并指出血液流动是否为片流？解解解解 雷诺数为雷诺数为雷诺数为雷诺数为 这个数值小于这个数值小于10001000，故血液在主动脉中流故血液在主动脉中流动时为片流。动时为片流。四、泊肃叶定律四、泊肃叶定律 如图如图, ,不可压缩的牛顿流体在水平圆管中做稳定流动时，如不可压缩的牛顿流体在水平圆管中做稳定流动时，如果平均流速不大，流动为层流。若各流层从轴线开始，呈一系果平均流速不大，流动为层流。

49、若各流层从轴线开始，呈一系列薄圆筒形。中心的流速最大，随着各层半径的增加而流速减列薄圆筒形。中心的流速最大，随着各层半径的增加而流速减小。在管壁处，液体粒子附着在管壁小。在管壁处，液体粒子附着在管壁 内侧，流速为零。内侧，流速为零。P1P2R，L 4848 (1)(1)粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r r处的处的流速：流速： (2)(2)流量流量： 1846184618461846年年年年, , , ,法国医生泊肃叶法国医生泊肃叶法国医生泊肃叶法国医生泊肃叶研究血管内血液的流动情况，研究血管内血液的流动情况，研究血管内血液的流动情况，研究血管内血液

50、的流动情况，同时对在压强差同时对在压强差同时对在压强差同时对在压强差（P P P P1 1 1 1-P-P-P-P2 2 2 2）的作用下，液体在长为的作用下，液体在长为的作用下，液体在长为的作用下，液体在长为L L L L的细玻的细玻的细玻的细玻管中的流动情况也进行了研究。结果发现，流量管中的流动情况也进行了研究。结果发现，流量管中的流动情况也进行了研究。结果发现，流量管中的流动情况也进行了研究。结果发现，流量Q Q Q Q 与压强与压强与压强与压强梯度梯度梯度梯度（P P P P1 1 1 1-P-P-P-P2 2 2 2） /L/L/L/L和和和和管子半径的四次方管子半径的四次方管子半径

51、的四次方管子半径的四次方成正比，即概括为成正比，即概括为成正比，即概括为成正比，即概括为: : : :这个公式就叫做这个公式就叫做泊肃叶定律（泊肃叶定律（PoiseuillesPoiseuilles law law） 令令 R Rf f=8L/R=8L/R4 4，则泊肃叶定律可以写成：则泊肃叶定律可以写成：4949 R Rf f称为称为流阻流阻，在生理学中常称为，在生理学中常称为外周阻外周阻力力。 上式表明，粘性流体在等截面水平细圆管上式表明，粘性流体在等截面水平细圆管中稳定流动时中稳定流动时，流量，流量Q Q与管子两端的压强差与管子两端的压强差PP成正比，与成正比，与R Rf f成反比。成反

52、比。 流阻流阻R Rf f的大小，可用来表示粘性流体在的大小，可用来表示粘性流体在管中通过时所表现的管中通过时所表现的阻滞程度阻滞程度。不难看出，粘滞性液体在等截面的水平管中以一不难看出，粘滞性液体在等截面的水平管中以一不难看出，粘滞性液体在等截面的水平管中以一不难看出，粘滞性液体在等截面的水平管中以一定的平均速度流动时，定的平均速度流动时，定的平均速度流动时，定的平均速度流动时，流量、压强差和流阻三者流量、压强差和流阻三者流量、压强差和流阻三者流量、压强差和流阻三者之间的关系与电学中的欧姆定律相似。之间的关系与电学中的欧姆定律相似。之间的关系与电学中的欧姆定律相似。之间的关系与电学中的欧姆定

53、律相似。5050当多个等截面的水平管串联或并联时，其总流阻当多个等截面的水平管串联或并联时，其总流阻R Rf f 和各管的流阻之间的关系与电阻串并联时的关系式和各管的流阻之间的关系与电阻串并联时的关系式相同，即相同，即串联时串联时 并联时并联时 医学上在研究心血管系统方面，常用这些关系式医学上在研究心血管系统方面，常用这些关系式分析心输出量，血压降和外周阻力之间的关系。分析心输出量，血压降和外周阻力之间的关系。泊肃叶定律不仅用来分析血液循环系统，而且也泊肃叶定律不仅用来分析血液循环系统，而且也用来测定液体的粘滞系数。用来测定液体的粘滞系数。5151泊肃叶定律推导：泊肃叶定律推导： 1.1.速度

54、分布速度分布 设不可压缩的牛顿流体在半径为设不可压缩的牛顿流体在半径为R R的水平管中流动。的水平管中流动。在管内取半径为在管内取半径为r r，长为，长为L L 并与管共轴的并与管共轴的圆柱形流体圆柱形流体元元，如图，如图(1)(1)所示。该流体元左端所受的压力为所示。该流体元左端所受的压力为P P1 1rr，右端所受的压力为，右端所受的压力为P P2 2rr，它所受的总，它所受的总压力压力 液体元表面上所受的液体元表面上所受的粘滞力由粘滞定律决定粘滞力由粘滞定律决定，因面积因面积S=2rLS=2rL，所以粘滞力为，所以粘滞力为负号表示负号表示v v随随r r的增大而减小。的增大而减小。图图(

55、1)5252 当当管内流体作稳定流动管内流体作稳定流动时，时， 有有 F = FF = F整理整理上式说明，上式说明，速度梯度随速度梯度随r r的增大而增大，的增大而增大，在在r=0r=0，即即管轴处，管轴处，速度梯度为零速度梯度为零；在在r=Rr=R，即管壁处，即管壁处，速度梯速度梯度最大。度最大。分离变量后取定积分，即分离变量后取定积分，即5353上式为牛顿流体在水平圆管中作稳定流动时，流速上式为牛顿流体在水平圆管中作稳定流动时，流速随半径的分布情况。随半径的分布情况。 速度的最大值与管子的内半径的平方成正比，与压速度的最大值与管子的内半径的平方成正比，与压强梯度强梯度 成正比。成正比。

56、可见，流速在管轴可见，流速在管轴 r=0r=0处有最大值处有最大值 图图(2)(2)为其速度分布的剖面图。为其速度分布的剖面图。 由图（）可见，由图（）可见，v v随随r r变化的变化的关系曲线为抛物线。关系曲线为抛物线。这与前面这与前面甘油演示的结果一致。甘油演示的结果一致。5454如图如图(3)(3)所示，在管中取一与管共轴、所示，在管中取一与管共轴、半径为半径为r r、厚度为、厚度为drdr的薄壁圆筒形流体的薄壁圆筒形流体元，元，单位时间内通过该流体元端面的体单位时间内通过该流体元端面的体积积 ，式中，式中v v为半径为半径r r处的流速处的流速( (上面已推导上面已推导),),而而 为

57、小圆环为小圆环的横截面积，所以的横截面积，所以2.2.流量流量图图(3)则泊肃叶定律为则泊肃叶定律为5555对于理想流体，在同一流线或细流管上任取两点，有：对于理想流体，在同一流线或细流管上任取两点，有：对于粘性流体对于粘性流体, , 有内摩擦力造成的能量损失有内摩擦力造成的能量损失, , 设设w w1212表示单位体积的流体自点表示单位体积的流体自点1 1运动到点运动到点2 2时的时的能量损失，则有：能量损失，则有：五、不可压缩粘性流体的伯努利方程 5656对水平圆管对水平圆管,又因，又因， 代入泊肃叶公式代入泊肃叶公式,有有上式表明上式表明, ,粘滞液体在水平均匀管中流动时粘滞液体在水平均

58、匀管中流动时, ,单位体单位体积的液体所损失的能量与液体的粘滞系数和平均速积的液体所损失的能量与液体的粘滞系数和平均速度成正比度成正比, ,与管子内半径的平方成反比与管子内半径的平方成反比, ,同时还与管同时还与管子的长度成正比。子的长度成正比。5757 沿程能量损失与局部能量损失沿程能量损失与局部能量损失如图如图, ,在水平均匀圆管上在水平均匀圆管上, ,等距装有几根等距装有几根竖直开口支管作为压强计，由竖直开口支管作为压强计，由管中液体管中液体上升的高度可显示各处的压强。上升的高度可显示各处的压强。故再考虑各竖直支管中液面的高度再考虑各竖直支管中液面的高度, ,发现它们都在一条直线上发现它

59、们都在一条直线上, ,这就证明了粘滞液体在水平均匀圆管中流动时这就证明了粘滞液体在水平均匀圆管中流动时, ,单位体积液体的单位体积液体的能量损失与管长成正比。能量损失与管长成正比。实验发现，实验发现，沿液体流动方向沿液体流动方向, ,各支管中液体的高度逐次降低各支管中液体的高度逐次降低, ,即液即液流沿流动方向压强逐次减小。流沿流动方向压强逐次减小。这种压强降低表示了能量的损失。这种压强降低表示了能量的损失。六、斯托克斯定律六、斯托克斯定律固体在粘滞流体中运动时固体在粘滞流体中运动时, ,要受到粘滞力的作用要受到粘滞力的作用. .这是因为固体这是因为固体表面附着了一层流体表面附着了一层流体,

60、,这层流体随固体一起运动这层流体随固体一起运动, ,因而与周围流因而与周围流体产生摩擦而引起的体产生摩擦而引起的, ,此力阻碍固体在流体内的运动。此力阻碍固体在流体内的运动。58581.1.斯托克斯定律（斯托克斯定律（ Stokess law 1845 1845年）年）在粘性流体中运动时，物体表面附着有一层流体，在粘性流体中运动时，物体表面附着有一层流体，因而与周围流体存在粘性力。因而与周围流体存在粘性力。 设半径为设半径为R R的球体以速度的球体以速度v v运动，且流体对于球体作运动，且流体对于球体作层流运动，则小球所受阻力大小为：层流运动，则小球所受阻力大小为：这个关系式称为这个关系式称为

61、斯托克斯定律斯托克斯定律. . 5959 设设为球体的密度为球体的密度,为流体的密度为流体的密度, ,则球体所受则球体所受的的重力为重力为4/3r4/3rgg，所受的，所受的浮力为浮力为4/3r4/3rg g，所受的粘滞阻力为，所受的粘滞阻力为6rv6rv。当球体的下降速度。当球体的下降速度达到达到收尾速度收尾速度时，三力平衡，即时，三力平衡，即整理后得整理后得收尾速度收尾速度fF6060根据上式，如果知道球体的半径和密度，并且测出根据上式，如果知道球体的半径和密度，并且测出收尾速度，则可求得液体的粘滞系数收尾速度，则可求得液体的粘滞系数( (落球法落球法) )。反。反之，如果之，如果，和和已

62、知，并且测出已知，并且测出v v，则可算出，则可算出球体的半径球体的半径r r。 密立根在测量电子电量的油滴实验中，就曾采密立根在测量电子电量的油滴实验中，就曾采用这种方法测定在空气中自由下落的带电小油滴的用这种方法测定在空气中自由下落的带电小油滴的半径。半径。 此外，在制造的药物剂型为混悬液时，也常采用此外，在制造的药物剂型为混悬液时，也常采用增加媒质的密度和粘滞系数以及减小药物颗粒的增加媒质的密度和粘滞系数以及减小药物颗粒的半径等方法来提高药液的稳定性。半径等方法来提高药液的稳定性。斯托克斯定律应用斯托克斯定律应用6161F=0F=0时：时：fF 落球法测液体的粘滞系数落球法测液体的粘滞系数fF6262