第三章 静态场及其边值问题的解

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1、第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6

2、分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版33.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程

3、和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版42. 边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即

4、，则，则第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版5介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版6由由即

5、即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版72. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：第3章 静态

6、电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版83. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。

7、表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版9 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使

8、电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章 静态电磁场及其边值问题的解静

9、态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版10 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版11在均匀介质中

10、，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版126. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 若介质分界面上无自

11、由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即常数，常数，第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版13 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除

12、 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版14利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处， 处，处，所以所以由此解得由此解得第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出

13、版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版15电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利

14、用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版16 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能储存电荷能力的物理量。力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电

15、容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版17 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q ； 计算电容的方法一计算电容的方法一： (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间

16、的电位差； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的方法二计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U ； (4) 由由 得到得到 ; (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (5) 由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ； (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版18 解解：设内导体的设内导体

17、的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时， 例例3.1.3 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版19 如果充电

18、过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要

19、经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版201. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充充电过程中某一程中某一时刻的刻的电荷量荷量为q 、电位为、电

20、位为 。(01) 当当增加为增加为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社

21、出版社 出版出版21故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版222. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。电场能量密度：电场能量密度：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介

22、质，则有第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版23 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版

23、社 出版出版24 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布先求出电位分布 故故第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版253.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等

24、教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版26 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有

25、电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版271. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分

26、形式：微分形式：积分形式：积分形式： 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版282. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条

27、件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版29 电位的边界条件电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面； 说明说明：第3章 静态电磁场及

28、其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版30媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如2 1、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于良导体表面。即电场线近似垂直于良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。第3章 静态电磁场及其边值

29、问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版313.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量

30、作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。静电场静电场恒定电场恒定电场第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版32恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（ 区域）区域） 本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版

31、社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版33 例例3.2.1一一个个有有两两层层介介质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极极板板是是理理想想导导体体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版34 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半

32、径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2 、电导率为、电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出

33、版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版35 （1）设同同轴电缆中中单位位长度的径向度的径向电流流为I ,则由由 可得可得电流密度流密度介质中的电场介质中的电场 解解 电流由内流由内导体流向外体流向外导体，在分界面上只有法向分量，体，在分界面上只有法向分量，所以所以电流密度成流密度成轴对称分布。可先假称分布。可先假设电流流为I，由此求电流密度由此求电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高

34、等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版36故两种介故两种介质中的中的电流密度和流密度和电场强强度分度分别为由于由于于是得到于是得到第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版37 （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育

35、出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版38 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3 漏

36、电导漏电导第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版39(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差

37、为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版40 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、

38、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版41本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4

39、 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版42微分形式微分形式: :1. 基本方程基本方程2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :或或3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与

40、电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版43 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与与电电位位一一样样，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一确确定定的的，它它加加上上任任意意一一个个标标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁磁矢矢位位的的任任意意性性是是因因为为只只规规定定了了它它的的旋旋度度，没没有有规规定定其其散散度度造造成成的的。为为了了得得到到确确定定的的A，可可以以对对A的的散散度度加

41、加以以限限制制，在在恒恒定定磁磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版44 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式磁矢位的表达式第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电

42、磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版45 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：细线电流细线电流：面电流面电流：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版46 例例 3.3.1 求求小小圆圆环环电电流流回回路路的的远远区区矢矢量量磁磁位位与与磁磁

43、场场。小小圆圆形形回回路的半径为路的半径为a ，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。小圆环电流小圆环电流aIxzyrRIPO第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版47对于于远区，有区，有r a ，所以，所以由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可写成，

44、所以上式可写成于是得到于是得到第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版48式中式中S =a 2是小是小圆环的面的面积。 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版49 解解：先求长度为：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。的直线电流的磁矢位。电流元电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则 例例 3.3.2 求无限长线电流求无限长

45、线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与与计计算算无无限限长长线线电电荷荷的的电电位位一一样样，令令 可可得得到到无无限限长长线线电电流流的磁矢位的磁矢位 xyzL-L第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版502. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一一般般情情况况下下，恒恒定定磁磁场场只只能能引引入入磁磁矢矢位位来来描描述述，但但在在无无传传导导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即即在在无无传传导导电

46、电流流（J0）的的空空间间中中，可可以以引引入入一一个个标标量量位位函函数数来来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程将将 代入代入等效磁荷体密度等效磁荷体密度第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版51 与静电位相比较，有与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式和和和和式中：式

47、中： 等效磁荷面密度等效磁荷面密度或或第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版521. 磁通与磁链磁通与磁链 3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包

48、围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版53 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链为为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比

49、关系，其比值称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版54 解解：先求内导体的内自感。设同轴：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I

50、 ，由安培环路定理，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS = d的磁通为的磁通为 例例3.3.3求求同同轴轴线线单单位位长长度度的的自自感感。设设内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体厚度可忽略不计，其半径为厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版55因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内

51、磁链为故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。则则故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版56 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2 ，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，时， I1产生的磁场不仅与产生的磁场不仅与回路回路 C1 本身相交链，而且与回路本身相交链，而且与回路 C2

52、交链，交链的磁链交链，交链的磁链 21 也与也与 I1 成正比，其比例系数成正比，其比例系数称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版57 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁

53、介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。 互感的特点：互感的特点：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版58由由图中可知中可知长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直

54、导线中的电流为设长直导线中的电流为I ，根据根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.4 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版59因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等

55、教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版603.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1. 磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。能量，就全部转化成磁场能量。 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场具有能量。 磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因零开始增加时，回路中的感应

56、电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。 假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。 假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。射损耗。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版61 设回路从零开始充电，最终的电流为设回路从零开始充电，最终的电流为 I 、交链的磁链为、交链的磁链为 。 在在

57、时刻刻 t 的的电流流为i =I 、磁链为、磁链为 = 。 (01) 根据能量守恒定律，此功也就是电流根据能量守恒定律，此功也就是电流为为 I 的载流回路具有的的载流回路具有的磁场能量磁场能量Wm ，即，即对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为外加电压应为所做的功所做的功当当增加为增加为(+ d)时，回路中的感应电动势时，回路中的感应电动势:第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版622. 磁场能量密度磁

58、场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版63 例例3.3.8 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为a ，外导体的内、外半径外导体的内、外半径分别为分别为 b 和和 c ，如图所

59、示。导体中通有电流，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆中，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量。单位长度储存的磁场能量。 解解：由安培环路定理，得：由安培环路定理，得第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版64三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版

60、65单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版663.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 本节内容本节内容 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁

61、波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版673.4.1 边值问题的类型边值问题的类型已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数值，即上的位函数值，即第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面已知场域一部分边界面S1 上的上的位函数值，而另一部分边界位函数值，而另一部分边界面面S2 上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第

62、二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版68 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间） 周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版69例：例：（第一类边值问题）（第

63、一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版70 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题

64、的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版71惟一性定理的证明惟一性定理的证明反证法反证法：假设解不惟一，则有两个位函数：假设解不惟一，则有两个位函数和和 在在场域域V内内满足同足同样的方程，即的方程，即且在且在边界面界面S 上有上有令令 ，则在在场域域V内内且在且在边界面界面S 上上满足同足同样的的边界条件。界条件。或或或或第3章 静态电磁场及其

65、边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版72由格林第一恒等式由格林第一恒等式可得到可得到对于第一于第一类边界条件：界条件：对于第二于第二类边界条件：若界条件：若 和和 取同一点取同一点Q为参考点参考点 ，则对于第三于第三类边界条件：界条件：第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版73 本节内容本节内容 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理

66、3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 3.5 镜像法镜像法第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版74 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感

67、感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷，而而感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷将将影影响响场场的分布。的分布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例几个实例q q3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理接接地地导导体体板板附附近近有有一一个个点点电电荷荷，如如图图所所示。示。qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出

68、版社 出版出版75 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理

69、？这种等效是否合理？第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版762. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简

70、化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础镜像

71、法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版77 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” 。4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像

72、电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版781. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因 z = 0 时，时，有效区域有效区域q qq q第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态

73、电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版79上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q q导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版802. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满

74、足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题当当z = 0 时，时，有效区域有效区域第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版813. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如如图图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显显然然，q1 对对平平面面 2 以以及及 q2 对对平平面面

75、1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版

76、82 例例3.5.1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至无穷远处，需要做多少功？至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移移动动电电荷荷q时时，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，而而电电荷荷q受受的的电电场场力力来来源源于于导导体体板板上上的的感感应应电电荷荷。可可以以先先求求电电荷荷q 移移至至无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。qqx = 0d-d 由由镜镜像像法法，感感应应电电荷荷可可以以用用像像电电荷荷 替替代代。当当电电荷荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产

77、生的电场强度第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版833.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。 q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体

78、球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。问题问题： PqarRdqPaqrRRdd第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版84 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。条件条件：若：若像电荷的位置像电荷的位置像电荷的电量像电荷的电量常数常数qPqaRRddO由于由于第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场

79、及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版85可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版86点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导

80、体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么为什么？）？）aqdobqrRRaqdOd 与点荷位于接地导体球外同与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到样的分析，可得到第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等

81、教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版87球壳内的电位球壳内的电位感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上的总感应电荷为导体球面的内表面上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版882 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先先设设想想导

82、导体体球球是是接接地地的的，则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为q的的感感应应电荷分布，则电荷分布，则 导体球不接地时的特点导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面；导体球面是电位不为零的等位面； 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。电荷为零。采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。PqarRdO第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁

83、场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版89 然后断开接地然后断开接地线，并将，并将电荷荷q加于加于导体球上，从而使体球上，从而使总电荷荷为零。零。为保持保持导体球面体球面为等位面，所加的等位面，所加的电荷荷q 可用一个位可用一个位于球心的于球心的镜像像电荷荷q来替代，即来替代，即球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddqO第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版903.5.4 导体圆柱面

84、的镜像导体圆柱面的镜像问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d 。图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱图图2 线电荷与导体圆柱的线电荷与导体圆柱的镜像镜像特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平

85、行的无限长线电荷，如图2所示。所示。1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版91由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像像电荷的荷的线密度密度为 ，且距且距圆柱的柱的轴线为 ，则由由 和和 共同共同产生的生的电位函数位函数由于上式由于上式对任意的任意的 都成立，因此，将上式都成立，因此，将上式对 求求导，可以得到，可以得到第3章 静

86、态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版92导体体圆柱面外的柱面外的电位函数：位函数：由由 时，故故导体体圆柱面上的感柱面上的感应电荷面密度荷面密度为导体体圆柱面上柱面上单位位长度的感度的感应电荷荷为导体体圆柱面上柱面上单位位长度的感度的感应电荷与所荷与所设置的置的镜像像电荷相等。荷相等。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版932.

87、 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴特点特点：由于两圆柱带电导体的电场互由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。的一侧电荷密度较小。分析方法分析方法：将导体表面上的电荷用线将导体表面上的电荷用线密度分别为密度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两的两根无限长带电细线来等效替代，如图根无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。所示。问题问题：如图如图1所示，两平行导体圆

88、柱的所示，两平行导体圆柱的半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版94图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。种方法又称为电轴法。由由 利用线电荷与接地导体圆柱面的利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定镜像确定b 。思考思考

89、：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版953.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷布。此时，空间

90、中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限大的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q ，距，距分界平面为分界平面为h 。分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均

91、匀介质，如图2所示。所示。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版96介介质1中的中的电位位为 计算算电介介质 2 中的中的电位位时，用位，用位于介于介质 1 中的中的镜像像电荷来代替分界面荷来代替分界面上的极化上的极化电荷，并把整个空荷，并把整个空间看作充看作充满介介电常数常数为 的均匀介的均匀介质，如，如图 3 所示。介所示。介质2中的中的电位位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁

92、场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版97可得到可得到说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版98图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面

93、图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流特点特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。流共同产生。问题：问题：如图如图1所示，磁导率分别为所示，磁导率分别为 和和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为分界平面，且与分界平面相距为h。分析方法分析方法：在计算磁介质在计算磁介

94、质1中的磁场时，中的磁场时，用置于介质用置于介质2中的镜像线电流来代替分界中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为磁导率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。3.5.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版99 因为电流沿因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢轴方向流动，所以矢量磁位只有量磁位只有y 分量，则磁介质分量，则磁

95、介质1和磁介质和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为中任一点的矢量磁位分别为图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像的镜像线电流线电流 在计算磁介质在计算磁介质2中的磁场时，用置于中的磁场时，用置于介质介质1中的镜像线电流来代替分界面上的中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图3所示。所示。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版100相相应的磁的磁场可由可由 求得。求

96、得。可得到可得到故故利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1013.6 分离变量法分离变量法 本节内容本节内容 3.6.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理 3.6.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 3.6.4 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题

97、的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版102 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n个各自只个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题

98、的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：3.6.1 分离变量法解题的基本原理分离变量法解题的基本原理第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版103在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为3.6.2 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法将将 (x, y) 表示为两个一维函数表示为两个一维函数 X( x

99、)和和Y( y )的乘积，即的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以 X( x ) Y( y ) ，有，有分离常数分离常数第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版104 若取若取k2 ，则有，则有当当当当第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版105将所有可能的将所有可能的 (x, y)线性线性叠

100、加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取若取k2 ，同理可得到，同理可得到通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版106 例例3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导

101、体槽内的电位分布。算此导体槽内的电位分布。 解：解：位函数满足的方程和边界条位函数满足的方程和边界条件为件为因因 (0 , y)0、 (a , y)0，故，故位函数的通解应取为位函数的通解应取为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版107确定待定系数确定待定系数第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版108将将U0 在（在（

102、0, a）上按）上按 展开为傅里叶级数，即展开为傅里叶级数，即其中其中第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版109由由故得到故得到第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1103.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为令其解为 代入方程，可得到代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方

103、程由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与在圆柱坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为 通常通常 (, )随变量随变量 的变化是以的变化是以 2 为周期的周期函数。为周期的周期函数。因此，分离常数因此，分离常数 k 应为整数，即应为整数，即k n ( n0, 1, 2, ) 。第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版111当当n = 0时时 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方

104、程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 当当n 0时时 第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版112 解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向轴为圆柱轴线，电场强度的方向与与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与为零，且柱外的电位分

105、布函数应与z 无关。解的形式可取前述一般形无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：式，但应满足下列两个边界条件： 例例 3.6.2 均匀外电场均匀外电场 中，有一半径为中，有一半径为 a、介电常、介电常数为数为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。 xyaE0oP(, )第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教

106、育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版113 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 C1、D1 应为应为 此此式式表表明明，无无限限远远处处电电位位函函数数仅仅为为cos 的的函函数数，可可见见系系数数 ，且，且 。因此电位函数为。因此电位函数为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出

107、版社出版社 出版出版114代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 则圆柱外电场强度为则圆柱外电场强度为 E0电场线电场线等位面等位面xya圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱表面的电荷分布圆柱表面的电荷分布第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1153.6.4 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系

108、中的展开式为令令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理， 的解应为的解应为且且第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版116上式中第一项仅为上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前同理无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 且且令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让

109、德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。 即即第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版117 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时， 因此，当场存在的区域包括因此，当场存在的区域包括 或或 时，时， ，此时只能取第，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常

110、令因此，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合因此，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合 若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则 m = 0 。那那么么 称称为勒让德多项式。此时，为勒让德多项式。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版118 例例 3.6.3 设半径为设半径为a、介电常数为、介电常数为 的介质球放在无限大的真的介质球放在无限大的真空中，受到其中均匀电场空中，受到其中均匀电场 E0 的作用，

111、如的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。图所示。试求介质球内的电场强度。 解解 取取球球坐坐标标系系，令令 E0 的的方方向向与与 z 轴轴一一致致，即即 。显显然然，此此时时场场分分布布以以z 轴轴为为旋旋转转对对称称，因因此此与与 无无关关。这这样样，球内、外的电位分布函数可取为球内、外的电位分布函数可取为则球内、外电位分别为则球内、外电位分别为E0zxa0第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版119球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数

112、应该满足下列边界条件： 无限远处电场未受影响，因此电位应为无限远处电场未受影响，因此电位应为 球内电位与球外电位在球面上应该连续，即球内电位与球外电位在球面上应该连续，即 根据边界上电位移的法向分量的连续性，可知内、外电根据边界上电位移的法向分量的连续性，可知内、外电位的法向导数在球面上应满足位的法向导数在球面上应满足 球心电位球心电位 应为有限值；应为有限值；第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版120考虑到边界条件考虑到边界条件，系数，系数 Dn 应为零

113、，即应为零，即为了满足边界条件为了满足边界条件，除了，除了A1 以外的系数以外的系数 An 0，且，且 ，即，即 再考虑到边界条件再考虑到边界条件，得，得 为了进一步满足边界条件为了进一步满足边界条件，得，得式中式中第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版121 由于上两式对于所有的由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为各项系数应该相等。由此获知各系数分别为 代入前式，求得球内、

114、外电位分别为代入前式，求得球内、外电位分别为第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版122值得注意的是球内的电场分布。已知值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电，求得球内的电场为场为可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于均匀外场。可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于均匀外场。球内、外的电场线如图所示。球内、外的电场线如图所示。 如如果果在在无无限限大大的的介介电电常常数数为为 的的均均匀匀介介质质中中存存在在球球形形气气泡泡，那那么么当当外外加加均匀电场时，气泡内的电场强度应为均匀电场时，气泡内的电场强度应为那么，泡内的场强高于泡外的场强。那么，泡内的场强高于泡外的场强。 电场线电场线等位面等位面xz0aE0