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1、提纲提纲5 一维势阱问题一维势阱问题 分立谱分立谱 一维无限深方势阱一维无限深方势阱* 标准化条件及解的物理意义标准化条件及解的物理意义 分立谱分立谱作业：作业：2-5; 2-6; 2-7* 薛定谔方程薛定谔方程例例2.8 叠加态的物理意义叠加态的物理意义 定态薛定谔方程定态薛定谔方程4 薛定谔方程薛定谔方程 力场中粒子的薛定谔方程力场中粒子的薛定谔方程1一、力场中粒子的薛定谔方程一、力场中粒子的薛定谔方程如果粒子在势场如果粒子在势场 中运动，能量中运动，能量其薛定谔方程其薛定谔方程定义定义哈密顿算符哈密顿算符（也称（也称能量算符能量算符）则薛定谔方程为则薛定谔方程为坐标表象中的力学量算符坐标
2、表象中的力学量算符4 薛定谔方程薛定谔方程2二、定态薛定谔方程定态薛定谔方程两边除以两边除以 可得可得若作用在粒子上的势场若作用在粒子上的势场 不显含时间不显含时间 t 时，时， 薛定谔方程可用分离变量法求特解。薛定谔方程可用分离变量法求特解。这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。3由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为必须等于同一个常数，设为E则有：则有：4可见可见E具有能量的量纲具有能量的量纲与自由粒子波函数类比与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。它代表粒子的能量。薛定谔方
3、程的特解为薛定谔方程的特解为时间部分：时间部分：由归一化条件可以把由归一化条件可以把A写到空间部分写到空间部分 (r)。5对应的几率密度与时间无关对应的几率密度与时间无关由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。其波函数为定态波函数。其波函数为定态波函数。定态薛定谔方程定态薛定谔方程处于定态下的粒子具有确定的能量处于定态下的粒子具有确定的能量E粒子在空间的概率密度分布不随时间变化粒子在空间的概率密度分布不随时间变化力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化以后我们只研究定态问题。以后我们只研究定态问题。
4、6海森堡海森堡Heisenberg 德德 1932 Nob 量子力学量子力学(矩阵力学矩阵力学)薛定谔薛定谔Schrodinger奥奥 1933 Nob 量子力学（波动力学）量子力学（波动力学）狄拉克狄拉克Dirac 英英 1933 Nob 相对论量子力学相对论量子力学泡利泡利 Pauli 美美 1945 Nob 泡利不相容原理泡利不相容原理海森海森堡堡狄拉克狄拉克泡利泡利对量子力学做出突出贡献的科学家对量子力学做出突出贡献的科学家:薛定谔薛定谔7从数学上来讲：从数学上来讲： E 不论为何值该方程都有解。不论为何值该方程都有解。 从物理上来讲：从物理上来讲： E只有取一些特定值，该方程的只有取
5、一些特定值，该方程的解才能满足波函数的条件：单值、有限、连续和解才能满足波函数的条件：单值、有限、连续和归一。特定的归一。特定的E值称为值称为能量本征值。能量本征值。特定的特定的E值所值所对应的方程称为对应的方程称为能量本征值方程，能量本征值方程，相应波函数称相应波函数称为为能量本征函数。能量本征函数。下面以一维下面以一维定态定态为例，求解已知势场的定态薛为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而从而看出看出能量量子化能量量子化是薛定谔方程的自然结果。是薛定谔方程的自然结果。5 一维势阱问题一维势阱问题 分立谱分立谱定态薛定谔方程定态薛定
6、谔方程8已知粒子所处的势场为已知粒子所处的势场为粒子在势阱内受力为零，势能为零。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势极大的斥力。称为一维无限深方势阱阱。* 其定态薛定谔方程其定态薛定谔方程 一维无限深方势阱一维无限深方势阱9(2) 在阱内粒子势能为零，满足：在阱内粒子势能为零，满足：(1) 在阱外粒子势能为无穷大，满足在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零方程的解必处处为零。根据根据波函数的标准化条件波函数的标准化条件，在边界上，在边界上所以，粒子被束缚在阱内运动所以，粒子被束缚在阱内运动。10在阱
7、内的薛定谔在阱内的薛定谔 方程可写为：方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：类似于简谐振子的方程，其通解：代入边界条件得：代入边界条件得：所以，所以，n不能取零，否则无意义不能取零，否则无意义11 从能量的意义看，可有从能量的意义看，可有E 0，但能否但能否E = 0呢？呢？在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中），在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中），由不确定关系可知，动量的不确定量由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零应不为零，所以动量所以动量P 0， E 0n不能取零，否则无意义。不能取零，否则无意义。除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外，除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外，
8、还有以下原因：还有以下原因：12因为因为结果说明粒子被束缚在势阱中，结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论结论：由归一化条件由归一化条件13一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：讨论 零点能零点能的存在的存在 称为基态能量称为基态能量 能量是量子化的能量是量子化的，由标准化（边界）条件而来。，由标准化（边界）条件而来。 称称n为为量子数量子数； n(x) 为本征态；为本征态；En 为本征能量为本征能量本征能量：本征能量： 能级间隔能级间隔14o图示图示:一维无限深方势阱中粒
9、子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级稳定的驻波能级n+1个节点个节点15 能量本征值能量本征值En 对应的能量本征函数对应的能量本征函数 n(x) 组成组成完备完备集。集。能量量子数能量量子数 n 从从 1至至 在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开组完备的本征函数展开,这组完备集满足这组完备集满足正交性正交性所谓所谓叠加态叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整的叠加在一起。值、独立完整的叠加在一起。实验上物理量的测量值，
10、是各参加叠加态的可能的本征态的实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。16例例2.8 叠加态的物理意义叠加态的物理意义 (无限深势阱，坐标原点在阱中间无限深势阱，坐标原点在阱中间p348) 求叠加态的概率分布。求叠加态的概率分布。 12描述的不再是定态，描述的不再是定态，两定态的叠加表示粒子从一定态到另两定态的叠加表示粒子从一定态到另一定态的一定态的跃迁。跃迁。若第三项表示振动电偶极子的电磁辐射。电磁若第三项表示振动电偶极子的电磁辐射。电磁波的频率正是玻尔提出的原子发光的频率。波
11、的频率正是玻尔提出的原子发光的频率。量子力学能给出粒子在两个定态之量子力学能给出粒子在两个定态之间的跃迁几率，并计算辐射强度。间的跃迁几率，并计算辐射强度。17例题例题2.9 若粒子在若粒子在0，a范围无限深一维方势阱中范围无限深一维方势阱中运动运动解：解：1. 归一化系数归一化系数求：求：1 归一化系数；归一化系数；2 基态的概率密度及最大基态的概率密度及最大值值 3 0，a/2之间粒子出现的概率之间粒子出现的概率 ； 4 （基态）（基态） 5 由由 验证不确定关系验证不确定关系 6 求基态能；求基态能；182. 基态概率密度基态概率密度极值处极值处3. 基态在基态在0，a/2区间的概率区间的概率4. 基态的几个平均值基态的几个平均值195. 验证不确定关系验证不确定关系206. 基态能（有三种求法）基态能（有三种求法）已知基态波函数已知基态波函数 能级公式不确定关系21
