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1、?第八章 塑性应力应变关系目标：1）掌握弹性变形与塑性变形的特征3) 了解塑性理论的基本框架2) 掌握全量理论、增量理论的基本假设及其的不同点?8.1 弹性应力应变关系一、弹性应力应变关系（广义虎克定律）：在弹性变形中，既有形状变化又有体积变化。有必要将两种变化区分开来，看看弹性变形中这两种变形各自对应什么样的应力状态。问题的思路问题的思路？?一、弹性应力应变关系由全应变分量减去平均应变得到偏应变分量：将虎克定律前三式相加得：a) 平均应变与平均应力b) 偏应变与偏应力?一、弹性应力应变关系（续）类似有：对应力分量，有：式中： 称为体积弹性模量，表示产生单位体积变形所需要的应力。 （广义胡克定
2、律的另一形式 ）?二、弹性变形的特征展开广义胡克定律：C) 等效应变与等效应力?二、弹性变形的特征（续） 与比较得量E3G，这是由于在等效应变的定义式中，系数的选择已经考虑到材料是不可压缩的，泊松比取值为0.5的缘故。 ?二、弹性变形的特征（续2）弹性变形的特征：1弹性变形可以分解为形状变化部份和体积变化部份。形状变化 只和偏应力有关；体积变化只和球应力有关；2弹性变形时，全量应变和全量应力之间存在一一对应的关系。即知道应力可以求得应变；反过来，求得应变也可以求得应力；3平均应力与体积应变成正比；4应力偏张量与应变偏张量成正比；5应力主方向与应变主方向重合；6等效应力与等效应变成正比。?n 一
3、般近似认为体积不变，泊松比 =0.5n 塑性变形是不可逆的n 应力应变之间的关系不一定是单值的n 全量应变主轴与全量应力主轴不一定重合n 应力应变之间的关系是非线性的塑性变形问题一般都非常复杂。一般不可能建立应力和应变之间的全量关系。全量应变的大小和主轴方向一般与加载的历史有关。于是人们首先提出增量理论增量理论(流动理论流动理论)的概念。只有在特殊的情况下，增量理论才可以推广成为全量理论全量理论。 7.2 塑性变形的特点?7.3 全量理论(形变理论)依留申小弹塑性理论所采用的假设，与广义胡克定律的几点结论十分相似，其基本假设是： 1，体积应变是弹性的，并且与平均应力成正比； 2应力偏张量与应变
4、偏张量成正比： 3应力主轴与应变主轴重合，在整个加载过程中主方向保持不变； 4等效应力是等效应变的单值函数，即： 一、依留申理论 注：在简单加载(或称为比例加载，即个应力分量按比例增加)情况下，应力主轴和应变主轴重合?一、依留申理论（续） 上式是依留申小弹塑性理论最基本的表达式。 写成主应力和主应变关系的形式 依留申理论的求解过程： 己知某点处的应力状态等效应力等效应变确定该点处的应变状态。 ?一、依留申理论（续2）依留申小弹塑性理论另一表达式： 注：依留申小弹塑性理论只能用于简单加载，不能用于卸载。 ?二、汉基理论汉基理论的基本假设是应力偏张量与塑性应变偏张量成比例： ?二、汉基理论（续）（
5、汉基理论的常用表达式）?二、汉基理论（续2）假设在整个变形过程中材料不可压缩，泊松比为0.5，则简化为： ?二、汉基理论（续3）?三、弹塑性问题全量理论的基本方程组 设在变形体V内给定体积力、在力边界上给定面力、在位移边界上给定位移，现在要求物体内各点处的应力、应变和位移，确定这些物理量的方程为： 1平衡方程 2几何方程(应变位移关系) 3应力应变关系 依留申理论 式中： 汉基理论 ?三、弹塑性问题全量理论的基本方程组（续）4边界条件 a) 在力边界上满足应力边界条件 b) 在位移边界上满足位移边界条件 在全量理论中，有十七个待确定的量： 六个应力分量、六个应变分量，三个位移分量，等效应力和等
6、效应变。有十七个方程： 三个平衡方程、六个几何方程、六个应力应变关系，以及等效应力和等效应变的关系； 再结合适当的边界条件，可以从数学上求解。 ?7.4 增量理论(流动理论)列维和密赛斯等人先后提出了分析塑性变形的增量理论，其基本假设为：( 为非负比例常数)1 ） 材料是理想刚塑性的，即满足体积不变体积，且没有加工硬化；2）服从Mises屈服准则，即：3）应力主轴和应变增量主轴重合；4）应变增量和应力偏张量成正比，即a) 基本假设一、列维和密赛斯（Levy-Mises)增量理论?b) 列维和密赛斯增量理论表达式为了计算上述常数，在主应力分量已知时将上式改写成：上式表明应力莫尔圆和应变莫尔圆几何
7、相似(但位置可能不同)。将上式改写成：利用等比关系得：?将式子两边的三项分别相加得：于是：b) 列维和密赛斯增量理论表达式（续）得到列维-密赛斯增量理论表达式为：依留申理论的求解过程： 1）己知某点处的应力状态偏应力分量可求出应变比值（不能应变状态）。 2）己知某点处的应变状态等效应变偏应力分量（求不应力分量）。?b) 列维和密赛斯增量理论其他表达式可以将增量理论写成类似于虎克定律的形式：?二、普朗特劳斯理论 （Prandtl-Reuss)增量理论普朗特劳斯理论是在列维密席斯理论的基础上考虑了弹性变形部分。普朗特劳斯理论研究对象是理想弹塑性材料。 采用密席斯屈服条件，则 （普朗特劳斯理论表达式
8、）?普朗特劳斯理论另一表达式为单位体积材料发生形状变化时所作功的增量 设：?证明： 以 、 、 、 、 、 分别乘以上式的两边，相加得： ?证明：取增量形式得： 由密席斯屈服条件得： ?三、弹塑性问题增量理论的基本方程组 设在变形体V内给定体积力、在力边界上给定面力、在位移边界上给定位移，现在要求物体内各点处的应力、应变和位移，确定这些物理量的方程为： 1平衡方程 2几何方程(应变位移关系) 3应力应变关系 弹性区，取广义胡克定律的增量形式： 塑性区，按普朗特劳斯理论理论（列维和密赛斯理论是简化式） ?三、弹塑性问题增量理论的基本方程组（续）4边界条件 a) 在力边界上满足应力边界条件 b)
9、在位移边界上满足位移边界条件 在全量理论中，有十七个待确定的量： 六个应力分量、六个应变分量，三个位移分量，等效应力和等效应变。有十七个方程： 三个平衡方程、六个几何方程、六个应力应变关系，以及等效应力和等效应变的关系； 再结合适当的边界条件，可以从数学上求解。 ?练习：已知单拉实验中应力应变关系为 ，试确定等效应力和等效应变之间的关系 。练习：一薄壁管，屈服应力为 ，承受拉力和扭矩的组合载荷而屈服。现已知正应力分量为 ，试求1)剪应力的大小；2)主应力的大小；和3)各应变分量之间的比值。练习：已知应力状态为 ，应变分量 。试求其它应变分量。?练习：试估算图示橡皮压筋时筋部的主应变和主应力。练
10、习：变形前在板坯上做好半径为R的圆，变形后称为长半轴为A短半轴为B的椭圆。假设厚度方向不受力，材料的应力应变关系为应力应变关系为 ，并假设变形过程为简单加载。求：1)各主应变分量；2)变形后厚度；3)各主应力分量。?7.6 单一曲线假设关于等效应变于等效应力的全量关系，目前应用较多的是单一曲线单一曲线假设假设：不管材料处于什么样的应力状态变形，折算成等效应力和等效应变的关系，应该是一条曲线。换句话说，等效应力是等效应变的单值函数，它只与材料的本性有关，而与材料的应力状态无关。因此，简单应力状态下得到的等效应力和等效应变的关系，可以用于计算复杂应力状态时的应力和变形。?7.5 塑性变形功单位体积的塑性变形功可以表示为：由于：故：
