《概率论与随机过程：第3章 第四节 条件分布 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与随机过程：第3章 第四节 条件分布 (2)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 条件分布 引言 一、离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 PPX= =xi, ,Y= =yj=pij , i, j=1,2,. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 PX=xi=pi i=1,2,. PY=yj=pj j=1,2,. 设pi0,pj0，考虑在事件Y=yj已发生的条件下事件X=xi发生的概率,即 X=xi|Y=yj, i=1,2,.的概率,由条件概率公式, 显然，上述条件概率具有分布律的特性(1).P PX=xi|Y=yj0； 1定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若PY=yj0，则称 为在Y=yj条件下随机变
2、量X的条件分布律。 同理，对于固定的i，若PX=xi0，则称 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。 2. 条件分布函数 同理： 例1 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律如表 XYX1= -1 X2=1 X3=2 Y=0 1/12 0 3/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 Y=2 3/12 1/12 0求条件分布律PX=xi|Y=2. 解：X与Y的边缘分布如表： XYx1=-1 x2 =1 x3 =2 p.j y1=0 1/12 0 3/12 4/12 y2 =3/2 2/12 1/12 1/12 4/12 y3=2 3/12 1/12 0 4/12 pi . 6/12 2
3、/12 2/12 4/12 PX=-1|Y=2=p13/p. .3=3/4；PX=1|Y=2=p23/p. .3=1/4；PX=2|Y=2=p33/p. .3=0；又如：PX=1|Y=0=p21/p. .1=0等；二、连续型随机变量条件分布的定义 设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有PX=x=0 , PY=y=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数PXx|Yy.下面我们用极限的方法来处理. 给定y,设对于任意固定的正数,Py-Yy+0 ,于是对于任意x有 上式给出了在任意y-Yy+下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义. 1.条件分布函数的定义：给定y,设对于
4、任意实数x,若极限 存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数, 记为PXx|Y=y或记为FX|Y(x|y). 2公式： 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y).若在点(x,y)处f(x,y), fY(y)连续,且fY(y)0,则有 3.条件概率密度 定义同理，称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。 称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。例1: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(1,2,12,22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x).解: (X,Y)的密度函数为 由上一节的例知道 所以X=x条件下Y的条件概率密度为 这正是正态分布 例2: 设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度fY(y). 解: 按题意X具有概率密度 对于任意给定的值x(0x1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度 于是得联合概率密度为 于是得关于Y的边缘概率密度为 例3:设(X,Y)的概率密度为 求:(1) fY|X(y|x)；(2)PY2|X=1/2。 解：(1)先求X的边缘概率密度。 当0x2时，
