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1、时域离散信号和时域离散系统第 1 章1.4习题与上机题解答习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图时域离散信号和时域离散系统第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)，
2、 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)， 然后再右移
3、2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第 1 章3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)(2)解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。时域离散信号和时域离散系统第 1 章4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形；
4、(2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系
5、统第 1 章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)时域离散信号和时域离散系
6、统第 1 章（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+
7、2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令
8、输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4) y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(n
9、n0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（6） y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（7） y(n)=x(m
10、)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统
11、第 1 章6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因
12、此系统是稳定系统。（3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y
13、(n)输出的波形。解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)时域离散信号和时域离散系统第 1 章题7图时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5时域离散信号和时域离散系统第 1 章解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=x(n)*h(
14、n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)
15、 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn时域离散信号和时域离散系统第 1 章根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第
16、 1 章(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3）
17、x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明： （1） 因为令m=nm, 则时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2) 利用上面已证明的结果， 得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章交换求和号的次序， 得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：n=0时， n0n=1时， 时域离散信号和时域离散系统第
18、 1 章n=2时， 最后得到11 设系统由下面差分方程描述： 设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解： 令x(n)=(n), 则n=0时， n=1时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时， n=3时， 归纳起来， 结果为时域离散信号和时域离散系统第 1 章12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解解： 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1） 令x(n)
19、=(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为y1(n)=anu(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2) 令x(n)=(n1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， 任意 n 时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后得到(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=3时， 任意 n 时， 最后得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章由（1）和（2）得到y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1
20、(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行
21、采样， 试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期为时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2）（3） x(n)的数字频率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题13解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应；（2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示， 试求出y(n)并画出它的波形。解： （1） 将题中差分方程
22、中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章时域离散信号和时域离散系统
23、第 1 章15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为用递推法计算系统的零状态响应。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m% 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=单位脉冲序列， 长度N=31B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系数时域离散信号和时域离散系统第 1 章yn=filter(B， A， xn) %调用filter解差分方程， 求系统输出信号y(n)n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(
24、n， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8)title(系统的零状态响应 )； xlabel(n)； ylabel(y(n)程序运行结果： 时域离散信号和时域离散系统第 1 章yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)
25、波形图如题15*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题15*解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章16*. 已知两个系统的差分方程分别为 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解解： （1） 系统差分方程的系数向量为B1=1， A1=1， 0.6， 0.08（2） 系统差分方程的系数向量为B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1时域离散信号和系统的频域分析第章2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分
26、别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)(9)时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1） 令n=nn0, 即n=n+n0， 则（2）时域离散信号和系统的频域分析第章（3） 令n=n， 则（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立： 时域离散信号和系统的频域分析第章令k=nm, 则时域离散信号和系统的频域分析第章（5） 时域离散信号和系统的频域分析第章或者 （6） 因为对该式两
27、边求导， 得到时域离散信号和系统的频域分析第章因此（7） 令n=2n， 则时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章或者（8） 利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则时域离散信号和系统的频域分析第章（9）令n=n/2， 则2 已知求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解： 3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为时域离散信号和系统的频域分析第章解解： 假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应
28、为h(n)， 则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函数， 相位函数是的奇函数， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故4设时域离散信号和系统的频域分析第章将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题4解图时域离散信号和系统的频域分析第章或者 时域离
29、散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：题5图时域离散信号和系统的频域分析第章(1)(2)(3)(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；(5)(6)时域离散信号和系统的频域分析第章解解(1)(2)(3)（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即时域离散信号和系统的频域分析第章按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图时域离散信号和系统的频域分析第章(5)(6) 因为因此时域离散信号和系统的频域分析第章6 试求如下序列的傅里叶
30、变换：(1) x1(n)=(n3)(2)(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)(3)时域离散信号和系统的频域分析第章(4)时域离散信号和系统的频域分析第章或者: 时域离散信号和系统的频域分析第章7 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解解：令(1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到时域离散信号和系统的频域分析第章因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质。
31、由于x(n)是偶函数， x(n) sin是奇函数， 那么因此时域离散信号和系统的频域分析第章该式说明X(ej)是实函数， 且是的偶函数。 总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ej)是实函数， 是的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质， 即 X(ej)=X*(ej)时域离散信号和系统的频域分析第章由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cos是奇函数， 那么因此 这说明X(ej)是纯虚数， 且是的奇函数。 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用
32、图表示。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 题8解图时域离散信号和系统的频域分析第章9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j， 因此时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频
33、域分析第章11 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解： 时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解解(1)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)时域离散信号和系统的频域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=
34、400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： 时域离散信号和系统的频域分析第章上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： （2） 时域离散信号和系统的频域分析第章（3）式中时域离散信号和系统的频域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14 求出以下序列的Z变换及收敛域
35、:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)时域离散信号和系统的频域分析第章解(1)(2)时域离散信号和系统的频域分析第章(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6)时域离散信号和系统的频域分析第章15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)式中， N=4。时域离散信号和系统的频域分析第章解(1)由z41=0，
36、 得零点为由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。时域离散信号和系统的频域分析第章题15解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 时域离散信号和系统的频域分析第章零点为极点为极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2时域离散信号和系统的频域分析第章因为因此极点为z1=0, z2=1零点为在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0|z|， 极零点分布图如题15解图(c)所示。时域离散信号和系统的频域分
37、析第章16 已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5： 时域离散信号和系统的频域分析第章令n0时， 因为c内无极点，x(n)=0;n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么时域离散信号和系统的频域分析第章(2)收敛域0.5|z|2:时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5，n0时， c
38、内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到时域离散信号和系统的频域分析第章（3）收敛域|z|2: n0时， c内有极点 0.5、 2，n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。 时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的Z变换；(3) a
39、nu(n)的Z变换。解解： (1)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)(3)18 已知分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、 2，时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c
40、内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：(1)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)解解： (1)时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章(2)时域离散信号和系统的频域分析第章20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： 试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。时域离散信号和系统的频域分析第章解： 解法一令m=n+m, 则
41、时域离散信号和系统的频域分析第章解法二因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此时域离散信号和系统的频域分析第章21 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n3时。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， n0时， y(n)=0最后得到 y(
42、n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， n0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， y(n)=4.365 0.3n
43、+6.375 0.5nn0时, y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解：(1)时域离散信号和系统的频域分析第章极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到因为角公用， ，且AOBAOC， 故，即时
44、域离散信号和系统的频域分析第章故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:时域离散信号和系统的频域分析第章题22解图时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)；（3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+
45、y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章因此零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题23解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 式中时域离散信号和系统的频域分析第章，令时域离散信号和系统
46、的频域分析第章n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故时域离散信号和系统的频域分析第章(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, n0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， 时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么最后得到时域离散信号和系统的频域分析第章24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9
47、x(n1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章令n1时，c内有极点0.9，时域离散信号和系统的频域分析第章n=0时， c内有极点0.9 ， 0，最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如
48、题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）时域离散信号和系统的频域分析第章题24解图时域离散信号和系统的频域分析第章25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2） 试用ZT法求网络输出y(n)。 解解： （1） 用卷积法求y(n)。n0时， 时域离散信号和系统的频域分析第章n0时，y(n)=0最后得到（2） 用ZT法求y(n)。 ，时域离散信号和系统的频域分析第章令n0时， c内有极点： a、 b, 因此时域离散信号和系统的频域分析第章因为系统是因
49、果系统, 所以n0时， y(n)=0。 最后得到26 线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r, |a|)， 且n0时， y(n)=0， 故时域离散信号和系统的频域分析第章c包含三个极点， 即a、 z1、 z2。时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章27 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列， 求证： 式中， X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)进行IF
50、T， 得到时域离散信号和系统的频域分析第章令n=0, 则由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此(1)(2)时域离散信号和系统的频域分析第章(3)由（1）、（2）、（3）式， 得到28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解： 求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为时域离散信号和系统的频域分析第章因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取： a|z|a1。n1时， c内有极点： a，时域离散信号和系统的频域分析第章n=0时，c内有极点： a、 0
51、，时域离散信号和系统的频域分析第章因为he(n)=he(n)， 所以时域离散信号和系统的频域分析第章29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解解：时域离散信号和系统的频域分析第章令z=ej, 有jHI(ej)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)， 因此jHI(z)的反变换就是ho(n), 因为h(n)是因果序列， ho(n)是双边序列， 收敛域取: a|z|a1。时域离散信号和系统的频域分析第章n1时， c内有极点： a,n=0时， c内有极点： a、 0， 时域离散信号和系统的频域分析第章因为hI(n)=h(n), 所以
52、时域离散信号和系统的频域分析第章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 教材第教材第3章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0nN1内， 序列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (4) x(n)=Rm(n) 0mN (5) (6) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) (9) x(n)=cos(0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n)解解：(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算
53、法(FFT)第章（2）（3）(4)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(5) 0kN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章0kN1(7) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章或（8） 解法一 直接计算： 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解法二解法二 由DFT的共轭对称性求解。因为所以所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章即结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。(9) 解法一 直接计算: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解法二解法二 由
54、DFT共轭对称性可得同样结果。 因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（10） 解法一上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式两边进行DFT， 得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章故当k=0时， 可直接计算得出X(0)为这样， X(k)可写成如下形式： 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 解法二 k=0时， k0时， 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以， ，即 2 已知下列X(k)
55、， 求x(n)=IDFTX(k)(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(2)其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解: （1） n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(2)n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章3 已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）
56、、 （b）、 （c）所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章题3解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章4 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFTx(n)， 证明DFTX(n)=Nx(Nk) 证： 因为所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由于所以 DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N1 5 如果X(k)=DFTx(n)， 证明DFT的初值定理证: 由IDFT定义式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章可知6 设x(n)的长度为N， 且X(k)=DFTx(n) 0kN1令h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然
57、数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)与X(k)的关系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章因为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以7 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)N， 则X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=X*（Nk)； 若x(n)实偶对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。 离散傅里叶变换(DFT)及
58、其快速算法(FFT)第章证: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道， 如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中， Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果x(n)为实序列， 则Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)=DFTx(n)=Xep(k)， 即X(k)=X*(Nk)。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（2） 由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n
59、)且X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n)所以， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有实部， 即X(k)为实函数。 又由（1）证明结果知道， 实序列的DFT必然为共轭对称函数， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)， 所以X(k)实偶对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章同理， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有纯虚部， 且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭
60、对称， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯虚奇函数。8 证明频域循环移位性质： 设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)， 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 证： 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章令m=k+l, 则 9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)， 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章求Y(k)与X(k)的关系式。 解:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章10 证明离散相关定理。 若X(k)=X1* (k)2(k)则 证： 根据DFT的惟一性，
61、 只要证明即可。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章令m=l+n， 则所以 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章当然也可以直接计算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。 0nN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由于0nN1所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章11 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFTx(n)， 则证： 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设F(k)=DF
62、Tf(n)N 0kN1(1)(2) F(k)=1+jN试求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解解: 由DFT的共轭对称性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 方法一 （1）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章0nN1由于0n, mN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以 x(n)=an 0nN1同理 y(n)=bn 0nN1 （2） F(k)=1+jN，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章方法二 令只要证明A(k)为共轭
63、对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)因为，共轭对称离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章，共轭反对称 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n) y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n) 13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点， 采样序列为求有限长序列IDFTX(k)N。 解解: 我们知道， , 是以2为周期的周期函数， 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章以N
64、为周期， 将看作一周期序列的DFS系数， 则由式知为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章将式代入式得到由于 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由题意知 所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由于0nN1， 所以因此说明： 平时解题时， 本题推导离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章的过程可省去， 直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 2
65、0n对每个序列作20点DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19离散傅里叶变换(D
66、FT)及其快速算法(FFT)第章15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3点的值； （2） 求X1(k)=DFTx1(n)8；（3） ，求。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)， 即X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根据DFT的时域循环移位性质， (3)离散傅里叶
67、变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章16 x(n)、 x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、 (b)和(c)所示， 已知X(k)=DFTx(n)8。 求和注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。解解： 因为x1(n)=x(n+3)8R8(n), x2(n)=x(n2)8R8(n)， 所以根据DFT的时域循环移位性质得到离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章17 设x(n)是长度为N的因果序列， 且试确定Y(k)与X(ej)的关系式。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解： y(n)是x(n)以M为周期的周期延拓序列的主值序列， 根据频域采样理论得到1
68、8 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而（2）（3）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。19 已知调幅
69、信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm)所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）
70、。 故(1)(2)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(3)（注意， 对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样， 压缩码率。 而在本题的解答中， 我们仅按基带信号的采样定理来求解。 ）20 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点zk的Z变换H(zk)， 使离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 (1) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数，a1; (2) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1; (3) (1)和(2)都不行， 即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上
71、的取样值。 解解： 在chirp-Z变换中， 在z平面上分析的N点为zk=AWk k=0, 1, , N1其中所以当A0=1, 0=0, W0=a1, j=0时， zk=ak故说法（1）正确, 说法（2）、 （3）不正确。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 21 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理， 要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)， 但相邻两段必须重叠V个点， 然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积， 得到输出序列y
72、m(n)， m表示第m段循环卷积计算输出。 最后， 从ym(n)中选取B个样值， 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 (1) 求V； (2) 求B； (3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点。 解解: 为了便于叙述， 规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0, 1, 2, , 127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题， 因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后， ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等， 所以， ylm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正
73、确， 不能作为滤波输出， 第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的第m段， 即B=51。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以， 为了去除前面49个不正确点， 取出51个正确的点连接, 得到不间断又无多余点的y(n)， 必须重叠10051=49个点， 即V=49。 下面说明， 对128点的循环卷积ym(n)， 上述结果也是正确的。 我们知道因为ylm(n)长度为N+M1=50+1001=149离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以n从21到127区域无时域混叠， ym(n)=ylm(n)， 当然， 第49点到第99点二者亦相等， 所以， 所
74、取出的51点为从第49点到第99点的ym(n)。 综上所述， 总结所得结论： V=49, B=51 选取ym(n)中第4999点作为滤波输出。 读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章22 证明DFT的频域循环卷积定理。 证证： DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M， ym(n)=h(n)x(n)H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTX(n)L则L X(k)其中， LmaxN， M。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章根据DFT的惟一性， 只要证明ym(n)=IDFTYm
75、(k)=h(n)x(n)， 就证明了DFT的频域循环卷积定理。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 教材第教材第4章习题与上机题解答章习题与上机题解答快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法， 没有新的物理概念。 FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述， 所以只给出教材第4章的习题与上机题解答。 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s， 每次复数加需要1 s， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。 用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速
76、算法(FFT)第章解解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N（N1）=10241023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为离散傅里叶变换(DFT)及其
77、快速算法(FFT)第章所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列， 计算复数乘和复数加各需要10 ns。 请重复做上题。 解解: 与第1题同理。 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD=1010910242+101091
78、 047 552=20.961 28 ms离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为快速卷积计算时间Tc约为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章可实时处理的信号最高频率fmax为由此可见， 用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。 机器周期小于1 ns的DSP产品已上市， 其处理速度更高。 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章3 已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT， 希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 为提高运算效率， 试
79、设计用一次N点IFFT来完成的算法。 解解: 因为x(n)和y(n)均为实序列， 所以， X(k)和Y(n)为共轭对称序列， jY(k)为共轭反对称序列。 可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)计算一次N点IFFT得到f(n)=IFFTF(k)=Ref(n)+j Imf(n)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由DFT的共轭对称性可知Ref(n)=IDFTFep(k)=IDFTX(k)=x(n)j Imf(n)=IDFTFop(k)=IDFTjY(k)=jy(n)故4 设x(n)
80、是长度为2N的有限长实序列， X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFFT实现求X(k)的2N点IDFT运算。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: 本题的解题思路就是DIT-FFT思想。（1） 在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)， 得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1根据DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT， 再经过简单的一级蝶形运算就可
81、得到x(n)的2N点DFT。 因为x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。 具体方法如下：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章令 y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , N1则2N点DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章这样， 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少)。 （2） 与（1）相同， 设x1(n)=x(
82、2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1X2(k)=DFTx2(n) k=0, 1, , N1则应满足关系式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由上式可解出由以上分析可得出运算过程如下： 由X(k)计算出X1(k)和X2(k): 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行N点IFFT， 得到y
83、(n)=IFFTY(k)=Rey(n)+j Imy(n) n=0, 1, , N1由DFT的共轭对称性知离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 由x1(n)和x2(n)合成x(n):，0n2N1在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章5 分别画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图， 并计算其复数乘次数， 如果考虑三类碟形的乘法计算， 试计算复乘次数。 解解： 本题比较简单， 仿照教材中的8点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图很容
84、易画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图。 但画图占篇幅较大， 这里省略本题解答， 请读者自己完成。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 教材第教材第5章习题与上机题解答章习题与上机题解答1. 已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解： 将原式移项得将上式进行Z变换， 得到时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一）所示。题1
85、解图（一）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(2) 将H(z)的分母进行因式分解： 按照上式可以有两种级联型结构: 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题1解图（二）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(3) 将H(z)进行部分分式展开： 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）时域离散
86、系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章2 设数字滤波器的差分方程为试画出系统的直接型结构。 解解： 由差分方程得到滤波器的系统函数为画出其直接型结构如题2解图所示。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题2解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章3. 设系统的差分方程为y(n)=(a+b)y(n1)aby(n2)+x(n2)+(a+b)x(n1)+ab式中, |a|1， |b|1/2， 对上式进行逆Z变换， 得到时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章16. 画出题15图中系统的转置结构， 并验证两者具有相同的系统函数。 解解： 按照题15图，
87、 将支路方向翻转， 维持支路增益不变， 并交换输入输出的位置， 则形成对应的转置结构， 画出题15图系统的转置结构如题16解图所示。 将题16解图和题15图对照， 它们的直通通路和反馈回路情况完全一样， 写出它们的系统函数完全一样， 这里用Masson公式最能说明问题。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题16解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题17图17. 用b1和b2确定a1、 a2、 c1和c0， 使题17图中的两个系统等效。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解： 题17图 （a）的系统函数为题16图（b）的系统函数为对比式和
88、式， 当两个系统等效时， 系数关系为a1=b1, a2=b2c0=2, c1=(b1+b2)时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章18. 对于题18图中的系统， 要求：（1） 确定它的系统函数；（2） 如果系统参数为 b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.9 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2画出系统的零极点分布图， 并检验系统的稳定性。解解： （1） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章（2） b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.9零点为z=1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.750.58j, |p1, 2
89、|=0.773极零点分布如题18 解图(a)所示。 由于极点的模小于1， 可知系统稳定。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题18图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题18解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2零点为z=1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.51.323j, |p1, 2|=1.414极零点分布如题18解图(b)所示。 这里极点的模大于1，或者说极点在单位圆外， 如果系统因果可实现， 收敛域为|z|1.414， 收敛域并不包含单位圆， 因此系统不稳定。 无限脉冲响应(IIR
90、)数字滤波器的设计第章第第6章无限脉冲响应数章无限脉冲响应数字字滤波器的设计滤波器的设计 习题解答习题解答1 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。 解解: （1） 求阶数N。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章将ksp和sp值代入N的计算公式, 得所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到简化）。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第
91、章（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为或当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。（3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章由于本题中ap=3 dB， 即c=p=26103 rad/s， 因此对分母因式形式， 则有无限脉冲响应(IIR)数字滤
92、波器的设计第章如上结果中，c的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率fp=3 kHz，通带最大衰减p=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减s=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。 解解: （1） 确定滤波器技术指标。 p=0.2 dB, p=2fp=6103 rad/ss=50 dB,s=2fs=24103 rad/s p=1,无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 求阶数N和。为了满足指标要求， 取N=4。 无限脉冲响应(
93、IIR)数字滤波器的设计第章 (3) 求归一化系统函数G(p)其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： 其中， sk=ppk=6103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3 设计一个巴特沃斯高通滤波器
94、， 要求其通带截止频率fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式， p=1, s=p/s， 得到 p=1, ap=3 dB as=15 dB无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采用巴
95、特沃斯类型， 故无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为(4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)： 式中c=2fc=220103=4104 rad/s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1)(2)式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。 所以， 求解该题具有代表性，
96、 解该题的过程， 就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。 设采样周期为T。 (1)Ha(s)的极点为s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以套用教材（6.3.4）式， 得到按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分并化简整理， 可得无限脉
97、冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章这样， 如果遇到将用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面的公式即可， 且对应结构图中无复数乘法器， 便于工程实际中实现。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(2)Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章套用教材（6.3.4）式， 得到 通分并化简整理， 得到无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章5 已知模拟滤波器的系统函数如下： (1)(2)试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法(1)无限脉冲
98、响应(IIR)数字滤波器的设计第章方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章将T=2代入上式， 得方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公式， 先对Ha(s)的分母配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章c为一常数由于所以无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章对比可知， ， 套用公式， 得(2)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章或通分合并两项得无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 用双线性变换法（1） 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(2)无限脉冲响应(I
99、IR)数字滤波器的设计第章6 设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 即用脉冲响应不变法， 将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应， 即 h(n)=ha(nT)）。 确定系统函数H(z)， 并把T作为参数， 证明： T为任何值时， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: 模拟滤波器系统函数为Ha(s)的极点s1=0.9， 故数字滤波器的系统函数应为H(z)的极点为z1=e0.9T, |z1|=e0.9T无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题6解图所以， T0时， |z1|slsu，
100、 所以不满足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 则无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。 (3) 将带通指标转换成归一化低通指标。 套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式， 求归一化低通边界频率： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 设计模拟归一化低通G(p)：取N=3。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章查教材表6.2.1， 得到归一化低通系统函数G(p)：(5) 频率变换， 将G(p)转换成模拟带通Ha(s)： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(6) 用双线性变换公式将Ha(s)转
101、换成H(z)： 以上繁杂的设计过程和计算， 可以用下面几行程序ex612.m实现。 程序运行结果如题12解图所示。 得到的系统函数系数为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章B = 0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406与手算结果有差别， 这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章%程序ex612.m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %设置带通数字滤波器指标参数N
102、， wc=buttord(wp， ws， Rp， As)； %计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率WcB， A=butter(N， wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量A和Bmyplot(B， A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函数曲线无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)长度N=7 h
103、(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于=点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： 由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章2 已知第一类线性相
104、位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 解解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称， 即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9
105、)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章3 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。解解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n) N=5所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ej)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章幅度特性函数为 相位特性函数为4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8
106、rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解: （1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 为了满足线性相位条件， 要求， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg()关于=0, ,
107、2三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？解解: （1） 直接用IFTHd(ej)计算： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字
108、滤波器的设计第章hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 而(n)对应于一个线性相位全通滤波器： Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （2） 用N表示h(n)的长度， 则h(n)=hd(n)RN(n)=有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章为了满足线性相位条件： h(n)=h(N1n)要求满足（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足：, 即N40。 取N=41。6 理想带通特性为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出该理想带
109、通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定N与之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有限制？为什么？解解: （1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 所以， 上面hd(n)的表达式说明， 带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。 （2） h(n)=hd(n)w(n)为了满足线性相位条件， 与N应满足有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章实质上， 即使不要求具有线性相位， 与N也应满足该关系， 只有这样， 才能截取hd(n)的主要能量
110、部分， 使引起的逼近误差最小。 （3） N取奇数和偶数时， 均可实现带通滤波器。 但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 试完成下面两题：试完成下面两题： （1） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)， 它与h(n)的关系是h1(n)=(1)nh(n)。 试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 截止频率为c, 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)， 它与h(n)
111、的关系是h2(n)=2h(n)cos0n， 且c0(c)。 试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解解: （1） 由题意可知对h1(n)进行傅里叶变换, 得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式说明H1(ej)就是H(ej)平移的结果。 由于H(ej)为低通滤波器， 通带位于以=0为中心的附近邻域， 因而H1(ej)的通带位于以=为中心的附近， 即h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为c, ）： 设计一个截止频率为c的低通滤波器hLp(n)。 对hLp(n)乘以cos(n)即可得到
112、高通滤波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 与(1)同样道理， 代入h2(n)=2h(n) cos0n, 可得有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章因为低通滤波器H(ej)通带中心位于=2k， 且H2(ej)为H(ej)左右平移0， 所以H2(ej)的通带中心位于=2k0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。 8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设 H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1（1） 试确定H1(k)与 H2(k
113、)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？为什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题8图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解： （1） 由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循环移位性质可得(2) 由题8图可知， h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章所以， 用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相
114、位。 直接计算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同样的结论。 设 所以， 群延时为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章9 对下面的每一种滤波器指标， 选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。 （1） 阻带衰减为20 dB， 过渡带宽度为1 kHz， 采样频率为12 kHz； （2） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为2 kHz， 采样频率为20 kHz； （3） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为500 Hz， 采样频率为5 kHz。 解解： 我们知道， 根据阻带最小衰减选择窗函数类型， 根据过渡带宽度计算窗函数长度。 为了观察方便， 重写出教材第211页中表7.2.2。有限
115、脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章结合本题要求和教材表7.2.2， 选择结果如下： （1） 矩形窗满足本题要求。 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200/12 000=/60， 精确过渡带满足：1.8/N/60， 所以要求N1.860=108。 （2） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000/20 000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 （3） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000/5000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=
116、33。 10 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率c= /4 rad，N=21。 求出分别对应的单位脉冲响应。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ej)为其中, a=(N1)/2=10。 (2) 由Hd(ej)求得hd(n)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 (3) 加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n)： 升余弦窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗： 布莱克曼窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章11 将技
117、术要求改为设计线性相位高通滤波器， 重复题10。 解解: 方法一 将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ej)、 hd(n)改为如下理想高通滤波器即可。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式中(n10)对应于全通滤波器。 上式说明， 高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位脉冲响应。 仿照10题， 用矩形窗、 升余弦窗、 改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。 计算与绘图程序与题10解中类同， 只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。 方法二 根据第7题（1）的证明结论设计。 （
118、1） 先设计通带截止频率为/4的低通滤波器。 对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和hBl(n)。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2) 对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosn可得到高通滤波器单位脉冲响应： 矩形窗： 升余弦窗： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗： 布莱克曼窗： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题12图12 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器， 逼近题12图所示的理想微分器特性， 并绘出其幅频特性。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 由于连续信号
119、存在微分， 而时域离散信号和数字信号的微分不存在， 因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器， 即用数字差分滤波器近似模拟微分器。 下面先推导理想差分器的频率响应函数。 设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)， 即令x(t)=ejt， 则y(t)=jket=jkx(t)对上式两边采样（时域离散化）， 得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章其中=T。 将x(nT)和y(nT)分别作为数字微分器的输入和输出序列， 并用Hd(ej)表示数字理想微分器的频率响应函数， 则即有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章根据题12图所给出的理想特性可知所以应取k=T，
120、 所以Hd(ej)=j取群延时=(N1)/2， 则逼近频率响应函数应为 Hd(ej)=jej=ej(/2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章设FIR滤波器h(n)长度为N， 一般取=(N1)/2。 加窗后得到我们知道， 微分器的幅度响应随频率增大线性上升， 当频率=时达到最大值， 所以只有N为偶数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。 因为N是偶数， =N/21/2=正整数1/2， 上式中第一项为0， 所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章式就是用窗函数法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式， 且具有奇对称特性h(n
121、)= h(N1n)。 选定滤波器长度N和窗函数类型， 就可以直接按式得到设计结果。 当然， 也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计。 本题要求的哈明窗函数： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章将式代入式得到h(n)的表达式：(2) 对3种不同的长度N=20，40和41，用MATLAB计算单位脉冲响应h(n)和幅频特性函数，并绘图的程序ex712.m如下：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章%ex712.m： 用哈明窗设计线性相位FIR微分器clear all； close all； N1=20； n=0： N11； tou=(N11)/2； h1n=sin(ntou)*pi).
122、/(pi*(n-tou).2).*(hamming(N1)； N2=40； n=0： N21； tou=(N21)/2； h2n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou).2).*(hamming(N2)； N3=41； n=0： N31； tou=(N31)/2； h3n=sin(ntou)*pi)./(pi*(ntou).2).*(hamming(N3);h3n(N31)/2+1)=0； %因为该点分母为零， 无定义， 所以赋值0%以下为绘图部分（省略）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如题12解图所示。 由图可见
123、， 当滤波器长度N为偶数时， 逼近效果好。 但N=奇数时（本程序中N=41）， 逼近误差很大。 这一结论与教材给出的理论一致（对第二类线性相位滤波器， N=奇数时不能实现高通滤波特性）。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章也可以采用调用等波纹最佳逼近法设计函数remez来设计FIR数字微分器的方法。 hn=remez(N1， f， m， defferentiator) 设计N1阶FIR数字微分器， 返回的单位脉冲响应向量hn具有奇对称特性。 在大多数工程实际中， 仅要求在频率区间0p上逼近理想微分器的频率响应特性， 而在区间p上频率响
124、应特性不作要求， 或要求为零。 对微分器设计， 在区间p上频率响应特性要求为零时， 调用参数f=0, p/, (p+B)/, 1， m=0,p/, 0, 0， 其中B为过渡带宽度（即无关区）， p不能太靠近， B也不能太小， 否则设计可能失败。 调用等波纹最佳逼近法设计函数remez设计本题要求的FIR数字微分器的程序ex712b.m如下： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章% ex712b.m： 调用remez函数设计FIR微分器Wp=0.9； B=0.09； %设置微分器边界频率（关于归一化）N=40； f=0，wp，wp+B，1；m=0，wp，0, 0； hn=remez(N-1
125、， f， m， defferentiator)； %调用remez函数设计FIR微分器%以下为绘图部分（省略）请读者运行该程序， 观察设计效果。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章13. 用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF， 要求通带截止频率为/4 rad， 过渡带宽度为8/51 rad， 阻带最小衰减为45 dB。 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式。 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 由习题9中教材表7
126、.2.2， 本题应选择哈明窗。 因为过渡带宽度Bt=8/51， 所以窗口长度N为N6.6/Bt=42.075， 取N=43。 窗函数表达式为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):式中有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 求hd(n): 加窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713.m如下： %ex713.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图wp=pi/4； Bt=8*pi/51； wc=wp+Bt/2； N=ceil(6.6*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， w
127、c/pi， hamming(N)rs=60； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题13解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题13解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章14. 要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波， 要求： 通带截止频率为10 kHz， 阻带截止频率为22 kHz， 阻带最小衰减为75 dB， 采样频率为Fs=50 kHz。 用窗函数法设计数字低通滤波器。 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式。
128、（2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 本题要求设计的FIRDF指标： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章通带截止频率： 阻带截止频率： 阻带最小衰减： s=75 dB有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由习题9中教材表7.2.2可知， 本题应选凯塞窗(=7.865)。 窗口长度N10/Bt=10/(sp)=20.833， 取N=21。 窗函数表达式为，=7.865 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):有限脉冲响应(FIR)数字
129、滤波器的设计第章 求hd(n): 加窗: 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex714.m如下： %ex714.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图Fs=50000； fp=10000； fs=22000； rs=75； wp=2*pi*fp/Fs； ws=2*pi*fs/Fs； Bt=ws-wp； wc=(wp+ws)/2； N=ceil(10*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， wc/pi， kaiser(N， 7.865)； rs=100； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot
130、绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题14解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题14解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章15 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器， 给定N=21， 通带截止频率c=0.15 rad。 求出h(n)， 为了改善其频率响应（过渡带宽度、 阻带最小衰减）， 应采取什么措施？解解: (1) 确定希望逼近的理想低通滤波频率响应函数Hd(ej)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章其中, a=(N1)/2=10。 采样： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 求h
131、(n)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章因为所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章损耗函数曲线绘图程序ex715.m如下： %程序ex715.mN=21； n=0： N-1； hn=(1+2*cos(2*pi*(n-10)/N)/N； rs=20； a=1； mpplot(hn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题15解图所示， 请读者运行程序查看hn的数据。 为了改善阻带衰减和通带波纹， 应加过渡带采样点， 为了使边界频率更精确， 过渡带更窄， 应加大采样点数N。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题15解
132、图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章16 重复题15， 但改为用矩形窗函数法设计。 将设计结果与题15进行比较。 解： 直接调用fir1设计， 程序为ex716.m。 %调用fir1求解16题的程序ex716.mN=21； wc=0.15； hn=fir1(N-1， wc， boxcar(N)； %选用矩形窗函数(与上面求解中相同)rs=20； a=1； mpplot(hn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题16解图所示。 与题15解图比较， 过渡带宽度相同， 但矩形窗函数法设计的FIRDF阻带最小衰减约为20 dB， 而1
133、5题设计结果约为16 dB。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题16解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章17 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器， 设N=16， 给定希望逼近的滤波器的幅度采样值为解解: 由希望逼近的滤波器幅度采样Hdg(k)可构造出Hd(ej)的采样Hd(k)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 18 利用频率采样法设计线性相位FIR带通滤波器， 设N=33， 理想幅度特性Hd()如题18图所示。题18图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解: 由题18图可得到理想幅度采样值为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章
