《复变函数课件：第八讲 留数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数课件：第八讲 留数（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八讲 留数留数& 1. 定义定义& 2. 分类分类& 3. 性质性质& 4. 零点与极点的关系零点与极点的关系5.1 孤立奇点孤立奇点 1. 定义定义例如例如-z=0为孤立奇点为孤立奇点-z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇奇点点-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义xyo这这说明奇点未说明奇点未必是孤立的。必是孤立的。2. 分类分类以下将以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：考察：特点：特点：没有负幂次项没有负幂次项特点：特点：只有有限
2、多个负幂次项只有有限多个负幂次项特点：特点：有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项定义定义 设设z0是是f (z)的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，的去心邻域内， 若若f (z)的洛朗级数的洛朗级数没有负幂次项，称没有负幂次项，称z=z0为可去奇点为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称只有有限多个负幂次项，称z=z0为为m 级极点级极点;有无穷多个负幂次项，称有无穷多个负幂次项，称z=z0为为本性奇点。本性奇点。3. 性质性质q若若z0为为f (z)的可去奇点的可去奇点q若若z0为为f (z)的的m (m 1) 级极点级极点例如：例如：z=1为为f (z)的的一个三级极点，一
3、个三级极点， z= i为为f (z)的的一级极点。一级极点。q若若z0为为f (z)的的本性奇点本性奇点4. 零点与极点的关系零点与极点的关系定义定义 不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f (z)如果能表示成如果能表示成则称则称z=z0为为f (z) 的的m 级零点。级零点。例如：例如：定理定理事实上事实上，必要性得证！必要性得证！充分性略！充分性略！例如例如定理定理:证明证明“”若若z0为为f (z)的的m 级极点级极点例例解解显然，显然，z= i 是是(1+z2)的一级零点的一级零点综合综合& 1. 留数的定义留数的定义& 2. 留数定理留数定理& 3. 留数的计算规则留数的计算规则5
4、.2 留数留数(Residue)1. 留数的定义留数的定义定义定义设设 z0 为为 f (z) 的孤立奇点，的孤立奇点， f (z) 在在 z0 邻域邻域内的洛朗级数中负幂次项内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数的系数 c1 称为称为f (z)在在 z0 的的留数留数，记作，记作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0)。由由留数定义留数定义, Res f (z), z0= c1 (1)2. 留数定理留数定理定理定理证明证明Dcznz1z3z2由由复合闭路定理得：复合闭路定理得：用用2 i 除上式两边得除上式两边得:得证！得证！A 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为
5、求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数。奇点的留数。 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用将是采用将 f (z) 在在 z0 邻域内邻域内展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数 c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。奇点的类型，对求留数更为有利。以下就三类孤立奇点进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3. 留数的计算规则留数的计算规则规则规则I规则规则II事实上事实上，由条件，由条件A当当m=1时，式时，式(5)即为式即为式(4).规则规则III事实上事实上，例例1解解例例2解解例例3解解例例4解解故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。数，不要死套规则。如如是是f (z)的三级极点的三级极点。-该方法较规则该方法较规则II更简单！更简单！A(2) 由规则由规则II 的推导过程知，在使用规则的推导过程知，在使用规则II时，可将时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更取得比实际级数高，这可使计算更简单。简单。如如作作 业业P147 1（1）（）（4）（）（7） 8（2）（）（4）（）（6）（）（8） 9（1）（）（2）（）（5）
