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1、平面向量的意义第平面向量的意义第1课课已知两个力已知两个力F1和和F2同时作用在一个物体上同时作用在一个物体上,其中其中F1=40N,方向向东方向向东,F2=30N,方向向北方向向北,求它们的合力求它们的合力.东东B 北北A O C F2 F1F B例例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用在图中分别用 向量表示向量表示A地至地至B、C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A地至地至B、 C两地的实际距离两地的实际距离(精确到精确到1km).1:80000005.什么是相等向量和共线向量？什么是相等向量和共线向量？长度长度相等相等且方向且方向相同相同的
2、向量叫的向量叫相等向量相等向量注：注：1.若向量若向量 相等，则记为相等，则记为 ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的表示，并且与有向线段的起点无关起点无关。abc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4平行向量也叫平行向量也叫共线向量共线向量注：注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上任一组平行向量都可以平移到同一直线上.OABCB 相等相等B5.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量
3、。 OABCDEFABCDEF6.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 O7 7：如图如图,EF,EF是是ABCABC的中位线的中位线,AD,AD是是BC BC 边是的中边是的中 线线, ,在以在以A A、B B、C C、D D、E E、F F为端点的有向线为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出段表示的向量中请分别写出（1 1）与向量）与向量CDCD共线的向量有共线的向量有_个个, ,分别是分别是_；（2 2）与向量）与向量DFDF的模一定相等的向的模一定相等的向量有量有_个个, ,分别是分别是_；（3 3）
4、与向量）与向量DEDE相等的向量有相等的向量有_个个, ,分别是分别是_。 ABCDEF7DC,DB,BD,FE,EF,CB,BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF, FA8 8：如图：如图,D,D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平行四边形，请分别写出是平行四边形，请分别写出： （1 1）与）与EDED共线的向量；共线的向量；（2 2）与）与EDED相等的向量；相等的向量；（3 3）与）与FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM解：（解：（1）DE、BF、FB、FA、AF、CM、MC、AB、BA（2 2）FBFB、AFA
5、F、MCMC（3）BDBD、DCDC、EMEM课本课本 P8687嘉祥一中高一、一科数学组嘉祥一中高一、一科数学组向量加法、减法运算及向量加法、减法运算及其几何意义其几何意义知识回顾知识回顾 1.向量与数量有何区别向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量向量怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方
6、向指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示字母表示.如,长度相等长度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因为如此正因为如此,我们研究的向量是我们研究的向量是与起点无关与起点无关的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.) 上海上海香港香港台北台北引入引入1：上海上海香港香港台北台北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：CAB首首尾尾连连首首尾尾相相接接尝试练习一
7、：尝试练习一：ABCDE（1）根据图示填空：）根据图示填空：例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。 则则 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，例题讲解：例题讲解：思考思考1：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，加法的时，加法的三角形三角形法法 则则是否还适用？如何作出两个向量的和？是否还适用？如何作出两个向量的和？（1）（2）ABCBCA 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？三角形的两边之和大于第三边三角
8、形的两边之和大于第三边综合以上探究我们可得结论： 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABC起起点点相相同同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：OA
9、BC起起点点相相同同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则： 文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。和向量。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，以以 为邻边作为邻边作 OACB ，连结连结OC，则，则平行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形
10、法则和和平行四边形平行四边形法则作出法则作出 思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。OABCACD例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表
11、示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。ADBC例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江
12、水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设实数实数 的相反数记作的相反数记作 。如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算
13、及其几何意义回顾：回顾：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。（1）（3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： 的相反向量仍是的相反向量仍是 。二、向量的减法：二、向量的减法：（2）BAC设设DE又又所以所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ 三、几何意义：三、几何意义：
14、 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ABOABO注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地BAO（三三角角形形法法则则）练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。例例3OBACD作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，则则作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点
15、，指向被减向量的终点。练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。（1）（2）（3）（4）例例4在在 ABCD 中，中，你能用你能用 表示表示 吗？吗？DBAC变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条满足什么条件时，件时， 与与 互相垂直？互相垂直？ 变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条满足什么条件时，件时， 向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（二、几何意义（起点相同起点相同，由减向量的终点，由减向量的终点 指向指向被减向量被减向量的终点）。的终点）。向量的概念向量的概念: :向量的表示方法：向量的表示方法
16、：零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 平行向量定义：平行向量定义： 相等向量定义：相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系： 复习复习(1)两个有共同起点且相等的向量两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同其终点可能不同.(2)(3)若非零向量若非零向量共线共线,则则(4)四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,则必有则必有=(5)向量向量平行平行,则则的方向相同或相反的方向相同或相反判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, ,若不正确若不正确, ,请简请简述理由述理由. .(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。共线的向量，若起点不同，则终点一
17、定不同。CAB1 1、位移、位移OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间它们之间有什么关有什么关系系2 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F数的加法启发我们数的加法启发我们, ,从运算的角度看从运算的角度看, ,ACAC可以认为是可以认为是ABAB与与BCBC的和的和, ,F F可以认为是可以认为是F F1 1与与F F2 2的和的和, ,即位移即位移, ,力的合成可看作向量的加法力的合成可看作向量的加法. .向量的加法作法（1）在平面内任取一点OAB这种作法叫做 向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则还有没有其他的做法？还有没有其他的做法
18、？向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则位位移移的的合合成成可可以以看看作作向向量量加加法法三三角角形形法法 则则 的的 物物 理理 模模 型型oABC作法（1）在平面内任取一点O还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则这种作法叫做 向向量量加加法法的的平平行行四四边边形形法法则则力的合成可以看作向力的合成可以看作向量加法的平行四边形量加法的平行四边形法则的物理模型法则的物理模型o已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出a+bABC(1) 同向(2)反向规定：ABC判断判断 的大小的大小1 1、不共线、不共线oAB2
19、 2、 共线共线(1)同向(2)反向判断判断 的大小的大小BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b 数的加法满足交换律与结合律数的加法满足交换律与结合律,即对任即对任意意a,bR,有有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量任意向量a,b的加法是否也满足交换律的加法是否也满足交换律与结合律与结合律?是否成立？是否成立？根据图示填空根据图示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_ACDBOabcdDCBAEgefdcab根据图示填空根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_cffg例例2 2 长江两岸之间没有大桥的地方长
20、江两岸之间没有大桥的地方, ,常常通过轮渡进行运输常常通过轮渡进行运输. .如如图所示图所示, ,一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A A点出发点出发, ,以以5km/h5km/h的速度向垂直于对的速度向垂直于对岸的方向行驶岸的方向行驶, ,同时江水的速度为向东同时江水的速度为向东2km/h.2km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度( (保留保留两个有效数字两个有效数字) )解解:(1)CAD船速B 水速船实际航行速度(2)(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向( (用与江水速度间的夹角用与江
21、水速度间的夹角表示表示, ,精确到度精确到度).).在在RtABC中中,CADB船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70小结小结1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则(要点：两向量首尾连接要点：两向量首尾连接)2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则(要点：两向量起点重合组成平行四边形两要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边邻边)3.向量加法满足交换律及结合律向量加法满足交换律及结合律学习目标学习目标:1、向量的加法运算，及其几何意义、向量的加法运算，及其几何意义 2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量、向量加法的三角形法则和平行四边形
22、法则作两个向量 的和向量的和向量 ABC1、位移、位移2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为可以认为是是AB与与BC的和，的和，F可以认为是可以认为是F1与与F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 作法（1）在平面内任取一点OoAB还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？oABC作法（1）在平面内任取一点O起点相同，连对角起点相同，连对角ABC(1)同向(2)反向规定：ABCoAB数的加法满足交换律与结合律，即对任数的加法满足交换律与结合律，即对任意意a，bR，有，有a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+a) 任意向量任意向量 的加法是否也满的加法是否也满足交换律与结合律？足交换律与结合律？练习：练习：方法与技巧：方法与技巧：5化简下列各式：化简下列各式：D1、下列说法正确的是（）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.DDCC结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！88
