《分类计数原理与分布计数原理(叶小兵).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分类计数原理与分布计数原理(叶小兵).ppt（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、综合问题排列问题(在排列应用问题给合应用问题(含与不含)与不在，邻与有限制条件的组合问题不邻)相互独立事件同时发生的概率互斥事件有一个发生的概率随机事件的概率系数性质概率有限制条件的选排列公式排列数公式排列数公式通项公式二项式定理组合排列全排列公式组合数性质加法原理乘法原理应用选修选修2-3排列、组排列、组合和概率合和概率问题一：问题一：问题一：问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车. .一天中，火一天中，火一天中，火一天中，火车有车有车有车有3 3班，汽车有班，汽车有班，
2、汽车有班，汽车有2 2班班班班. .那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？乙地共有多少种不同的走法？乙地共有多少种不同的走法？乙地共有多少种不同的走法？1.11.1分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理1.11.1分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理n n：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 1种不同的方法，在第2类办法中有m2 2种不同的方法在第n类办法中有mn n种不同
3、的方法.那么完成这件事共有n nN=m1 1+m2 2+mn n种不同的方法.对于分类计数原理，注意以下几点对于分类计数原理，注意以下几点.n n（1 1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；以分类计数原理又称加法原理；n n（2 2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；n n（3 3）完成这件事的任何一种方法必属于某
4、一类，）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法法. .1.11.1分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理问题二：问题二：问题二：问题二： 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地乘汽车到乙地乘汽车到乙地乘汽车到乙地. .一天中，火车有一天中，火车有一天中，火车有一天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有班，汽车有班，汽车
5、有2 2班，那么两天中，班，那么两天中，班，那么两天中，班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？1.11.1分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理分步计数原理分步计数原理分步计数原理分步计数原理n n完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 1种不同的方法，做第2步有m2 2种不同的方法做第n步有mn n种不同的方法.那么完成这件事共有n nN=m1 1m2 2mn n种不同的方法.1.11.1分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理对于分步计数原理，应
6、注意以下几对于分步计数原理，应注意以下几点点.n n（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理。n n（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；n n（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.1.11.1分类计数原理与分步计算原理分类计数原理与分步计算原理从实际问题中如何判断该用哪个定理？从实际问题中如何判断该用哪个定理？从实际问题中如何判断该用哪个定理？从实际问题中如何判断该用哪个定理？例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书1）从中任取一本，有多少种不同的
7、取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少不同的取法？自主思考：自主思考：题题 号号完成一件什么事完成一件什么事？完成这件事可分完成这件事可分几类？几类？每类方案中分别每类方案中分别有几种不同的方有几种不同的方法？法？完成这件事共有完成这件事共有多少种不同的方多少种不同的方法？法？完成表格，归纳结论表一：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？自主思考：自主思考：题题 号号完成一件什么事？完成一件什么事？完成这件事可分几完成这件事可分几步？步？每步中分别有几种每步中分别有几种不同的方法？不同的方法？完成这件事共有多完成这件事共有多少种不
8、同的方法？少种不同的方法？完成表格，归纳结论表二：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解n n例例1 1书架上层放有书架上层放有6 6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5 5本不同本不同的语文书的语文书 1 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？）从中任取一本，有多少种不同的取法？ 解：（解：（1 1）从书架上任取一本书，有两类办法：）从书架上任取一本书，有两类办法： 第一类办法是从上层取数学书，可以从第一类办法是从上层取数学书，可以从6 6本书中任取一本书中任取一本，有本，有6 6种
9、方法种方法 第二类办法是从下层取语文书，可以从第二类办法是从下层取语文书，可以从5 5本书中任取一本书中任取一本，有本，有5 5种方法种方法 根据加法原理，得到不同的取法的种数是根据加法原理，得到不同的取法的种数是6 6十十5=115=11答：从书架答：从书架L L任取一本书，有任取一本书，有1111种不同的取法种不同的取法 例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解n n例例1 1书架上层放有书架上层放有6 6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5 5本不同本不同的语文书的语文书2 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解解（2 2
10、）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：个步骤完成： 第一步取一本数学书，有第一步取一本数学书，有6 6种方法；种方法； 第二步取一本语文书，有第二步取一本语文书，有5 5种方法种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N N6X56X53030答：从书架上取数学书与语文书各一本，有答：从书架上取数学书与语文书各一本，有3030种不同的种不同的方法方法分步乘法分步乘法分步乘法分步乘法 分类加法分类加法分类加法分类加法共同点共同点区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类方案。方案。完成一
11、件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤。步骤。区别二区别二每类中的任一种方法都每类中的任一种方法都能能独立完成独立完成这件事情这件事情。每步要而且只要拿出一种方法每步要而且只要拿出一种方法就可以完成一件事情。就可以完成一件事情。都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：例例2电视台在电视台在“欢乐大本营欢乐大本营”节目中节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有
12、封，乙信箱中有20封，现由主持人抽封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？有多种不同的结果？ 怎样联合两个定理解决问题？怎样联合两个定理解决问题？n n解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：302920=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有201930=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.怎
13、样联合两个定理解决问题？怎样联合两个定理解决问题？自主思考自主思考自主思考自主思考n n(1)(1)由数字由数字l l，2 2，3 3，4 4，5 5可以组成多少个数字允许重可以组成多少个数字允许重复三位数？复三位数？n n解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：n n第一步确定百位上的数字，从第一步确定百位上的数字，从5 5个数字中任选一个个数字中任选一个数字，共有数字，共有5 5种选法；种选法；n n第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 这仍有这仍有5 5种选法，种选法，n n第三步确定个位上的数字
14、，同理，它也有第三步确定个位上的数字，同理，它也有5 5种选法种选法n n根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125N=5X5X5=125n n答：可以组成答：可以组成125125个三位数个三位数n n练习：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？n n(2)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？（3 3）: :如图如图, ,要给下面要给下面A A、B B、C C、D D四个区域分别涂上四个区域分别涂上5 5种种不同颜色中的某一种不同颜色中的某一种, ,允许同一种颜色使用多次允许
15、同一种颜色使用多次, ,但相邻区域但相邻区域必须涂不同的颜色必须涂不同的颜色, ,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？N=5434=240注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法数数4 4张卡片的正、反面分别有张卡片的正、反面分别有张卡片的正、反面分别有张卡片的正、反面分别有0 0与与与与1 1，2 2与与与与3 3，4 4与与与与5 5，6 6与与与与7 7，将，将，将，将其中其中其中其中3 3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数张卡片排放在一起，可组
16、成多少个不同的三位数？n n解：分三个步骤：n n第一步：首位可放81=7个数；n n第二步：十位可放6个数；n n第三步：个位可放4个数.n n根据分步计数原理，可以组成n nN=764=168个数.hezuotanjiuhezuotanjiu四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？n n我们可排出所有的分配
17、方案：我们可排出所有的分配方案：（1 1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；n n（2 2）甲取得丙卡，方案为：）甲取得丙卡，方案为：n n丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；n n（3 3）甲取得丁卡，方案为：）甲取得丁卡，方案为：n n丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲. .n n由分类计数原理，共有由分类计数原理，共有3+3+3=93+3+3=9种种. .n n n n另外，此题也可分步解
18、决：另外，此题也可分步解决：n n第一步：甲取一张，有第一步：甲取一张，有3 3种取法；种取法；n n第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3 3种取法；种取法；n n第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；n n第四步：最后一人取，只有一种取法第四步：最后一人取，只有一种取法. .n n由分步计数原理得不同取法有由分步计数原理得不同取法有3311=93311=9种种. .知识知识方法方法思想思想分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理归纳与类比归纳与类比分类法、分步法分类法、分步
19、法特殊到一般特殊到一般 化归转化化归转化小结升华感悟计数原理入门径，何时相加何时乘？分类相加无重漏，分步相乘步骤整.要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习1. 1.
20、在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用乘法原理？在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用乘法原理？2. 2. 这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？3. 3.（口答）一件工作可以用两种方法完成有（口答）一件工作可以用两种方法完成有 5 5人会用第一种方法完成，人会用第一种方法完成， 另有另有4 4人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？选法？4. 4. 在读书活动中，一个学生要从在读书活动中，一个学生要从 2 2本科技书、本科技书、
21、2 2本政治书、本政治书、 3 3本文艺书里任本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？选一本，共有多少种不同的选法？5. 5. 从甲地到乙地有从甲地到乙地有2 2条路可通，从乙地到丙地有条路可通，从乙地到丙地有3 3条路可通；从甲地到丁地条路可通；从甲地到丁地有有4 4条路可通，从丁地到丙地有条路可通，从丁地到丙地有2 2条路可通从甲地到丙地共有多少种不条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？同的走法？6. 6.一个口袋内装有一个口袋内装有5 5个小球，另一个口袋内装有个小球，另一个口袋内装有4 4个小球，所有这些小球的个小球，所有这些小球的颜色互不相同颜色互不相同（1 1）从两个口袋内任
22、取一个小球，有多少种不同的取法？）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2 2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结练习题：练习题：1 1。有两个口袋，分别装有有两个口袋，分别装有5 5个小球和个小球和4 4个小球，所有这些小球的颜色互不相个小球，所有这些小球的颜色互不相同，同，（1 1）从两口袋中任取一个，有多少种不同的取法。）从两口袋中任取一个，有多少种不同的取法。（2 2）从两口袋中各取一个，有多少种不同的取法。）从两口袋中各取一个，有多少种不同的取法。2 2。从。从3 3名男生和名男生和
23、2 2名女生中选出优秀学生名女生中选出优秀学生3 3人，要求其中至少有人，要求其中至少有1 1名女生，那名女生，那么有多少中不同的选法？么有多少中不同的选法？3 3。有大小两个正方体，在它们的。有大小两个正方体，在它们的6 6个表面上分别标有个表面上分别标有1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。将。将 两个正方体掷在桌面上，向上一面的两个数的和为偶数的情形有多少种？两个正方体掷在桌面上，向上一面的两个数的和为偶数的情形有多少种？4 4。 三面不同颜色的旗帜，可以升一面、两面，页可以三面一起升，那么可三面不同颜色的旗帜，可以升一面、两面，页可以三面一起升，那么可以表示多少种不同的信号？
24、以表示多少种不同的信号？5 5。平面上有。平面上有1010个点，无三点共线，每三点连一个三角形，可以画出多少个三个点，无三点共线，每三点连一个三角形，可以画出多少个三角形？角形？6 6。从。从1 1到到100100的自然数中，每次取出两个，要它们的和大于的自然数中，每次取出两个，要它们的和大于100100，有多少种不，有多少种不同的取法？同的取法？7 7。从。从8 8男男5 5女中选女中选4 4人参加比赛，其中至少要有两名女生，有多少中选法？人参加比赛，其中至少要有两名女生，有多少中选法？8 8。从。从9 9名学生中选三名参赛，有多少中选法？名学生中选三名参赛，有多少中选法？ 9 9。完全相同的。完全相同的7 7个球，放入三个同样的盒子，允许有的盒子空，有多少种不个球，放入三个同样的盒子，允许有的盒子空，有多少种不同的放法？同的放法？
